人教版七年级数学下册 第五章 相交线和平行线 第3节和角有关的辅助线暑假作业部分含答案.docx

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人教版七年级数学下册第五章相交线和平行线第3节和角有关的辅助线暑假作业部分含答案

第3节与角有关的辅助线

1.已知:

如图,AB∥CD,∠1=135°,∠3=75°,则∠2的度数为()

A.45°B.75°C.30°D.105°

第1题图第2题图

2.已知:

如图,∠BAC+∠C=180°,点E是CD上一点,且∠1=32°,

∠AFE=110°,则∠FED的度数为()

A.78°B.64°C.55°D.60°

3.如图,AB∥EF,∠BCD=90°,则∠α,∠β,∠γ的关系是()

A.∠β=∠α+∠γ

B.∠α+∠β+∠γ=180°

C.∠α+∠β-∠γ=90°

D.∠β+∠γ-∠α=90°

4.已知:

如图,AB∥CD,∠B=40°,∠D=20°,求∠BED的度数.

5.已知:

如图,AB∥CD.求证:

∠1+∠3-∠2=180°.

6.

(1)①如图1所示,已知AB∥CD,∠ABC=60°,根据_______________

______________,可得∠BCD=____________;

②如图2所示,在①的条件下,若CM平分∠BCD,则∠BCM=_______;

③如图3所示,在①②的条件下,若CN⊥CM,则∠BCN=__________.

(2)尝试解决下面的问题:

如图4所示,AB∥CD,∠B=40°,CN是

∠BCE的平分线,CN⊥CM,求∠BCM的度数.

 

7.如图

(1),已知直线l1∥l2,且l3与l1、l2分别交于A、B两点,l4与l1、l2分别交于C、D两点,记∠ACP=∠1,∠BDP=∠2,∠CPD=∠3,点P在线段AB上.

(1)若∠1=25°,∠2=33°,则∠3=  ;

(2)猜想∠1,∠2,∠3之间的相等关系,并说明理由;

(3)如图

(2),点A在点B的南偏东23°方向,在点C的西南方向,利用

(2)的结论,可知∠BAC=  ;

(4)点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时,其它条件不变,请直接写出∠1,∠2,∠3之间的相等关系.

 

8.如图,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ADC=70°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在AB,CD之间.

(1)如图1,点B在点A的左侧,若∠ABC=60°,求∠BED的度数?

(2)如图2,点B在点A的右侧,若∠ABC=100°,直接写出∠BED的大小.

 

9.小明同学在完成第10章的学习后,遇到了一些问题,请你帮助他.

(1)图1中,当AB∥CD,试说明∠AEC=∠BAE+∠DCE.

(2)图2中,若∠AEC=∠BAE+∠DCE,则AB∥CD吗?

请说明理由.

(3)图3中,AB∥CD,若∠BAE=x°,∠AEF=y°,∠EFD=z°,∠FDC=m°,则m=  .(直接写出结果,用含x,y,z的式子表示)

 

10.如图,∠BED=∠B+∠D,猜想AB与CD有怎样的位置关系,并说明理由.

 

11.直线AB∥CD,点P在其所在平面上,且不在直线AB,CD,AC上,设∠PAB=α,∠PCD=β,∠APC=γ(α,β,γ,均不大于180°,且不小于0°)

(1)如图1,当点P在两条平行直线AB,CD之间、直线AC的右边时试确定α,β,γ的数量关系;

(2)如图2,当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时试确定α,β,γ的数量关系;

(3)α,β,γ的数量关系除了上面的两种关系之外,还有其他的数量关系,请直接写出这些.

 

12.

(1)读读做做:

平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形.在解决某些平面几何问题时,若能依据问题的需要,添加恰当的平行线,往往能使证明顺畅、简洁.

请根据上述思想解决教材中的问题:

如图①,AB∥CD,则∠B+∠D  ∠E(用“>”、“=”或“<”填空);

(2)倒过来想:

写出

(1)中命题的逆命题,判断逆命题的真假并说明理由.

(3)灵活应用

如图②,已知AB∥CD,在∠ACD的平分线上取两个点M、N,使得∠AMN=∠ANM,求证:

∠CAM=∠BAN.

 

13.小华在学习“平行线的性质”后,对图中∠B,∠D和∠BOD的关系进行了探究:

(1)如图1,AB∥CD,点O在AB,CD之间,试探究∠B,∠D和∠BOD之间有什么关系?

并说明理由;小华添加了过点O的辅助线OM,并且OM∥CD请帮助他写出解答过程;

(2)如图2,若点O在CD的上侧,试探究∠B,∠D和∠BOD之间有什么关系?

并说明理由;

(3)如图3,若点O在AB的下侧,试探究∠B,∠D和∠BOD之间有什么关系?

请直接写出它们的关系式.

 

14.已知AB∥CD,点E、F分别为两条平行线AB、CD上的一点,GE⊥GF于G.

(1)如图1,直接写出∠AEG和∠CFG之间的数量关系;

(2)如图2,连接GF,过点G分别作∠BGF和∠BGE的角平分线交AB于点K、H.GH⊥AB.

①求∠HGK的度数;

②探究∠CFG和∠BGF的数量关系并加以证明.

 

15.已知射线AB平行于射线CD,点E、F分别在射线AB、CD上

(1)如图1,若点P在线段EF上,若∠A=25°,∠APC=70°时,则∠C=  ;

(2)如图1,若点P在线段EF上运动(不包含E、F两点),则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是  ;

(3)①如图2,若点P在线段FE的延长线上运动,则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是  ;

②如图3,若点P在线段EF的延长线上运动,则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是  ;

(4)请说明图2中所得结论的理由.

 

16.如图,已知l1∥l2,线段MA分别与直线l1,l2交于点A,B,线段MC分别与直线l1,l2交于点C,D,点P在线段AM上运动(P点与A,B,M三点不重合),设∠PDB=α,∠PCA=β,∠CPD=γ.

(1)若点P在A,B两点之间运动时,若a=25°,B=40°,那么γ=  .

(2)若点P在A,B两点之间运动时,探究α,β,γ之间的数量关系,请说明理由;

(3)若点P在B,M两点之间运动时,α,β,γ之间有何数量关系?

(只需直接写出结论)

 

部分参考答案

7.【解答】解:

(1)∵l1∥l2,

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°,

在△PCD中,∠3+∠PCD+∠PDC=180°,

∴∠3=∠1+∠2=58°,

故答案为:

58°;

(2)∠1+∠2=∠3,

∵l1∥l2,

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°,

在△PCD中,∠3+∠PCD+∠PDC=180°,

∴∠1+∠2=∠3;

(3)过A点作AF∥BE,如图1,

则AF∥BE∥CD,则∠BAC=∠ABE+∠ACD=23°+45°=68°;

故答案为:

68°;

(4)当P点在A的外侧时,如图2,过P作PF∥l1,交l4于F,

∴∠1=∠FPC.

∵l1∥l4,

∴PF∥l2,

∴∠2=∠FPD

∵∠CPD=∠FPD﹣∠FPC

∴∠3=∠2﹣∠1.

当P点在B的外侧时,如图3,过P作PG∥l2,交l4于G,

∴∠2=∠GPD

∵l1∥l2,

∴PG∥l1,

∴∠1=∠CPG

∵∠CPD=∠CPG﹣∠GPD

∴∠3=∠1﹣∠2.

8.【解答】解:

(1)如图1,过点E作EF∥AB,

∵AB∥CD,

∴AB∥CD∥EF,

∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,

∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°,

∴∠ABE=

∠ABC=30°,∠CDE=

∠ADC=35°,

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°;

(2)如图2,过点E作EF∥AB,

∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=100°,∠ADC=70°

∴∠ABE=

∠ABC=50°,∠CDE=

∠ADC=35°

∵AB∥CD,

∴AB∥CD∥EF,

∴∠BEF=180°﹣∠ABE=180°﹣50°=130°,∠CDE=∠DEF=35°,

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°﹣50°+35°=165°.

9.【解答】解:

(1)

过E作EM∥AB,

∵AB∥CD,

∴AB∥CD∥EM,

∴∠BAE=∠AEM,∠DCE=∠CEM,

∴∠AEC=∠AEM+∠CEM=∠BAE+∠DCE;

(2)

过E作EM∥AB,

∵EM∥AB,

∴∠BAE=∠AEM,

∵∠AEC=∠BAE+∠DCE,

∴∠DCE=∠CEM,

∴EM∥CD,

∵AB∥EM,

∴AB∥CD;

(3)

过E作EM∥AB,过F作FN∥AB,

∵AB∥CD,

∴AB∥CD∥EM∥FN,

∴∠BAE=∠AEM,∠FEM=∠EFN,∠DFN=∠CDF,

∴∠BAE+∠EFN+∠DFN=∠AEM+∠FEM+∠CDF,

∴∠BAE+∠EFD=∠AEF+∠CDF,

∵∠BAE=x°,∠AEF=y°,∠EFD=z°,∠FDC=m°,

∴x+z=y+m,

∴m=x+z﹣y,

故答案为:

x+z﹣y.

10.【解答】解:

延长BE交CD于F.

∵∠BED=∠B+∠D,

∠BED=∠EFD+∠D,

∴∠B=∠EFD,

∴AB∥CD.

11.【解答】解:

(1)如图1中,结论:

γ=α+β.

理由:

作PE∥AB,

∵AB∥CD,

∴PE∥CD,

∴∠BAP=∠APE,∠PCD=∠CPE,

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠PCD,

∴γ=α+β.

(2)如图2中,结论:

γ=β﹣α.

理由:

作PE∥AB,

∵AB∥CD,

∴PE∥CD,

∴∠BAP=∠APE,∠PCD=∠CPE,

∴∠APC=∠CPE﹣∠APE,

∴γ=β﹣α.

(3)如图3中,有γ=α﹣β.

如图4中,有γ=β﹣α.

如图5中,有γ=360°=β﹣α.

如图6中,有γ=α﹣β.

综上所述,γ=α﹣β,γ=β﹣α,γ=360°﹣β﹣α.

12.【解答】

(1)解:

过E作EF∥AB,如图①所示:

则EF∥AB∥CD,

∴∠B=∠BEF,∠D=∠DEF,

∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF,

即∠B+∠D=∠BED;

故答案为:

=;

(2)解:

逆命题为:

若∠B+∠D=∠BED,则AB∥CD;

该逆命题为真命题;理由如下:

过E作EF∥AB,如图①所示:

则∠B=∠BEF,

∵∠B+∠D=∠BED,∠BEF+∠DEF=∠BED,

∴∠D=∠BED﹣∠B,∠DEF=∠BED﹣∠BEF,

∴∠D=∠DEF,

∴EF∥CD,

∵EF∥AB,

∴AB∥CD;

(3)证明:

过点N作NG∥AB,交AM于点G,如图②所示:

则NG∥AB∥CD,

∴∠BAN=∠ANG,∠GNC=∠NCD,

∵∠AMN是△ACM的一个外角,

∴∠AMN=∠ACM+∠CAM,

又∵∠AMN=∠ANM,∠ANM=∠ANG+∠GNC,

∴∠ACM+∠CAM=∠ANG+∠GNC,

∴∠ACM+∠CAM=∠BAN+∠NCD,

∵CN平分∠ACD,

∴∠ACM=∠NCD,

∴∠CAM=∠BAN.

13.【解答】解:

(1)∠BOD=∠D+∠B,

理由是:

∵AB∥CD,OM∥CD,

∴AB∥CD∥OM,

∴∠D=∠DOM,∠B=∠BOM,

∴∠DOB=∠DOM+∠BOM=∠B+∠D;

(2)∠B=∠BOD+∠D,

理由是:

过O作OM∥CD,

∵AB∥CD,OM∥CD,

∴AB∥CD∥OM,

∴∠D=∠DOM,∠B=∠BOM,

∴∠B=∠BOM=∠DOM+∠DOB=∠D+∠DOB;

(3)∠D=∠DOB+∠B,

理由是:

过O作OM∥CD,

∵AB∥CD,OM∥CD,

∴AB∥CD∥OM,

∴∠D=∠DOM,∠B=∠BOM,

∴∠D=∠DOM=∠BOM+∠DOB=∠B+∠DOB.

14.【解答】解:

(1)如图1中,结论:

∠AEG+∠CFG=90°.

理由:

作GH∥AB.

∵AB∥CD,

∴GH∥CD,

∴∠AEG=∠EGH,∠CFG=∠HGF,

∵EG⊥FG,

∴∠EGF=90°,

∴∠AEG+∠CFG=∠EGH+∠HGF=∠EGF=90°.

(2)①如图2中,

∵GH平分∠BGE,

∴∠EGH=∠BGH,

∵GH⊥BE,

∴∠GHB=∠GHE=90°,

∴∠EGH+∠GEB=90°,∠B+∠BGH=90°,

∴∠GEB=∠B,

∵GE⊥GF,

∴∠EGF=90°,

∴∠EGH+∠FGH=90°,

∴∠FGH=∠GEB=∠B,

∵∠HKG=∠B+∠KGB,∠HGK=∠HGL+∠KGL,∠KGB=∠KGL,

∴∠HKG=∠HGK=45°.

②结论:

∠CFG=45°+

∠BGF.

理由:

∵AB∥CD,

∴∠ALG=∠CFG,

∵∠ALG=∠LKG+∠KGL=45°+

∠BGF,

∴∠CFG=45°+

∠BGF.

15.【解答】解:

(1)过P作PH∥CD,

∴∠HPC=∠C,

∵AB∥CD,

∴AB∥PH,

∴∠A=∠APH=25°,

∴∠HPC=∠APC﹣∠APH=70°﹣25°=45°;

∴∠C=45°;

(2)∠APC=∠A+∠C;理由如下:

过P作PH∥CD,

∴∠HPC=∠C,

∵AB∥CD,

∴AB∥PH,

∴∠A=∠APH,

∴∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C;

(3)①∠APC=∠C﹣∠A,理由如下:

过点P作PQ∥AB(如图2),

∵AB∥CD,

∴PQ∥CD,

∴∠C=∠CPQ,

∵PQ∥AB,

∴∠A=∠APQ,

∵∠APC=∠CPQ﹣∠APQ,

∴∠APC=∠C﹣∠A;

②∠APC=∠A﹣∠C.理由如下:

过点P作PQ∥AB(如图3),

∵AB∥CD,

∴PQ∥CD,

∴∠C=∠CPQ,

∵PQ∥AB,

∴∠A=∠APQ,

∵∠APC=∠APQ﹣∠CPQ=∠A﹣∠C,

∴∠APC=∠A﹣∠C.

(4)过点P作PQ∥AB(如图2),

∵AB∥CD,

∴PQ∥CD,

∴∠C=∠CPQ,

∵PQ∥AB,

∴∠A=∠APQ,

∵∠APC=∠CPQ﹣∠APQ,

∴∠APC=∠C﹣∠A.

故答案为:

45°,∠APC=∠A+∠C,∠APC=∠C﹣∠A,∠APC=∠A﹣∠C.

16.【解答】解:

(1)∵AC∥BD,

∴β+∠PCD+∠PDC+α=180°,

∵γ+∠PCD+∠PDC=180°,

∴γ=α+β=65°.

故答案为:

65°.

(2)∵AC∥BD,

∴β+∠PCD+∠PDC+α=180°,

∵γ+∠PCD+∠PDC=180°,

∴γ=α+β=

(3)如图,当P在B,M之间时,

∵AC∥BD,

∴∠1=β,

∵∠1=α+γ,

∴β=α+γ.

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