人教版七年级数学下册 第五章 相交线和平行线 第3节和角有关的辅助线暑假作业部分含答案.docx

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人教版七年级数学下册第五章相交线和平行线第3节和角有关的辅助线暑假作业部分含答案

第3节与角有关的辅助线

1.已知：

如图，AB∥CD，∠1=135°，∠3=75°，则∠2的度数为（）

A．45°B．75°C．30°D．105°

第1题图第2题图

2.已知：

如图，∠BAC+∠C=180°，点E是CD上一点，且∠1=32°，

∠AFE=110°，则∠FED的度数为（）

A．78°B．64°C．55°D．60°

3.如图，AB∥EF，∠BCD=90°，则∠α，∠β，∠γ的关系是（）

A．∠β=∠α+∠γ

B．∠α+∠β+∠γ=180°

C．∠α+∠β-∠γ=90°

D．∠β+∠γ-∠α=90°

4.已知：

如图，AB∥CD，∠B=40°，∠D=20°，求∠BED的度数．

5.已知：

如图，AB∥CD．求证：

∠1+∠3-∠2=180°．

6.

（1）①如图1所示，已知AB∥CD，∠ABC=60°，根据_______________

______________，可得∠BCD=____________；

②如图2所示，在①的条件下，若CM平分∠BCD，则∠BCM=_______；

③如图3所示，在①②的条件下，若CN⊥CM，则∠BCN=__________．

（2）尝试解决下面的问题：

如图4所示，AB∥CD，∠B=40°，CN是

∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．

7．如图

（1），已知直线l1∥l2，且l3与l1、l2分别交于A、B两点，l4与l1、l2分别交于C、D两点，记∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3，点P在线段AB上．

（1）若∠1＝25°，∠2＝33°，则∠3＝　　；

（2）猜想∠1，∠2，∠3之间的相等关系，并说明理由；

（3）如图

（2），点A在点B的南偏东23°方向，在点C的西南方向，利用

（2）的结论，可知∠BAC＝　　；

（4）点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其它条件不变，请直接写出∠1，∠2，∠3之间的相等关系．

8．如图，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB，CD之间．

（1）如图1，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，求∠BED的度数？

（2）如图2，点B在点A的右侧，若∠ABC＝100°，直接写出∠BED的大小．

9．小明同学在完成第10章的学习后，遇到了一些问题，请你帮助他．

（1）图1中，当AB∥CD，试说明∠AEC＝∠BAE+∠DCE．

（2）图2中，若∠AEC＝∠BAE+∠DCE，则AB∥CD吗？

请说明理由．

（3）图3中，AB∥CD，若∠BAE＝x°，∠AEF＝y°，∠EFD＝z°，∠FDC＝m°，则m＝　　．（直接写出结果，用含x，y，z的式子表示）

10．如图，∠BED＝∠B+∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．

11．直线AB∥CD，点P在其所在平面上，且不在直线AB，CD，AC上，设∠PAB＝α，∠PCD＝β，∠APC＝γ（α，β，γ，均不大于180°，且不小于0°）

（1）如图1，当点P在两条平行直线AB，CD之间、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；

（2）如图2，当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；

（3）α，β，γ的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请直接写出这些．

12．

（1）读读做做：

平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．

请根据上述思想解决教材中的问题：

如图①，AB∥CD，则∠B+∠D　　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；

（2）倒过来想：

写出

（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．

（3）灵活应用

如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：

∠CAM＝∠BAN．

13．小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：

（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？

并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；

（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？

并说明理由；

（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？

请直接写出它们的关系式．

14．已知AB∥CD，点E、F分别为两条平行线AB、CD上的一点，GE⊥GF于G．

（1）如图1，直接写出∠AEG和∠CFG之间的数量关系；

（2）如图2，连接GF，过点G分别作∠BGF和∠BGE的角平分线交AB于点K、H．GH⊥AB．

①求∠HGK的度数；

②探究∠CFG和∠BGF的数量关系并加以证明．

15．已知射线AB平行于射线CD，点E、F分别在射线AB、CD上

（1）如图1，若点P在线段EF上，若∠A＝25°，∠APC＝70°时，则∠C＝　　；

（2）如图1，若点P在线段EF上运动（不包含E、F两点），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是　　；

（3）①如图2，若点P在线段FE的延长线上运动，则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是　　；

②如图3，若点P在线段EF的延长线上运动，则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是　　；

（4）请说明图2中所得结论的理由．

16．如图，已知l1∥l2，线段MA分别与直线l1，l2交于点A，B，线段MC分别与直线l1，l2交于点C，D，点P在线段AM上运动（P点与A，B，M三点不重合），设∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ．

（1）若点P在A，B两点之间运动时，若a＝25°，B＝40°，那么γ＝　　．

（2）若点P在A，B两点之间运动时，探究α，β，γ之间的数量关系，请说明理由；

（3）若点P在B，M两点之间运动时，α，β，γ之间有何数量关系？

（只需直接写出结论）

部分参考答案

7．【解答】解：

（1）∵l1∥l2，

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，

∴∠3＝∠1+∠2＝58°，

故答案为：

58°；

（2）∠1+∠2＝∠3，

∵l1∥l2，

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，

∴∠1+∠2＝∠3；

（3）过A点作AF∥BE，如图1，

则AF∥BE∥CD，则∠BAC＝∠ABE+∠ACD＝23°+45°＝68°；

故答案为：

68°；

（4）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l1，交l4于F，

∴∠1＝∠FPC．

∵l1∥l4，

∴PF∥l2，

∴∠2＝∠FPD

∵∠CPD＝∠FPD﹣∠FPC

∴∠3＝∠2﹣∠1．

当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l2，交l4于G，

∴∠2＝∠GPD

∵l1∥l2，

∴PG∥l1，

∴∠1＝∠CPG

∵∠CPD＝∠CPG﹣∠GPD

∴∠3＝∠1﹣∠2．

8．【解答】解：

（1）如图1，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，

∴∠ABE＝

∠ABC＝30°，∠CDE＝

∠ADC＝35°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°；

（2）如图2，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝70°

∴∠ABE＝

∠ABC＝50°，∠CDE＝

∠ADC＝35°

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣50°＝130°，∠CDE＝∠DEF＝35°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣50°+35°＝165°．

9．【解答】解：

（1）

过E作EM∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EM，

∴∠BAE＝∠AEM，∠DCE＝∠CEM，

∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠BAE+∠DCE；

（2）

过E作EM∥AB，

∵EM∥AB，

∴∠BAE＝∠AEM，

∵∠AEC＝∠BAE+∠DCE，

∴∠DCE＝∠CEM，

∴EM∥CD，

∵AB∥EM，

∴AB∥CD；

（3）

过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EM∥FN，

∴∠BAE＝∠AEM，∠FEM＝∠EFN，∠DFN＝∠CDF，

∴∠BAE+∠EFN+∠DFN＝∠AEM+∠FEM+∠CDF，

∴∠BAE+∠EFD＝∠AEF+∠CDF，

∵∠BAE＝x°，∠AEF＝y°，∠EFD＝z°，∠FDC＝m°，

∴x+z＝y+m，

∴m＝x+z﹣y，

故答案为：

x+z﹣y．

10．【解答】解：

延长BE交CD于F．

∵∠BED＝∠B+∠D，

∠BED＝∠EFD+∠D，

∴∠B＝∠EFD，

∴AB∥CD．

11．【解答】解：

（1）如图1中，结论：

γ＝α+β．

理由：

作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠BAP＝∠APE，∠PCD＝∠CPE，

∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠PCD，

∴γ＝α+β．

（2）如图2中，结论：

γ＝β﹣α．

理由：

作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠BAP＝∠APE，∠PCD＝∠CPE，

∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE，

∴γ＝β﹣α．

（3）如图3中，有γ＝α﹣β．

如图4中，有γ＝β﹣α．

如图5中，有γ＝360°＝β﹣α．

如图6中，有γ＝α﹣β．

综上所述，γ＝α﹣β，γ＝β﹣α，γ＝360°﹣β﹣α．

12．【解答】

（1）解：

过E作EF∥AB，如图①所示：

则EF∥AB∥CD，

∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，

∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，

即∠B+∠D＝∠BED；

故答案为：

＝；

（2）解：

逆命题为：

若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；

该逆命题为真命题；理由如下：

过E作EF∥AB，如图①所示：

则∠B＝∠BEF，

∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，

∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，

∴∠D＝∠DEF，

∴EF∥CD，

∵EF∥AB，

∴AB∥CD；

（3）证明：

过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：

则NG∥AB∥CD，

∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，

∵∠AMN是△ACM的一个外角，

∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，

又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，

∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，

∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，

∵CN平分∠ACD，

∴∠ACM＝∠NCD，

∴∠CAM＝∠BAN．

13．【解答】解：

（1）∠BOD＝∠D+∠B，

理由是：

∵AB∥CD，OM∥CD，

∴AB∥CD∥OM，

∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，

∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；

（2）∠B＝∠BOD+∠D，

理由是：

过O作OM∥CD，

∵AB∥CD，OM∥CD，

∴AB∥CD∥OM，

∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，

∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；

（3）∠D＝∠DOB+∠B，

理由是：

过O作OM∥CD，

∵AB∥CD，OM∥CD，

∴AB∥CD∥OM，

∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，

∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．

14．【解答】解：

（1）如图1中，结论：

∠AEG+∠CFG＝90°．

理由：

作GH∥AB．

∵AB∥CD，

∴GH∥CD，

∴∠AEG＝∠EGH，∠CFG＝∠HGF，

∵EG⊥FG，

∴∠EGF＝90°，

∴∠AEG+∠CFG＝∠EGH+∠HGF＝∠EGF＝90°．

（2）①如图2中，

∵GH平分∠BGE，

∴∠EGH＝∠BGH，

∵GH⊥BE，

∴∠GHB＝∠GHE＝90°，

∴∠EGH+∠GEB＝90°，∠B+∠BGH＝90°，

∴∠GEB＝∠B，

∵GE⊥GF，

∴∠EGF＝90°，

∴∠EGH+∠FGH＝90°，

∴∠FGH＝∠GEB＝∠B，

∵∠HKG＝∠B+∠KGB，∠HGK＝∠HGL+∠KGL，∠KGB＝∠KGL，

∴∠HKG＝∠HGK＝45°．

②结论：

∠CFG＝45°+

∠BGF．

理由：

∵AB∥CD，

∴∠ALG＝∠CFG，

∵∠ALG＝∠LKG+∠KGL＝45°+

∠BGF，

∴∠CFG＝45°+

∠BGF．

15．【解答】解：

（1）过P作PH∥CD，

∴∠HPC＝∠C，

∵AB∥CD，

∴AB∥PH，

∴∠A＝∠APH＝25°，

∴∠HPC＝∠APC﹣∠APH＝70°﹣25°＝45°；

∴∠C＝45°；

（2）∠APC＝∠A+∠C；理由如下：

过P作PH∥CD，

∴∠HPC＝∠C，

∵AB∥CD，

∴AB∥PH，

∴∠A＝∠APH，

∴∠APC＝∠HPC+∠APH＝∠A+∠C；

（3）①∠APC＝∠C﹣∠A，理由如下：

过点P作PQ∥AB（如图2），

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠C＝∠CPQ，

∵PQ∥AB，

∴∠A＝∠APQ，

∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，

∴∠APC＝∠C﹣∠A；

②∠APC＝∠A﹣∠C．理由如下：

过点P作PQ∥AB（如图3），

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠C＝∠CPQ，

∵PQ∥AB，

∴∠A＝∠APQ，

∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ＝∠A﹣∠C，

∴∠APC＝∠A﹣∠C．

（4）过点P作PQ∥AB（如图2），

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠C＝∠CPQ，

∵PQ∥AB，

∴∠A＝∠APQ，

∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，

∴∠APC＝∠C﹣∠A．

故答案为：

45°，∠APC＝∠A+∠C，∠APC＝∠C﹣∠A，∠APC＝∠A﹣∠C．

16．【解答】解：

（1）∵AC∥BD，

∴β+∠PCD+∠PDC+α＝180°，

∵γ+∠PCD+∠PDC＝180°，

∴γ＝α+β＝65°．

故答案为：

65°．

（2）∵AC∥BD，

∴β+∠PCD+∠PDC+α＝180°，

∵γ+∠PCD+∠PDC＝180°，

∴γ＝α+β＝

（3）如图，当P在B，M之间时，

∵AC∥BD，

∴∠1＝β，

∵∠1＝α+γ，

∴β＝α+γ．