对数与对数运算 第1课时优质学案.docx

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对数与对数运算第1课时优质学案

§2.2　对数函数

2.2.1　对数与对数运算

第1课时　对　数

学习目标

　1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．

知识点一　对数的概念

对数的概念：

一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e（e＝2.71828…）为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.

知识点二　对数与指数的关系

思考　求loga1（a>0，且a≠1）的值．

答案　设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.

梳理　一般地，有对数与指数的关系：

若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.

对数恒等式：

＝N；logaax＝x（a>0，且a≠1）．

对数的性质：

（1）1的对数为零；

（2）底的对数为1；

（3）零和负数没有对数．

1．若3x＝2，则x＝log32.（　√　）

2．因为a1＝a（a>0且a≠1），所以logaa＝1.（　√　）

3．logaN>0（a>0且a≠1，N>0）．（　×　）

4．若lnN＝

，则N＝

e.（　×　）

类型一　对数的概念

例1　在N＝log（5－b）（b－2）中，实数b的取值范围是（　　）

A．b<2或b>5B．2

C．4

考点　对数的概念

题点　对数的概念

答案　D

解析　∵

∴2

反思与感悟　由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.

跟踪训练1　求f（x）＝logx

的定义域．

考点　对数的概念

题点　对数的概念

解　要使函数式有意义，需

解得0

∴f（x）＝logx

的定义域为（0,1）．

类型二　对数基本性质的应用

例2　求下列各式中x的值：

（1）log2（log5x）＝0；

（2）log3（lgx）＝1.

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

解　

（1）∵log2（log5x）＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.

（2）∵log3（lgx）＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.

反思与感悟　此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0⇒N＝1；logaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．

跟踪训练2　若log2（log3x）＝log3（log4y）＝log4（log2z）＝0，则x＋y＋z的值为（　　）

A．9B．8C．7D．6

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　A

解析　∵log2（log3x）＝0，∴log3x＝1.

∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.

类型三　对数式与指数式的互化

命题角度1　指数式化为对数式

例3　将下列指数式写成对数式：

（1）54＝625；

（2）2－6＝

；

（3）3a＝27；

（4）

m＝5.73.

考点　对数式与指数式的互化

题点　指数式化为对数式

解　

（1）log5625＝4；

（2）log2

＝－6；

（3）log327＝a；（4）

反思与感悟　指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：

跟踪训练3　

（1）如果a＝b2（b>0，b≠1），则有（　　）

A．log2a＝bB．log2b＝a

C．logba＝2D．logb2＝a

考点　对数式与指数式的互化

题点　指数式化为对数式

答案　C

解析　logba＝2，故选C.

（2）将3－2＝

，

6＝

化为对数式．

考点　对数式与指数式的互化

题点　指数式化为对数式

解　3－2＝

可化为log3

＝－2；

6＝

可化为

（3）解方程：

m＝5.

考点　对数式与指数式的互化

题点　指数式化为对数式

命题角度2　对数式化为指数式

例4　求下列各式中x的值：

（1）log64x＝－

；

（2）logx8＝6；（3）lg100＝x；

（4）－lne2＝x；（5）log（

－1）

＝x.

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

解　

（1）

（2）因为x6＝8，所以

（3）10x＝100＝102，于是x＝2.

（4）由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2.

所以x＝－2.

（5）因为

所以（

－1）x＝

＝

＝

＝

－1，

所以x＝1.

反思与感悟　要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．

跟踪训练4　计算：

（1）log927；

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

解　

（1）设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝

.

∴x＝16.

（3）

∴x＝3.

1．logbN＝a（b>0，b≠1，N>0）对应的指数式是（　　）

A．ab＝NB．ba＝N

C．aN＝bD．bN＝a

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　B

2．若logax＝1，则（　　）

A．x＝1B．a＝1

C．x＝aD．x＝10

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　C

3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（　　）

A．e0＝1与ln1＝0

B．

＝

与log8

＝－

C．log39＝2与

＝3

D．log77＝1与71＝7

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式与指数式的互化

答案　C

4．已知logx16＝2，则x＝________.

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　4

5．设10lgx＝100，则x＝________.

考点　对数的运算

题点　对数恒等式的应用

答案　100

1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b（a>0，且a≠1，N>0），据此可得两个常用恒等式：

（1）logaab＝b；

（2）alogaN＝N.

2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.

一、选择题

1．有下列说法：

①零和负数没有对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以10为底的对数叫做常用对数；

④以e为底的对数叫做自然对数．

其中正确命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

考点　对数的概念

题点　对数的概念

答案　C

解析　①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．

2．已知log3a＝2，则a等于（　　）

A．6B．7C．8D．9

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　D

解析　把log3a＝2化为指数式，有a＝32＝9.

3．ln

等于（　　）

A．0B.

C．1D．2

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　B

解析　设ln

＝x，则ex＝

＝e

，

∴x＝

.

4．方程2

＝

的解是（　　）

A．x＝

B．x＝

C．x＝

D．x＝9

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式与指数式的互化

答案　A

解析　∵2

＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝

.

5．下列四个等式：

①lg（lg10）＝0；②lg（lne）＝0；③若lgx＝10，则x＝10；④若lnx＝e，则x＝e2.

其中正确的是（　　）

A．①③B．②④C．①②D．③④

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　C

解析　①lg（lg10）＝lg1＝0；②lg（lne）＝lg1＝0；

③若lgx＝10，则x＝1010；④若lnx＝e，则x＝ee.

6.

－1＋log0.54的值为（　　）

A．6B.

C．0D.

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　C

解析　

－1＋log0.54＝

－1＋log

4＝2－2＝0.

7．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是（　　）

A．15B．75C．45D．225

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　C

解析　由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，

∴a2m＋n＝（am）2·an＝32×5＝45.

8．log

（3－2

）等于（　　）

A．－2B．－4C．2D．4

考点　对数式与指数式的互化

题点　对数式化为指数式

答案　A

解析　3－2

＝2－2

＋1＝（

）2－2

＋12

＝（

－1）2

＝

2＝（

＋1）－2.

设log

（3－2

）＝t，则（

＋1）t＝3－2

＝（

＋1）－2，∴t＝－2.