完整版高等数学工专讲义doc.docx
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完整版高等数学工专讲义doc
接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相
信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。
常量与变量
变量的定义
我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不
起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我
们则把其称之为变量。
注：
在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象
是极其微小的，我们则把它看作常量。
变量的表示
如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名
区间的满足的不等式
区间的记号
区间在数轴上的表示
称
闭区间
a≤x≤b
[a，b]
开区间a＜x＜b（a，b）
半开区间a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：
[a，+∞）：
表示不小于a的实数的全体，也可记为：
a≤x＜+∞；
（-∞，b）：
表示小于b的实数的全体，也可记为：
-∞＜x＜b；
（-∞，+∞）：
表示全体实数，也可记为：
-∞＜x＜+∞
注：
其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
邻域
设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α
的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数
函数的定义
如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定
的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x
叫做自变量，y叫做因变量。
注：
为了表明y是x的函数，我们用记号y=f（x）、y=F（x）等等来表示.这里的字母"f"、
"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.
注：
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
1
函数的表示
a）：
解析法：
用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：
直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：
x2+y2=r2
b）：
表格法：
将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：
在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c）：
图示法：
用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
例：
直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：
函数的简单性态
函数的有界性
如果对属于某一区间I的所有x值总有│f（x）│≤M成立，其中M是一个与x无关的
常数，那么我们就称f（x）在区间I有界，否则便称无界。
注意：
一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：
函数cosx在（-∞,+∞）内是有界的.
函数的单调性
如果函数在区间（a,b）内随着x增大而增大，即：
对于（a,b）内任意两点x1及
x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间（a,b）内是单调增加的。
如果函数在区间（a,b）内随着x增大而减小，即：
对于（a,b）内任意两点x1及
x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间（a,b）内是单调减小的。
例题：
函数=x2在区间（-∞,0）上是单调减小的，在区间（0,+∞）上是单调增加
的。
函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；
如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注意：
偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式
对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。
注：
我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
2
例题：
函数是以2为周期的周期函数；函数tanx是以为周期的周期函数。
反函数
反函数的定义
设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义
域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.
这个函数用来表示，称为函数的反函数.
注：
由此定义可知，函数也是函数的反函数。
反函数的存在定理
若在（a，b）上严格增（减），其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，
且严格增（减）.
注：
严格增（减）即是单调增（减）
例题：
y=x2，其定义域为（-∞,+∞），值域为[0,+∞）.对于y取定的非负值,可求得
x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间（-∞,+∞）上，
函数不是严格增（减），故其没有反函数。
如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=
就是y=x2在要求x≥0时的反函数。
即是：
函数在此要求下严格增（减）.
反函数的性质
在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。
例题：
函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系
中是关于直线y=x对称的。
如右图所示：
复合函数的定义
若y是u的函数：
，而u又是x的函数：
，且的函数值的
全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函
数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，
其中u叫做中间变量。
注：
并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。
例题：
函数
与函数
是不能复合成一个函数的。
因为对于
的定义域（-∞,+∞）中的任何
x值所对应的u值（都大于或等于
2），
3
使都没有定义。
初等函数
基本初等函数
我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：
指数函数、对数函数、幂函数、三角
函数及反三角函数。
下面我们用表格来把它们总结一下：
函
数
函数的记号函数的图形
名
称
指
数
函
数
对
数
函
数
幂
函a为任意实数
数
这里只画出部分函数图形
的一部分。
三（正弦函数）
角
函这里只写出了正弦函数
数
反
三（反正弦函
角数）
函这里只写出了反正弦函数
数
函数的性质
a）:
不论x为何值,y
总为正数;
b）:
当x=0时,y=1.
a）:
其图形总位于y
轴右侧,并过（1,0）点
b）:
当a＞1时,在区
间（0,1）的值为负；在区间（-,+∞）的值为正；在定义域内单调
增.
令a=m/n
a）:
当m为偶数n为
奇数时,y是偶函数;
b）:
当m,n都是奇数
时,y是奇函数;
c）:
当m奇n偶时,y
在（-∞,0）无意义.
a）:
正弦函数是以
2π为周期的周期函
数
b）:
正弦函数是奇函
数且
a）:
由于此函数为多
值函数,因此我们此函
数值限制在
[-π/2,π/2]上,并称
其为反正弦函数的主
值.
4
初等函数
由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.
例题：
是初等函数。
我们再来学习一下工程技术中常用的函数——双曲函数及反双曲函数
双曲函数及反双曲函数
双曲函数
在应用中我们经常遇到的双曲函数是：
（用表格来描述）
函数
的名函数的表达式
函数的图形
函数的性质
称
a）：
其定
义域
为:
（-∞,+∞）；
双曲
b）：
是奇函数；
正弦
c）：
在定义域内是单调
增
a）：
其定
义域
为:
（-∞,+∞）；
双曲
余弦
b）：
是偶函数；
c）：
其图像过点
（0,1）；
a）：
其定
义域
为:
（-∞,+∞）；
b）：
是奇函数；
双曲
正切
c）：
其图形夹在水平直
线y=1及y=-1
之间；
在定域内单调增；
我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：
双曲函数的性质
三角函数的性质
5
shx与thx是奇函数，chx是偶函数
sinx与tanx
是奇函数，cosx是偶函
数
它都不是周期函数
都是周期函数
双曲函数也有和差公式：
反双曲函数
双曲函数的反函数称反双曲函数.
a）：
反双曲正弦函数
其定域：
（-∞,+∞）；
b）：
反双曲余弦函数
其定域：
[1,+∞）；
c）：
反双曲正切函数
其定域：
（-1,+1）；
数列的极限
我先来回一下初等数学中学的数列的概念。
数列
若按照一定的法，有第一个数
a1，第二个数a2，⋯，依次排列下去，使得任何一个正整数
n着一个确定的数
a，那末，我称列有次序的数
a，a
，⋯，a
，⋯数列.
n
1
2
n
数列中的每一个数叫做
数列的。
第nan叫做数列的一般或通.
注：
我也可以把数列
a
看作自量正整数
n的函数，即：
an
f（n），它的定域是
n
全体正整数
极限
极限的概念是求的精确解答而生的。
例：
我可通作的内接正多形，近似求出的面。
有一，首先作内接正六形，把它的面
1
A；
再作的内接正十二形，其面
2
；
A
再作的内接正二十四形，其面
A3；
依次循下去（一般把内接正6×2n-1
形的面
An）可得一系列内接正多形的面
：
A1，A2，A3，⋯，An，⋯，它就构成一列有序数列。
我可以，当内接正多形的数无限增加，
An也无限接近某一确定的数
（
的面），个确定的数在数学上被称数列
1
2
3
A，A
，A，⋯，An，⋯当n→∞（作n近于
无大）的极限
6
注：
上面个例子就是我国古代数学家刘徽（公元三世）的割。
数列的极限
一般地，于数列来，若存在任意定的正数（不其多么小），存
在正整数N，使得于n＞N的一切不等式xna都成立，那末就称常数a是数列的
极限，或者称数列收于a.
作：
或
注：
此定中的正数只有任意定，不等式xna才能表达出与a无限接近的意
思。
且定中的正整数N与任意定的正数是有关的，它是随着的定而定的。
注：
在此我可能不易理解个概念，下面我再出它的一个几何解，以使我能理解
它。
数列极限a的一个几何解：
将常数a及数列在数上用它的点表示出来，再在数上作点a的
域即开区（a-ε，a+ε），如下所示：
因不等式xna与不等式等价，故当n＞N，所有的点都落在
开区
（a-，a+）内，而只有有限个（至多只有N个）在此区以外。
注：
至于如何求数列的极限，我在以后会学到，里我不作。
数列的有界性
于数列，若存在着正数M，使得一切都足不等式││≤M，称数列是有界的，
若正数M不存在，可数列是无界的。
定理：
若数列收，那末数列一定有界。
注：
有界的数列不一定收，即：
数列有界是数列收的必要条件，但不是充分条件。
例：
数列1，-1，1，-1，⋯，（-1）n+1，⋯是有界的，但它是散的。
函数的极限
前面我学了数列的极限，已知道数列可看作一特殊的函数，即自量取1→∞
内的正整数，若自量不再限于正整数的序，而是化的，就成了函数。
下面我来学函数的极限.
函数的极有两种情况：
a）：
自量无限增大；b）：
自量无限接近某一定点x0，如果
在，函数无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极。
7
我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢?
下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!
函数的极限（分两种情况）
a）:
自变量趋向无穷大时函数的极限
定义：
设函数，若对于任意给定的正数ε（不论其多么小），总存在着正数X，使
得对于适合不等式的一切x，所对应的函数值都满足不等式
那末常数A就叫做函数
当x→∞时的极限
，记作：
下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：
数列的极限的定义
函数的极限的定义
存在数列
与常数A
存在函数
与常数A
任给一正数
ε＞0
任给一正数
ε＞0
总可找到一正整数N
总可找到一正数X
对于n＞N的所有
对于适合
的一切x
都满足
＜ε
都满足
则称数列
当x→∞时收敛于A
函数
当x→∞时的极限为A
记：
记：
从上表我们发现了什么？
？
试思考之
b）:
自变量趋向有限值时函数的极限
我们先来看一个例子.
例：
函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？
函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，
都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:
从中我们可以看出x→1时，→2.而且只要x与1有多接近，就与2
有多接近.
或说：
只要与2只差一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当＜δ
8
时满足＜δ
定义：
设函数在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数A，如果对任意给定的
（不论其多么小），总存在正数δ，当0＜＜δ时，＜
则称函数当x→x0时存在极限，且极限为A，记：
注：
在定义中为什么是在去心邻域内呢？
这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。
此定义的核心问题是：
对给出的，是否存在正数δ，使其在去心邻域内的x均
满足不等式。
有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为A，其证明方法是怎样的呢？
a）:
先任取＞0；
b）:
写出不等式＜；
c）:
解不等式能否得出去心邻域0＜＜δ，若能；
d）:
则对于任给的＞0，总能找出δ，当0＜＜δ时，＜成立，
因此
下面我们来学习函数极限的运算法则和函数极限的存在准则
函数极限的运算规则
前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极
限的运算规则与数列极限的运算规则相似。
函数极限的运算规则
若已知x→x0（或x→∞）时，.
则：
推论：
在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。
例题：
求
9
解答：
例题：
求
此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以
发现此分式的分子
和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？
下面我们把它解出来。
解答：
注：
通过此例题我们可以发现：
当分式的分子和分母都没有极限时就不能运
用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求
之。
函数极限的存在准则
学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。
我们先来看一个例子：
例：
符号函数为
对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.
为此我们定义了左、右极限的概念。
定义：
如果x仅从左侧（x＜x0）趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数
当时的左极限.记：
如果x仅从右侧（x＞x0）趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为
函数当时的右极限.记：
注：
只有当x→x0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在x→x0时有极限
函数极限的存在准则
准则一：
对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外（或绝对值大于某一正数的
10
一切x）有≤≤，且，，那末存在，
且等于A。
注：
此准则也就是夹逼准则.
准则二：
单调有界的函数必有极限.
注：
有极限的函数不一定单调有界
两个重要的极限
一：
注：
其中e为无理数，它的值为：
e=2.718281828459045...
二：
注：
在此我们对这两个重要极限不加以证明.
注：
我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.
例题：
求
解答：
令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，
则
注：
解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代
换1/x，则t→0.
无穷大量和无穷小量
无穷大量
我们先来看一个例子：
已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋
向无穷大。
为此我们可定义如下：
设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N（一个任意
大的数），总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当
时为无穷大量。
记为：
（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）
同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：
设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N（一个任意大的数），
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总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记
为：
无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：
设有函数，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ（或
正数M），使得对于适合不等式（或）的一切x，所对应的函数值满
足不等式，则称函数当（或x→∞）时为无穷小量.
记作：
（或）
注意：
无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的
唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是：
前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.
无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.
关于无穷小量的两个定理
定理一：
如果函数在（或x→∞）时有极限A，则差是
当（或x→∞）时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：
无穷小量的有利运算定理
a）：
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
b）：
有限个无穷小量的积仍是无穷小量；
c）：
常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两
个无穷小量的商会是怎样的呢？
好！
接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：
设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，
a）：
如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无
穷小；
b）：
如果，则称α和β是同阶无穷小；
c）：
如果，则称α和β是等价无穷小，记作：
α∽β（α与
β等价）
例：
因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；
12
因为
2
，所以当x→0时，x是3x的高阶无穷小；
因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
等价无穷小的性质
设，且存在，则.
注：
这个性质表明：
求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来
代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题：
1.求
解答：
当x→0时，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：
例题：
2.求
解答：
注：
注：
从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。
函数的一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现
象在函数关系上的反映，就是函数的连续性
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