弹塑性力学定理和公式.docx
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弹塑性力学定理和公式
弹性模量||广义虎克定律
1.弹性模量
对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括:
a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即
b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即
c 体积弹性模量三向平均应力
与体积应变θ（=εx+εy+εz）之比,即
d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即
此外还有拉梅常数λ。
对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。
常用弹性常数之间的关系见表3-1弹性常数间的关系。
室温下弹性常数的典型值见表3-2弹性常数的典型值。
2.广义虎克定律
线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。
它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。
A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3广义胡克定律表达式） 对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。
对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。
B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律 应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即
体积弹性定律
应力偏量与应变偏量关系式
在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法
弹性力学基本方程||边界条件 ||按位移求解的弹性力学基本方法||按应力求解的弹性力学基本方程||平面问题的基本方程||基本方程的解法||二维和三维问题常用的应力、位移公式
1.弹性力学基本方程
在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。
这15个未知量可由15个线性方程确定，即
（1）3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为
（2）6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为
（3）6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为
或
2.边界条件
弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。
弹性力学问题按边界条件分为三类。
a 应力边界问题 在边界Sσ表面上作用的表面力分量为Fx、Fy、Fz.。
面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为
式中，lnj=cos（n,j）为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。
这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。
b 位移边界问题 在边界Sx上给定的几何边界条件为
式中，U*i为表面上给定的位移分量。
这一类问题是已知体积力和表面各点的位移，求解体内各点的位移、应变和应力。
c 混合问题部分边界上给定力，部分边界上给定位移。
3.按位移求解的弹性力学基本方法
按位移求解时，以3个位移分量为基本未知量，利用几何方程和物性方程，15个基本方程简化为以位移表示的平衡方程：
求解时位移分量在物体内部满足式（3-14），在位移边界Su上满足式（3-13），在应力边界Sσ上满足式（3-12），但式中的应力分量应利用应力-应变关系和应变-位移关系变换为位移的形式。
求出位移分量后，再利用几何方程和物性方程，求出应变和应力分量。
4.按应力求解的弹性力学基本方程
按应力求解时，以6个应力分量为基本未知量。
它们必须满足平衡方程，同时还要满足以应力表示的协调方程，即
式（3-15）和平衡方程式（2-1-22）一起，成为按应力求解弹性问题的基本方程组。
按应力求解弹性问题，就是寻求满足基本方程式（2-1-22）和式（3-15），以及边界条件[式（3-12）]的解。
5.平面问题的基本方程
弹性力学平面问题，包括平面应力和平面应变问题两类。
通常利用应力函数将弹性力学平面问题简化为解双调和方程的边值问题。
平面问题基本方程的直角坐标和极坐标表达式见表3-4平面问题的基本方程。
表中除物性方程外，对于其他方程，平面应力和平面应变问题中的形式是相同的。
比较一下这两类问题的基本方程后可知，只要将平面应力问题的解中的弹性常数E、v改为E/（1-V2）、V/（1-V）后，就得到对应的平面应变问题的解。
因此，对于截面形状和边界条件相同的物体，平面应力问题与平面应变问题中的应力分布（σx、σy、τxy、σz除外）是相同的。
6.基本方程的解法
15个弹性力学基本方程简化为以位移表示的3个平衡方程[式（3-14）]或以应力表示的6个协调方程[式（3-15）]。
求解上述方程时，类似在平面问题中应用艾雷应力函数所用的方法，常引用应力函数或位移函数，以消去应力分量或位移分量，求解以应力函数表示的协调方程，或以位移函数表示的平衡方程。
表3-5帕普科维奇-诺埃伯谢函数和勒夫谢函数列出用帕普科维奇-诺埃伯函数和勒夫函数表示的无体积力时平衡方程的齐次解。
勒夫函数常用于求解轴对称问题。
7.二维和三维问题常用的应力、位移公式
（见表3-6二维和三维问题常用的应力、位移公式）
能量原理
应变能、应变余能与应变能定理||虚位移定理||最小势能原理||虚力原理||
最小余能原理||卡氏定理||互等定理||李兹法
直接求解弹性力学基本方程在数学上存在困难，只有一些比较简单的问题已求得精确解。
而能量法把求解问题的过程转变为一种极值问题，它比直接求解偏微分方程边值问题能更方便地得到近似解。
因此能量原理是目前广泛应用的近似计算方法的基础。
1.应变能、应变余能与应变能定理
a应变能单位体积的应变能称为应变能密度，以W表示。
W为应变分量εij的函数，W可用脚标形式表示为
对于线弹性体，其值为
线弹性体的总应变能为
对各向同性材料，利用虎克定律，应变能密度可用单一的应力分量或应变分量表示为
b应变余能 单位体积的应变余能W*为应力分量σij的函数，W*（σij）定义为
对线弹性体，
c用应变能和应变余能表示力与应变的关系 应变能密度函数W（εij），表示因弹性变形而储存于单位体积内的弹性势能。
应力与应变之间的关系，通过弹性势函数W表示为
如果把应变分量表示为应力分量的函数时，则存在如下关系式，即
对线弹性体，W*=W，式（3-34）变为
d应变能定理如果弹性体在变形过程中无能量耗损，则弹性体内的应变能在数值上等于外力在变形过程中所作的功，即
式中，A为外力所作的功，包括体积力和面力所作的功。
2.虚位移定理
弹性体在外力作用下处于平衡状态时，体内各点如果发生一虚位移δui（所谓虚位移，是指几何约束容许的任意、微小的位移，也就是指符合物体的连续条件和位移边界条件的可能位移），则外力对虚位移所作的功（虚功），等于虚位移所引起的弹性体的虚应变能，即
式中，虚功δA包括体积力fi和面力pi在虚位移δui上所作的功，即
因虚位移而引起的虚应变能为
式（3-37）称为虚功原理或虚位移原理。
虚位移原理等价于平衡条件。
如结构上的外力在虚位移上所作的虚功等于结构的应变能，则结构必处于平衡状态。
在虚位移原理推导过程中并未应用虎克定律，虚位移原理也适用于非弹性体。
3.最小势能原理
如果外力可由一个势函数V导出，外力势V=-A,则δV=-δA.由式（3-37），得变分方程
式中,
称为系统的总势能，是位移的函数。
式（3-38）表明：
弹性体处于平衡状态时，其内力和外力的总势能取驻值。
可以证明，线弹性体处于平衡状态时，其总势能取最小值。
因此，式（3-38）称为最小势能原理。
也就是说，在所有几何容许位移中，满足势能驻值条件δⅡ=0的位移解，使总势能Ⅱ取最小值。
在应用中，可根据势能驻值条件去求解弹性力学问题。
在分析结构稳定问题时，在平衡状态（δⅡ=0），总势能Ⅱ可能取极大值（δ2Ⅱ<0，不稳定平衡），驻值（δ2Ⅱ=0，临界状态）或极小值（δ2Ⅱ>0，稳定平衡）。
4.虚力原理
如对变形协调的弹性体施加某种虚力（即平衡条件所容许的，任意微小的力的改变，包括虚应力δσij和虚面力δpI）,则虚外力在真实位移上的虚余功δA*等于虚应变余能，即
式中（3-40）称虚力原理或余能原理，它和以位移为变量的虚位移原理相对应。
式中
虚力原理将给出协调条件，如对弹性体施加某种虚力，当外虚余功等于虚应变余能时，弹性体必满足变形协调条件。
5.最小余能原理
令
式中，Ⅱ*称为系统的总余能。
由式（4·5-40）得变分方程
式（3-42）表明，在满足平衡方程和静力边界条件的所有应力中，能适合几何边界条件并能产生协调应变场的正确解，使余能取胜驻值。
可以证明，在线弹性小就形情况下，在平衡条件容许的所有应力中，使余能取驻值的应力，就是使余能为最小值的应力，也就是线弹性小变形问题的正确应力解。
因此，式（3-42）称为最小余能原理。
6.卡氏定理
当物体的表面力为集中力时，虚力原理的余能驻值表达式可写为
式中，Qi--广义力
qi--广义位移
由上式得
对于线弹性系统，Ⅱ*=Ⅱ，U*=U，式（3-43）变为
对于线弹性系统，卡氏定理表述为：
系统的应变能对任一集中的偏导数，等于力作用点以力方向的位移。
7.互等定理
设弹性体有两种平衡状态。
第一种平衡状态为面力pi',体积力fi'和相应的位移ui'（i=x,y,z）;第二种状态为面力pi″体积力fi″和相应的位移ui″。
互等定理表述为：
第一组外力在第二组外力引起的位移上所作的功，等于第二组外力在第一组外力引起的位移上所作的功，即
互等定理应用于梁的问题时，得影响系数对称性关系。
设载荷为横向力p，挠度为y，式（3-45）写成
如果梁上只在x1，x2,…，xn处作用有集中力p1,p2,…，pn。
把在xj处作用单位集中引起的在xI处的挠度记为aij,aij称为影响系数，由互等定理得
8.李兹法
李兹法是基于变位移的最小势能原理的直接近似求解方法。
根据问题的几何边界条件，假设的一组位移解中含有待定参数aj、bj、cj。
由最小势能原理，在所有假定的几何容许的位移函数中，真实的位移使总势取驻值。
因此可取如下一系列位移函数的近似解，即
式中，aj、bj、cj为待定参数；uxj（x，y，z）、uyj（x，y，z）、uz（x，y，z）为满足位移边界条件的位移函数。
由势能驻值条件，令
得到3n个线性方程组，解出aj、bj、cj后，代入式（3-47），就得到问题的位移解。
一般只要位移数选择得当，只须取有限几个待定参数，就可得到足够精确的位移解。
李兹法也可以基于最小余能原理的余能驻值条件，直接求得近似应力解。
表3-7弹性基础梁的近似解与精确解的比较
热应力
热弹性方程||热传导方程与温度场||热应力问题的应用
物体加热或冷却时，体内各部分因温度变化而伸缩，如果受到约束就产生热应力。
一种约束是由于物体表面的边界条件产生的。
例如，不同形状的物体均匀升高温度T时产生的热应力为
棒状物体，两端固定 σ=-αET
平板物体，周边固定 σ=-αET/（1-v）
块状物体，外表面固定 σ=-αET/（1-2v）
式中，σ为线膨胀系数，负号表示压应力。
如果热应力超过弹性极限而产生塑性应变εp，冷却后将产生残余应力σR。
如εp小于弹性应变εe时，残余应力σR=εp/E
引起物体热应力的另一种约束为物体内部存在不均匀温度场，物体各部分因伸缩受阴而产生热应力。
热弹性问题主要是指这一类问题
1.热弹性方程
热弹性方程与常温下弹性力学基本方程不同之处在于物性方程，其他平衡方程和几何方程不变。
对于各向同性均质材料，单元体变温时各方向膨胀相同，只发生线应变而无切应变，因此只有三个正应力线应变之间的关系变为
或
按位移求解的热弹性方程见表3-8按位移求解的热弹性基本方程。
2.热传导方程与温度场
在热弹性问题中，物体内应力的分布，取决于不同瞬时物体内温度的分布，即温度场，而温度场则是根据物体的初始温度分布，以及物体与环境之间的热交换条件，求解热传导方程而得到。
A热传导方程对于均质各向同性材料，如材料的热学性能与温度无关时，热传导方程为
式中,
k=λ/cp为热扩散率
λ为热志率
c为比热容
p为密度
W为单位时间内单位体积热源的发热量
由热传导定律，热流密度的大小与温度梯度成正比，而方向相反，即
其中的比例常数，即为热导率λ。
室温时常用材料的热常数,见表3-9热常数（20℃时）。
B温度场温度场一般为位置和时间的函数，即
温度分布与时间无关的温度场称为定常温度场。
物体内无热源时，常温度场的微分方程简化为拉普拉斯方程
在温度场的初始条件和边界条件中，一种情况是给定物体表面的温度分布函数T=F（x,y,z,t）。
另一种情况是给定物体温度和周围环境介质温度，以及两者之间的热交换规律。
例如物体冷却时，传向周围介质的热流密度为
式中，h为传热系数；TB为物体表面温度；TA为环境介质温度。
3.热应力问题的应用
A任意形状薄平板（图3-2）设温度沿板厚方向变化，即T=T（z）。
图3-2 任意形状平板
（1）无外力约束情况下的热应力为
（2）板边固定情况下的热应力为
B矩形薄平板
情况
（1）（图3-3）板外部无约束，温度沿x和z方向不变，即T=T（y）。
平板的热应力为
图3-3 矩形板 情况
（1）
情况
（2）（图3-4）平板外部无约束。
在x=0的y轴上温度为T1，离开y轴时温度急忧剧下降。
板中最低温度为T0。
温度沿y、z方向不变，这时
最大拉应力在o、p处，即σx=Ea（T1-T0）
OP中点处的最大压应力，为σy=-Ea×（T1-T0）。
图3-4 矩形板 情况
（2）
C半无限体中有线热源（图3-5）设半无限体表面（oyz面）的温度为零。
线热源MN∥oz，与表面的距离为a。
单位长度的线热源，单位时间内发出的热量为H。
这时半无限体的热应力为
式中
λ--物体的热导率
图3-5 半无限体中的线热源
D半无限体表面上有点热源（图3-6）设单位时间内点热源o发出的热量为Q。
表面其他地方完全绝热，则物体的温度分布为
物体内的热应力为
图3-6 半无限体表面上的点热源
塑性力学基本方程
屈服条件||塑性应力应变关系||滑移线场理论||极限分析定理
1.屈服条件
对于处于单向拉伸（或压缩）的物体，当应力达到屈服极限时，材料开始进入塑性状态，对于处于复杂应力状态的物体，由弹性状态过渡到塑性状态的临界条件称为屈服条件。
在应力空间将初始屈服的应力点连成的弹性和塑性的分界面称为屈服面。
描述屈服面的数学表达式称为屈服函数。
常用的各向同性金属材料的屈服试验表明，屈服应力数据点介于屈雷斯卡（Tresca）屈服条件和密赛斯（Mises）屈服条件之间，而更接近于密赛斯屈服条件。
A 屈雷斯卡屈服条件（最大切应力条件）屈雷斯卡屈服条件为：
当最大切应力达到某一极限值时，材料开始进入塑性状态，即
在主应力空间，当差值∣σ1-σ2∣、∣σ2-σ3∣、∣σ3-σ1∣中任一个达到2k时，材料进入塑料性状态。
因此用屈雷斯卡条件表示的屈服面为由下列六个平面组成的正六边形柱体（图3-7a），即
材料常数k由实验确定。
在拉伸试验时，σ1=2k=σs，即k=σs/2。
在纯剪切试验时，σ1-σ3=2k=2τs，即k=τs。
如果屈雷斯卡条件成立，必有τs=1/2σs
图3-7 屈服面
B 密赛斯屈服条件密赛斯条件为：
:
当切应力强度τI等于剪切屈服极限τs时，材料开始屈服；或者当应力强度σI等于拉伸屈服极限σs时，材料开始屈服，即
或
式中，j′2为应力偏量第二不变量
对于密赛斯条件，τs=σs。
密赛斯条件与屈雷斯卡条件的最大差别不超过15%。
在主应力空间，密赛斯屈服面为一外接于屈雷斯卡屈服面的圆柱面。
在平面应力状态，设σs＝0，则在σ1、σ2应力平面上，密赛斯条件为一椭圆，屈雷斯卡条件为内接六边形（图3-7b）。
C 后继屈服函数（加载函数）已产生塑性变形的材料，继续塑性变形的条件，称为后继屈服条件。
在主应力空间满足后继屈服条件的应力点所连成的曲面，称为后继屈服面（加载面）。
对于理想塑性材料，后继屈服面即为初始屈服面；对于强化材料，后继屈服面随塑性变形的历史而变化。
描述后继屈服面的函数，称为后继屈服函数或加载函数，一般可写成
式中，H为应变历史和材料性质的函数。
在应力空间，加载面随H的变化而改变其形状、大小和位置。
目前应用较多的两种简单的强化模型为等向强化模型和随动强化模型。
图3-8表示按照屈雷斯卡屈服条件在π面（σ1+σ2+σ3=0的面）上的屈服曲线和加载曲线。
图3-8 屈服曲线和加载曲线
等向强化模型的加载函数表示为
式中，H为决定于塑性应变历史的单调递增正函数。
加载面是初始屈服面等向扩大，屈服面中心位置不变。
这种模型不考虑材料的包辛格效应。
随动强化模型的加载函数表示为
式中，σij表示初始屈服面中心在应力空间的残茶剩饭量。
加载面的大小，形状保持不变。
2.塑性应力应变关系
塑性应力应变关系有增量（流动）理论和全量（形变）理论两种类型。
A 增量理论 材料在塑性变形时，应力与应变之间一般不存在一一对应的关系。
增量理论假设在塑性流动的任一瞬时，塑性应变增量矢量与加载面正交，即
对理想塑性材料，ψ＝f。
若取f为密赛斯屈服函数时，上式变为
对于刚塑性材料，式（3-70）写成完全表达式为
式中，
式（3-71）称为列维-密赛斯（levy-Mises）关系式。
若考虑弹性变形，则对密赛斯理想塑性材料有
式中，塑性功增量
式（3-73）称为普朗特-劳埃斯（prandtl-Reuss）关系式。
对于具有密赛斯等向强化加载面的强化材料，增量理论公式中的比例因子dλ为与材料强化性质有关的非负标量，当加载时
式中H′为强化函数H对其自变量的导数。
B 全量理论 全量理论用应力和应变的瞬时值表示的塑性应力应变关系，是塑性应力应变增量关系沿加载途径的积分形式。
当满足小变形及简单加载（应力分量成比例增长）条件，应力强度ai和应变强度εi之间存在单一的函数关系。
这时全量理论表达为
式中，应变强度
3.滑移线场理论
滑移线场理论，是基于塑性材料在屈服流动时，沿最大切应力方向，成为塑性变形区内的特征性质。
据此来对整个变形区进行应力分布的数值分析。
此处所讨论的滑移线场理论，只限于各向同性的理想刚塑性材料的平面应变问题，并假设屈服条件与静水压力无关。
A 应力方程不滑移线场的几何性质
（1） 应力方程在塑性变形区内，连接最大切应变方向的线，称为滑移线。
两族正交的滑移线组成的网络，称为滑移线场。
这两簇曲线，分别称为α簇和β簇。
从α线到β逆时针转动时，最大主应力方向在α线和β线之间。
从x轴到α线的逆时针转角用θ表示（图3-9）。
α、β的曲线方程为
图3-9 α、β线和应力图
由于主切应力面上的切应力k=τs，如果正应力σ（σ=σx+σy/2）和θ角已知时，滑移线场内任一点的应力仅取决于σ、θ的变化，即
由单元体平衡条件，应力沿滑移线变化规律为
式（3-80）称为汉基（Hencky）应力方程
（2） 滑移线场的几何性质
1.沿线性质 由应力方程,沿同一滑移线移动时,σ和θ的变换成正比,即
在直线段上,σ和θ都是常量。
2.跨线性质（图3-10）位于两根同簇滑移线之间的另一簇滑线段上，θ的变化相等，即
相应地，σ的变化也相等，即
图3-10 跨线性质
B 速度方程和速端曲线在刚塑性体平面应变问题中，沿滑移线上的线应变为零。
因此将任一点处的质点速度沿α线和β线分解为vα和vβ（图3-11），得到速度沿线变化规律为
图3-11 速度的分解
式（3-84）称为盖林格（Geiringer）速度方程。
可以把速度方程改写成差分方程，求出节点速度，建立速度场。
也可以用作图法作速度图（速度矢端曲线）来表示速度分布。
由于沿滑移线上线应变为零，同一滑线相邻两点的相对速度必与该滑移线线元正交。
因此滑移线上各点的速度矢端曲线与该滑移线线元正交。
图3-12中代表P1点的速度平面上的映象即为速度图。
图3-12 速度场和速端曲线
（a）物理平面 （b）速端曲线
4.极限分析定理
在设计中把加载的极限状态作为设计准则的分析方法，称为极限分析。
理想刚塑性结构的极限载荷，是指载荷增加到某一数值时，结构达到极限状态，这时即使载荷不再增加，塑性变形继续发展。
由于求解弹塑性结构极限状态对应的极限载荷比较复杂，因此需要寻求一种计算极限载荷的近似方法，即利用极限分析上下限定理，来估计极限载荷的近似值范围。
在分析中，把材料假定为理想刚塑性体。
刚塑性材料平面应变问题的真实解，在应力方面体内应满足平衡方程、屈服条件和应力边界条件，在几何方面应满足体积不变条件和速度边界条件，并使外力对速度场作正功率。
在实际问题中，要同时满足全部条件是困难的。
如果只满足应力方面的条件，这时所得到的应力场称称为静力许可应力场。
根据这个应力场求得的载荷为真实极限载荷的下限。
如果只满足应变和位移条件所求得的速度场，称为运动许可速度场，由此求得的载荷为真实极限载荷的上限。
如果上下载荷相等，所求得的载荷，即为真实的极限载荷。
A 下限定理由任何静力许可应力场所求得的载荷，恒小于或等于极限载荷。
在塑性状态下，物体发生一微小变形速度vi时，在非作用力表面Sv上，任一静力许可应力场所引起的表面力T′i所作的功率，恒小于或等于极限载荷表面力Ti所作的功率，即
B 上限定理 任一与运动许可速度场相对应的载荷，恒大小或等于极限载荷。
在塑性状态下，任一运动许可速度场上所作的功率，恒大于或等于极限载荷表面力，在真实应变速度场上所作的功率，即
式中，V*I--任一运动许可速度场
k--剪切屈服应力
S*D--速度不连续面
ΔV*--S*D面上速度不连续量
σ*ij和ε*ij——由V*i导出的应力和应变速度率 如果塑性机构按刚性块在速度不连续面上相互移动，则上式左边第一项为零，在许多实际问题中，力的边界条件
，这时式（3-86）简化为
粘弹性
粘弹性模型与本构关系 || 三维性粘弹性理论的基本方程与对应原理
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