高职高等数学函数.docx

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高职高等数学函数

第1章函数

一函数的概念

1.1.1常量与变量

定义设在某个变化过程中有两个变量X和y,变量y随着x的变化而变化，当x在一个非空数集D上任取一值时，y依照某一对应规则f总有一个确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数。

记为

数集D称为这个函数的，，记为D（f）。

当自变量X在其定义域内取某确定值X0时，因变量y按照所给的函数关系（），求出

的对应值yo,称做当x=xo时的函数值。

记为

X=Xq

相应地，y值的集合

称为函数y二f（x）的o

注意

1•函数的定义有两个要素，即定义域（D）与对应规则⑴。

所以，只有当两个函数的定义域和对应规则完全相同时，他们才是同一个函数。

2.函数的定义域D,要符合客观要求。

如：

身高、体重等不能小于0;……

3•求函数定义域时，要注意：

分式中分母不为0；根式中负数不能开偶次根；对数中霁大于0…

4•对于特殊函数反三角函数（arcsinx等），除定义域与法则以外，数学上同时也烦定了它的值域。

y=arcsinx

XG[L1UE[292]

y=arccosx

xe[-l.llye[0,7r]

y=arctan%

7T7TxeR,ye（--,-）

二函数的表示方法

常用的表不方法有三种：

解析法（公式法）、表格法和图示法。

（1）解析法是指用解析表达式（或公式）去表示函数关系。

例如

（2）表格法是用列表的方法来表不函数关系，例如水文监测站统计了某河流20年内平均月流量V,如表1・1所示。

表1・1

X

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y

平均月流量V

/亿m

0.32

0.29

0.4

7

0.64

0.3

3

0.7

7

4.1

4.2

3.7

1.9

0.9

0.7

2

这是用表格表示的函数，当自变量x取1~12之间任意一个整数时，从表格里可得出y的一个对应值。

（3）图示法是用直角坐标系xOy平面上的曲线表示函数关系

25Q

252^0.8

25QW.7

写出下面函数关系的表达式

例：

学校外超市，由于期假货物积压，现物价促销,可乐原价2.50%/罐，现促销如下：

10罐以上（含）8折，20罐以上（含）7折。

请写出此时可乐的销售量（Q）与销售收入（R）之间的关系函数。

0

10

Q>20

四反函数

定义设给定y是x的函数，如果对其值域R中的任一值y,都可通过关系式在其定义域D中确定唯一的一个x与之对应，则得到一个定义在R上的以y为自变量，x为因变量的函数，我们称其为的反函数。

记为

y-定义域值如

（C为常数）

五初等函数

1.5.1基本初等函数及其图形

下列函数称为基本初等函数

（1）

常量：

y=c

（2）幕函数：

（3）指数函数:

（4）对数函数:

（5）三角函数:

（6）反三角函数:

1.5.2复合函数：

：

：

•••（定义y=f^i）,女=“€元＞

函数呪=衣工）的值域的全部或一部分包含在函数y=f^＞的定义域内，则对=孚©＞的定义域内的某些x,有

此函数称函数呪=么戈）与函数：

y『厂合而成的复合函数，其中u称为中间变量。

重点掌握复合函数的分解

注意不是任何两个函数都可以复合成一阴个复合函数，例如，•1

y=arcsia,m=2h■用就不能复合成一个复合函数，因为

的定义域中的任何值x所对应

的u值都大于或等于2,即全部落在y=arcsia的定义域之外。

例设，求复合函数定义由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合过程所构成的函数，叫作初等函数。

例如

等等O

六函数的几种性质•

1.6.1函数的单调性*

定义设函数y=f（x^义在D上：

（1）沟V兀巧、eZlWfOq）

⑺沟eZ^W/'Oq）>/C^）

则称g为减函数

1.6.2函数的奇偶性

定义3设函数y=f（x）在D上有定义，

（1）若对于任意的xlTJ

恒有丿安总则称f（x）为偶函数。

（2）对于任意的jc&E

恒有则称f（x）为奇函数。

注意

当函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的，即若乂曰匚,则TVU匸o

偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

例判定函数,8=1足二兰的奇偶性

角军f

l-^v

1-HV

定义

若存在常数丁—o对任意的x,恒

有,则称y=f（^）为周期函数。

使得上述等式成立的最小正数T,称为的最小正周期，简称函数》=/*（劝的周期。

例，虽就是一个周期函数，它的周期为刀。

定义设函数在区间（a,b）内有定义，若存在正数mao（吏得对于任意的文曲4，恒有J/gvM,则称函数/（兀）在（a,b）内是有界的。

否则，称函数/（乂）在（a,b）内是无界的。

例如函数，=sim在北吕尺内是有界的，因为对于任意kwZ?

的恒有|sinx|<1。

例（1^0=gQJV

Q/Cd=-^^Ql>.

值得注意的是：

同一法则，在不同定义域里，或许会有不同的性质！

小结

本章主要讲授函数概念，通过本章的学习要掌握函数定义域的求法，值域的求法,理解函数的性质。

在正确理解函数概念的基础上，还要对六种基本初等函数的性质图象以及反函数、复合函数做到真正的理解。