（3）原命题的否定为“∃x∈R＋，使
≤0”，这个命题是假命题.
题型二存在量词命题的否定
【典例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
（1）有一个奇数不能被3整除；
（2）有些三角形的三个内角都是60°；
（3）∃x∈R，使得|x＋1|≤1.
[解]
（1）题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除．
（2）题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.
（3）题中命题的否定为“∀x∈R，有|x＋1|>1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1.
（1）对存在量词命题否定的两个步骤
①改变量词：
把存在量词换为恰当的全称量词．即：
存在量词（∃）
全称量词（∀）．
②否定结论：
原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
（2）存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
[针对训练]
2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
（1）有的素数是偶数；
（2）∃x∈R，使x2＋x＋
<0；
（3）至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解]
（1）题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．
（2）题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋
≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋
＝
2≥0.
（3）题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.
课堂归纳小结
1．写出一个含有量词的命题的否定，一般分二步：
一是改量词，二是否结论.
2.能够判断一个“命题的否定”的真假，注意到一个命题和命题的否定一真一假.
1．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2－2x－3≤0
B．∃x∈R，x2－2x－3≥0
C．∃x0∈R，x2－2x－3>0
D．∀x∈R，x2－2x－3>0
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.
[答案] D
2．已知命题p：
∀x>0，x2≥2，则它的否定为（ ）
A．∀x>0，x2<2B．∀x≤0，x2<2
C．∃x≤0，x2<2D．∃x>0，x2<2
[答案] D
3．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ）
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以选项A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D错误，选项C正确，故选C.
[答案] C
4．对下列命题的否定，其中说法错误的是（ ）
A．p：
∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：
∃x≥3，x2－2x－3<0
B．p：
存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：
每一个四边形的四个顶点共圆
C．p：
有的三角形为正三角形；p的否定：
所有的三角形不都是正三角形
D．p：
∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：
∀x∈R，x2＋2x＋2>0
[解析] 若p：
有的三角形为正三角形，则p的否定：
所有的三角形都不是正三角形，故C错误．
[答案] C
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
（1）菱形是平行四边形；
（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（3）存在一个三角形，它的内角和大于180°；
（4）∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
[解]
（1）题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题．
（2）是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：
存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题．
（3）题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．
（4）题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1>0”，这个命题为真命题．因为x2＋x＋1＝x2＋x＋
＋
＝
2＋
>0.
课后作业（九）
复习巩固
一、选择题
1．命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是（ ）
A．∃x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0
D．∀x∈Z，使x2＋2x＋m>0
[解析] 存在量词命题的否定为全称量词命题，否定结论，故选D.
[答案] D
2．命题p：
“有些三角形是等腰三角形”的否定是（ ）
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
[解析] 在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：
“有些”改为“所有”，否定结论：
“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.
[答案] C
3．已知命题p：
∀x>0，x＋
≥2，则它的否定为（ ）
A．∀x>0，x＋
<2B．∀x≤0，x＋
<2
C．∃x≤0，x＋
<2D．∃x>0，x＋
<2
[答案] D
4．命题“∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是（ ）
A．∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.
[答案] C
5．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．∀x∈R，x＋
≥2B．∃x∈R，x2－x>5
C．∃x∈R，|x＋1|<0D．∀x∈R，|x＋1|>0
[解析] 选项A，当x<0时，x＋
≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错，故选B.
[答案] B
二、填空题
6．命题p：
∃x∈R，x2＋3x＋2<0，则命题p的否定为________．
[解析] 命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.
[答案] ∀x∈R，x2＋3x＋2≥0
7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________．
[解析] 该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．
[答案] 任意一个三角形都有外接圆
8．由命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] 因为命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>
.故实数a的取值范围是a>
.
[答案]
三、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）关于x的方程ax＝b都有实数根；
（2）有些正整数没有1和它本身以外的约数；
（3）对任意实数x1，x2，若x1＋1＋1；
（4）∃x>1，使x2－2x－3＝0.
[解]
（1）这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．
（2）这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．
（3）这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1＋1≥x
＋1”．这个命题中若x1＝－1，x2＝1，有x
＋1＝x
＋1，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．
（4）这个命题的否定为“∀x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．
10．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
[解] 题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．
所以a＝0，或
即a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1.
所以实数a的取值范围是{a|a≤1}．
综合运用
11．设命题p：
∃n∈N，n2>2n，则p的否定为（ ）
A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n
[解析] 因为“∃x∈M，p（x）”的否定是“∀x∈M，綈p（x）”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
[答案] C
12．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nB．∀x∈R，∀n∈N*，使得nC．∃x∈R，∃n∈N*，使得nD．∃x∈R，∀n∈N*，使得n[解析] 由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n[答案] D
13．命题：
存在一个实数对，使2x＋3y＋3＜0成立的否定是
_______________________________________________________.
[答案] 对任意实数，2x＋3y＋3≥0恒成立
14．给出下列命题：
①∀x∈R，x2>0；
②∃x∈R，x2＋x＋1≤0；
③∀x<3，函数y＝
有意义；
④∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.
其中是真命题的个数为________．
[解析] ①当x＝0时，x2＝0，是假命题；②x2＋x＋1＝
2＋
≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a＝2－
，b＝3＋
时，a＋b＝5，是真命题．
[答案] 1
15．命题p：
∃x∈R，
>0的否定为____________________．
[答案] ∀x∈R，
≤0或
无意义
16．已知p：
≤2，q：
{x|－m≤x－1≤m，（m＞0）}，且p的否定是q的否定的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] 由q得1－m≤x≤1＋m，
∴q的否定为：
A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．
由
≤2，解得－2≤x≤10，
∴p的否定为：
B＝{x|x＞10或x＜－2}．
∵p的否定是q的否定的必要不充分条件．
∴AB，∴
或
即m≥9或m＞9，∴实数m的取值范围是m≥9.
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