全等三角形证明题含答案版.docx
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全等三角形证明题含答案版
2、如图，
AB=AC.AD丄BC于点DAD=AE.AB平分ZDAE交DE于点F
•请你写出图中三对全等三角形•并选取其中一对加以
1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是
BC延长线上一点•连结AG,点E.F分别在AG
上.连接BE、DF・Z1=Z2•Z3=Z4・
（1）证明：
AABE^ADAF：
（2）若ZAGB=30°・求EF的长.
【解析】
（1）•••四边形ABCD是正方形，
/.AB=AD.
Z2=Z1
r,Z4=Z3
在ZkABE和ZkDAF中，，
AAABE^ADAE
（2）•••I川边形ABCD是正方形.
/.Zl+Z4=90°
VZ3=Z4,
•••Z1+Z3=9O°
.•-ZAFD=90°
在正方形ABCD中，AD〃BC,•••Z1=ZAGB=3O°
在RtAADF中，ZAFD=90°AD=2,•••AF=",DF=k
（1）求证:
RtAABpE^RtACBF:
AAE=DF=L
⑵若ZCAE=30。
•求ZACF度数.•••EF=AF・AE=丁3-1
第22题图
【解析】
即ZACE=ZBCD,
'AC=BC
苍4ACE和厶BCD中，〈乙ACE=乙BCD・
CE=CD
•••△ACE丝ABCD（SAS）,
/.AE=BD.
5、如图10•已知R血ABC三R込ADE,
ZABC=ZADE=9O°,
（1）VZABC=90c•••ZCBF=ZABE=90a
在RtAABE和RtACBF中
•••AE=CEAB=BC:
.Rt△ABE竺Rl△
CBF（HL）
（2）••・AB=BC,ZABC=90°AZCAB=Z
ACB=45°
VZBAE=ZCAB-ZCAE=45°-30°=15°・
由
（1）知RtAABE^RtACBF.AZBCF=
ZBAE=15°
BC与DE相交于点F,连接CD、EB・
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举:
（2）求证：
CF=EF・
【解析】
AZACF=ZBCF+ZACB=45°+15°=60°
（1）4ADC三氐ABEACDFmbEBF
（2）证法一连接C£
4、已知：
如图•点C是线段AB的中点,CE=CD,ZACD=
ZBCE,
题20图
【解折】
•••点C是线段AB的中点,
•••AC=BC,
VZACD二ZBCE,
••・Rt^ABC=Rt^ADE
:
.AC=AE
ZACE=ZAEC
又•••Rt^ABC=Rt^ADE
:
.ZACB=ZAED
•••ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,
ZACE—ZACB=ZAEC-ZAED
即ZBCE=ZDEC
:
.CF=EF
证法二：
•：
RtZBC三RtbADE
■
••
AC=AE,AD=AB,ZCAB=ZEAD.
■
••
ZCAB-ZDAB=ZEAD-ZDAB
^ZCAD=ZEAB
:
.^ACD=^AEB（SAS）
:
.CD=EB、ZADC=ZABE
又•・•ZADE=ZABC
・•.ZCDF=ZEBF
又•・•ZDFC=ZBFE
:
.ZCDF=ZEBF（AAD）
CF=EF
6、如图，点F是CD的中点，且4F丄CDBC=
ED,/BCD=ZEDC・
（1）求证：
AB^AE：
（2）连接BE.请指出BE与AF、BE与CD分别
有怎样的关系？
（只需写出结论,不必证明）.
【解析】
（1）证明：
联结AC.AD
•••点F是CD的中点•且AF丄CD・・・AC=AD
•••ZACD=ZADC
•••ZBCD=ZEDC
•••ZACB=ZADE
•••△ABC丝ZkAED
：
•AB=AE
（2）BE丄AF.BE//CD.AF平分BE
（2）如图2,若点E在AC的延长线上，AIVI丄BE于点卜仁交DB的延长线于点F.其它条件不变.则结论"OE=OFM还成立吗?
如果成立.请给出证明：
如果不成立.请说明理由.
又VAM丄BE,•••ZMEA+ZMAE=
90o=ZAFO+ZMAE
aZmea=Zafo
•••©△BOE仝RtAAOF
••・OE=OF
TBODE,AC=AD
（2）0E=0F成立
证明：
•••四边形ABCD是正方形，
•••zBOE=ZAOF=90°・OB=OA
又VAM丄BE,•••ZF+ZMBF=
90°=ZB+ZOBE
又VZMBF=ZOBE
•・•等边三角形中，AB=AC,ZB=ZCAP=60°
又由条件得AP=BQ,•••SABQ仝
ACAP（sas）
•••ZBAQ=ZACP
AZF=ZE
ARtABOE^RtAAOF
•••OE=OF
乙CMQ=AACP+ZCAM=ZBAQ+ZCAM=ZBAC=60°
8、如图1,点PxQ分别是边长为4cm的等边AABC边
AB、BC上的动点，点P从顶点A•点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为lcEs.
（1）连接AQ、CP交于点则在P、Q运动的过程中，ZCHQ变化吗？
若变化.则说明理由，若不变，则求出它的度数：
（2）何时APBO是直角三角形？
（3）如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB.BC上运动，直线AQ.CP交点为爪则ZCMQ变化吗？
若变化.则说明理由.若不变.则求出它的度数；
（2）设时间为t,则AB=BQ=t.PB=4-t
当
ZPQB=90°时，ZB=60°,PB=2BQ儆==：
当
ZBPQ=90°时，•・•ZB=60°,/.BQ=2P0得2/=2（4—/）J=2
4
•••为第一秒或第2秒时.APBQ为直角三角形
3
图1
【解析】
（1）ZCMQ=60°不变。
（3）ZCM0=12O°不变。
•・•ZCMQ=ZPBC=3
9、如图：
AACB-tjADCE是全等的两个直角三角形，其中ZACB=ZDCE=90\AC=hBC=2.点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.
（1）直线DE与AB有怎样的位宜关系？
请证明你的结论：
（2）如图
（1）若ZkDCE沿普直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上.求平移距离DD•:
（3）在ADCE沿若直线DB向右平移的过程中，使Adce与Aacb的公共部分是四边形.设平移过程中的平移距离为x，这个四边形的面枳为y,求y
「“r1丫9
•••S=—广+/+2=—t——+-2）4
•••0WrW2.・・当/=-时,s的值最大.
2
（3）存在.
设经过t秒时，NBr0M=2f则CN=3-仁
AM=4-2/
:
.ZBCA=ZMAQ=45
①若ZAQM=90，则PQ是等腰RiaMQA
底边上的舟
与x的函数关系式.并写出它的定义域.
PQ是底边M4的中线
A
②若ZQMA=90.
（1）
重合
:
.QM=QP=MA
【解析】
解：
（1）点M
（2）经过/秒时，NB=t■
OM=2t则
CN=3—t、AM=4—2/
•*•/=1
•••点M的坐标为（2,0）
10.如图.A,F£B四点共线.AC丄CE•BD丄DF、AE=BF、AC=BD。
求证：
MCF=SBDE.
••・ZBC4=ZMAQ=45。
AQN=CN=3_t
PQ=1+t
•••S△矶詁AM・P0=g（4—20（1+0
=一尸+/+2
【解析】
•・・AC丄CE,BD丄DF
・•・ZACE=ZBDF=90
在RtMCE与RtSBDF中
[AE=BF
••[AC=BD
:
.RtAACE=RtSBDF（HL）
••・Z4=ZB
•・・AE=BF
・•・AE-EF=BF—EF,即AF=BE
在、ACF与HBDE中
AF=BE
AC=BD
・•・4\CF三ABDE（SAS）
11、如图，D是A4BC的边BC上的点•且CD=AB・
ZADB=ZBAD.AE是的中线。
求证：
延长AE至点使EF=AE,连接DF在MBE与HFDE中
AC=2AEO
AE=FE
••…ZAEB=ZFED
BE=DE
・•・MBE=SFDE（SAS）
•・・ZADF=ZADB+ZEDF
ZADC=ZBAD+ZB
又.・ZADB=ZBAD
••・ZADF=ZADC
•・•AB=DF■AB=CD
••・DF=DC
在MDF与AADC中
AD=AD
・・・DF=DC
••・MDF=MDC（S\S）
••・AF=AC
又.・AF=2AE
・・・AC=2AEO
12、已知：
AC平分ZBAD,CE丄AB,ZB+ZD=180°,
求证：
AE二AD+BE
・•・ZB=ZEDF
【解析】
在AE上取F,使EF=EB・连接CF
TCE丄AB
AZCEB=ZCEF=90c
VEB=EF,CE=CE,
AACEB^ACEF
AZB=ZCFE
VZB+ZD=180°,ZCFE+ZCFA=180°
AZD=ZCFA
VAC平分ZBAD
•••ZDAC=ZFAC
VAC=AC
AAADC^AAFC（SAS）
AAD=AF
•••AE=AF+FE=AD+BE
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