奥数四年级讲义.docx

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奥数四年级讲义

2011年三升四暑假奥数讲义

需要牢背的基本概念

1、加法中的巧算：

加法交换律：

a+b=a-b加法结合律：

a+b+c=a+（b+c）

减法和加、减混合运算中的巧算：

（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。

相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。

即a-b-c=a-（b+c）a-（b+c）=a-b-c

（2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。

如：

a-b+c=a+c-b

（3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“—”号，那么括号里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。

如a-（b-c）=a-b+c,a+（b-c）=a+b-c

如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。

“基准数加累计差”法：

几个相近的数相加，可以选择其中一个数，最好是整十整百的数为“基准数”，再找出每个加数与“基准数”的差，大于“基准数”的差做加数，小于“基准数”的差做减数，把这些差累计起来，再加上“基准数”与加数个数的乘积就可以得到结果。

2、乘法中的巧算：

乘法交换律：

a×b=b×a乘法结合律：

（a×b）×c=a×（b×c）

乘法分配律：

（a+b）×c=a×c+b×c、（a-b）×c=a×c-b×c

3、除法中的巧算：

（1）除法交换律：

a÷b÷c=a÷c÷b

（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。

公式：

如果a÷b=c则（a×n）÷（b×n）=c（a÷n）÷（b÷n）=cn≠0

（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。

公式：

a÷（b×c）=a÷b÷c

（4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”

公式：

a÷（b÷c）=a÷b×c

（5）除法分配律：

（a+b）÷c=a÷c+b÷ca÷c+b÷c=（a+b）÷c

4、你知道巧算中有几对好朋友吗？

请写出来：

2×5=104×25=1008×125=1000

16×625=100003×37=1117×11×13=100137037×3=10101

5、“头同尾合十”：

头×（头+1）×100+尾×尾

“尾同头合十”：

（头×头+尾）×100+尾×尾

6、平方差公式：

a2-b2=（a+b）×（a-b）

7、配对求和，也就是等差数列求和。

实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。

公式：

和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1

首项=末项-公差×（项数-1）末项（或者某一项）=首项+公差×（项数-1）

公差=（末项-首项）÷（项数-1）奇数项的等差数列的和=中间项×项数

奇数项的等差数列的中间项=和÷项数=（首项+末项）÷2

8、1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n×n

9、数字找规律的基本方法：

1、首先观察数列是从小往大排还是从大往小排。

2、后一项比前一项多几或者少几。

3、后一项是前一项的倍数或者前一项是后一项的倍数。

4、相邻两项的差依次是个等差数列。

5、每一项都是项数乘以项数。

6、前两项的和等于后一项或者前三项的和等于后一项。

（裴波拉契数列）

7、前两项的积或商等于后一项。

8、把数列分组看。

9、跳着看。

（奇数项与奇数项，偶数项与偶数项成规律）

10、图形找规律的基本方法：

1、从图形的数量变化上来考虑。

2、从图形的对称来考虑。

3、从图形的种类和位置变化上来考虑。

4、把大、小图形分开考虑。

11、图形计数的基本方法：

1、数线段、数角、数三角形的总个数，往往就用基本图形的个数，依次加上比前一项少1的自然数，直到1。

或者用基本图形的个数×（个数+1）=n×（n+1）

2、遇到稍微复杂的图形，可先把图分类成几个部分，数出各部分包含图形的个数后，再求出图形的总和。

3、数“金字塔”式的三角形不仅要考虑单个的小三角形，还要考虑由单个三角形组成的新三角形。

从边长1，2，3……去分类比较数，计数时先分层再平移计算就不会少数。

4、长方形的个数可以这样算：

长边的线段数×宽边的线段数=长方形的个数

5、正方形的个数可以这样算：

1×1+2×2+3×3+…+（n-1）×（n-1）+n×n

（n为正方形各边的基本线段数）

6、正方体的个数可以这样算：

1×1×1+2×2×2+3×3×3+…+n×n×n

（n为正方体各边的基本线段数）

7、由正方体组成的立体图形，可以从上往下一层一层的算，最后把每层的个数加起来。

12、长方形的周长=（长+宽）×2=（a+b）×2长=周长÷2-宽宽=周长÷2-长

正方形的周长=边长×4=a×4正方形的边长=周长÷4

13、自然数的个位数字是有规律的，an末位数字规律是：

当a的末位是0、1、5、6时，an的末位数字与a相同，不随n的变化而变化。

当a的末位是2、3、7、8时，an的末位数字都分别以4个不同的数循环出现，周期是4。

当a的末位是2时，周期是4，以2、4、8、6循环出现；

当a的末位是8时，周期是4，以8、4、2、6循环出现；

当a的末位是3时，周期是4，以3、9、7、1循环出现；

当a的末位是7时，周期是4，以7、9、3、1循环出现。

当a的末位是4和9时，an的末位数字都分别以2个不同的数循环出现，周期是2。

当a的末位是4时，周期是2，以4、6循环出现；

当a的末位是9时，周期是2，以9、1循环出现。

第一讲速算与巧算

1、接近整十、整百、整千的数看成所接近的数进行简算。

例题：

2548+503574+798

根据“和”的变化规律，即一个加数增加多少，另一个加数反而减少同样的数，和不变。

根据“被减数和减数同时增加或减少同一个数，差不变”的规律。

例题：

956-5973475-308

2、两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千、整万等，就把其中的一个数叫做另一个数的补数，为计算简便，可以先把两个互为补数的数先凑成整十或整百的数，然后再与别的加数相加求和。

例题：

783+25+1752803+（2178+5497）+4722

3、连续几个数相加，它们都接近同一个基准数，利用基准数计算。

例题：

93+95+98+96+88+89+87+91+93+91

=90×10+（3+5+8+6-2-1-3+1+3+1）

995+996+997+998+999

第一种：

=1000×5-（5+4+3+2+1）

第二种：

=997×5（此种方法利用“移多补少”变成5个997）

4、几个数相加，每个数都接近不同的整十、整百、整千

例：

9999+999+99+9=10000+1000+100+10-4

5、几个数相加减，算式中含有括号，利用去括号。

如算式中有两项互补，可加括号。

例：

1654-（54+78）2937-493-207

6、当数字特别巨大，而被减数和减数的前几位相同时，可去掉相同的这几位数。

例题：

657897-657323+297=897-323+297

7、用“移位凑整”来速算

例：

1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-9

=1000-[（91+9）+（92+8）+（93+7）+……+（99+1）]

=1000-100×9

8、“取中间数相乘”，当连续相加的个数为单数个时，我们可以取中间数乘以加数的个数来进行巧算，这个连续数必须是等差数列。

例题：

1+3+5+7+9=5×5

2+6+10+14+18=10×5

90+93+96+99+102+105+108=

9、配对求和，也就是等差数列求和。

实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。

公式：

和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1

公差=（末项-首项）÷（项数-1）首项=末项-公差×（项数-1）

末项=首项+公差×（项数-1）

例题：

2+4+6+……+1001+3+5+……+57

10、利用乘法公式凑整

2×5=104×5=204×25=1008×125=100016×625=10000

25×64×62525×8×125×4

11、“头同尾合十”：

头×（头+1）×100+尾×尾

对于一个两位数乘以两位数，如果十位数相同，个位数加起来等于十，就是“头同尾合十”。

则结果为尾数相乘的积作后两位数，如果积不满十，十位上要补写0，把十位数乘以本身加1的积作为前两位数。

例：

63×67=（6×7）（3×7）=422185×85=（8×9）（5×5）=7225

计算：

43×4728×2234×3671×79

12、“尾同头合十”：

（头×头+尾）×100+尾×尾

对于两位数乘以两位数，如果个位相同，十位上的数加起来等于10，就是“尾同头合十”，则结果为：

将十位上的数字相乘加上个位上的数后扩大100倍，再加上个位数乘以个位数的积。

例：

63×43=（6×4+3）×100+3×3=2709

计算：

27×8713×9346×6689×29

13、添0折半法

428×5=428÷2×10=2140848×25=848÷4×100=21200

计算：

324×5832×5564×25344×25

14、两位数、三位数乘以11的方法：

头做积的头，尾做积的尾，头尾相加（或三位数的前两位数与后两位数之和）做积的中间数，如果满10或满100要向前一位进“1”

例：

38×11=3（3+8）8=418

339×11=3（33+39）9=3729

4726×11=4（4+7）（7+2）（2+6）6=51986

计算：

13×1123×1167×11567×11

15、某数乘以99或999有规律可循。

规律为：

二位数乘以99的几位（这两位数-1）放在千、百位上，十、个位数为这两位数的补数，如果是乘以999，则在中间添加一个9，如果是9999，则添加二个9。

45×99=（45-1）（100-45）=4455

38×999=（38-1）9（100-38）=37962

计算：

23×9967×9964×99923×999

16、用“平方差公式”解题a2-b2=（a+b）×（a-b）

642-362752-252582-422832-172

17、1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n×n

1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+11+2+3+…+49+50+49+…+3+2+1

速算与巧算复习

一、基本概念

1、加法中的巧算：

加法交换律：

加法结合律：

减法和加、减混合运算中的巧算：

（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。

相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。

即

（2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。

如：

（3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“—”号，那么括号里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。

如

如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。

“基准数加累计差”法：

几个相近的数相加，可以选择其中一个数，最好是的数为“基准数”，再找出每个加数与“基准数”的，大于“基准数”的差做加数，小于“基准数”的差做减数，把这些差累计起来，再加上“基准数”与加数个数的乘积就可以得到结果。

2、乘法中的巧算：

乘法交换律：

乘法结合律：

乘法分配律：

、

3、除法中的巧算：

（1）除法交换律：

a÷b÷c=a÷c÷b

（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。

公式：

如果a÷b=c则（a×n）÷（b×n）=c（a÷n）÷（b÷n）=cn≠0

（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。

公式：

a÷（b×c）=a÷b÷c

（4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”

公式：

a÷（b÷c）=a÷b×c

（5）除法分配律：

（a+b）÷c=a÷c+b÷ca÷c+b÷c=（a+b）÷c

4、乘以101，实际只要把这个两位数即可；乘1001，实际只要把这个三位数即可；乘10001，实际只要把这个四位数即可。

这种巧算一定要分清是用几位数分别乘101，1001……。

确定是几位数一定要看相邻的1之间夹有几个0，0的个数如果是n，那么就是位数；出现2个1则连写遍，出现3个1则连写遍，出现n个1则连写遍。

ab×101=abc×1001=abcd×10001=

ab×10101=abc×1001001=abcd×

ab×1010101=abc×abcd×

5、你知道巧算中有几对好朋友吗？

请写出来：

6、“头同尾合十”：

“尾同头合十”：

7、运用3×37=平方差公式：

8、配对求和，也就是等差数列求和。

实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。

公式：

和=项数=

公差=首项=

末项（或者某一项）=

奇数项的等差数列的和=奇数项的等差数列的中间项=

9、1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1=

二、用简便方法计算。

25×64×62557×9925×8×125×499999+9999+999+9

404×2546+89+54236+78-369998+998+98+9

999×999+1999428×5848×525×444

1000-95-94-93-92-91-9-8-7-6-51000-5-15-25-35-45-55-65-75-85-95

45×10123×303404×2525×4004

423×1001512×1001256×1001102×3003

999×111+333×6679999×1111+3333×6667

999×222+333×3343333×6666+9999×7778

三、除法的巧算

1、除法交换律：

a÷b÷c=a÷c÷b

1800÷25÷181900÷4÷195600÷40÷7

2、根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。

（两种做法）

公式：

如果a÷b=c则（a×n）÷（b×n）=c（a÷n）÷（b÷n）=cn≠0

210÷535400÷2525000÷125

3、根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。

公式：

a÷（b×c）=a÷b÷ca÷b÷c=a÷（b×c）

280÷561125÷125360÷721200÷25÷4

4、根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数的商再乘以第二个因数”

公式：

a÷（b÷c）=a÷b×c

180÷（9÷10）250÷（5÷2）256÷（256÷4）

5、除法分配律：

a÷c+b÷c=（a+b）÷c

注意：

当除数相同被除数不相同时可以用，当被除数相同除数不同时，不可以用。

91÷13+39÷13300÷37+70÷3798÷25+27÷25

6、常错题

273-（49+73）404×2538+41+43+37+3925×64×62599999+9999+999+9

444×666+333×1120+2+4+6+……+1001+3+5+……+1011+2+3+…+9+10+9+…+3+2+1

四、综合运用题

1、用“基准数加累计差”方法计算。

28+31+29+33+30+27+33+3598+102+99+103+101+98+97+102

2、用“头同尾合十”的方法计算

52×5833×3728×2277×73

3、用“尾同头合十”的方法计算

24×8436×7611×9145×65

4、用“平方差公式”解题

642-362752-252582-422832-172

5、求首项是5，公差是3的等差数列的前21项之和。

6、已知等差数列5、10、15……。

求这数列的第25项是多少？

7、在等差数列中，首项为3，公差等于2，末项是201，这个等差数列共有多少项？

8、在等差数列中，首项为5，公差等于3，末项是152，这个等差数列共有多少项？

9、在等差数列中，公差等于2，项数等于100，它的末项是201，求首项是多少？

10、在等差数列中，公差等于3，项数等于50，它的末项是152，求首项是多少？

11、所有两位数的和是多少？

12、在5和17之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。

求出中间的一个数。

四、应用题

1、在一次同学聚会中，共有20人参加，如果每两人之间都握手1次，那么，这次聚会中一共握手多少次？

2、时钟一点敲1下，两点敲2下，依次类推，十二点时敲12下，半点时敲1下。

从1点到10点共敲多少下？

一昼夜共敲多少下？

3、把一堆苹果分给10个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有多少个？

4、小强学习英语单词，第一天记看10个单词，以后每一天都比以前多记3个，那么在一周中他总共记了多少个英语单词？

5、7个连续的整数和为105，求这7个数中最中间的数是多少？

最大的数是多少？

6、小刚看一本书，第一天看了3页，以后每天比前一天多看2页，10天刚好看完，这本书总共多少页？

五、提高题

1、盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这1只求拿出，变成4只球放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成4只球后放回盒子里……，第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成4只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只球？

2、某班25名学生的学号恰好是25个连续自然数，并且学号之和恰好是1000。

求其中学号最小的学生是多少号？

3、一个堆木头有7层，总共77根，每一层比它的下一层少2根。

求最上面一层放了多少根？

4、1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+15、1+2+3+…+49+50+49+…+3+2+1

6、（1+3+5+…+99）—（2+4+6+…+98）7、345×1001001

第二讲定义新运算

1、例：

规定a＊b=（b+a）×b，求（2＊3）＊5。

规定a＊b=（b+a）×b，求（3＊2）＊7。

2、例：

定义新运算“△”如下：

对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。

例如：

4△6=（4,6）+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算，18△12等于几？

定义新运算“△”如下：

对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。

例如：

2△3=（2,3）+[2,3]=1+6=7.根据上面定义的运算，27△18等于几？

3、例：

两个整数a和b，a除以b的余数记为a◎b。

例如，13◎5=3.根据这样定义的运算，（26◎9）◎4等于几？

两个整数a和b，a除以b的余数记为a◎b。

例如，18◎5=3.根据这样定义的运算，（32◎13）◎4等于几？

4、例：

规定：

符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“○”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3○5=3。

请计算下式：

[（7○3）△5]×[5○（3△7）]

规定：

符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“○”为选择两数中较小的数的运算，例如，2△5=5，2○6=2。

请计算下式：

[（6○5）△8]×[8○（5△6）]

5、例：

对于数a、b、c、d，规定，﹤a、b、c、d﹥=2ab-c+d。

已知﹤1，3，5，x﹥=7，求x的值。

对于数a、b、c、d，规定，﹤a、b、c、d﹥=2ab-c+d。

已知﹤2，5，7，x﹥=24，求x的值。

6、例：

规定：

6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246，1※4=1+11+111+1111=1234，求7※5。

规定：

5※2=5+55=60，4※3=4+44+444=492，1※4=1+11+111+1111=1234，求6※6。

7、例：

如果用∮（a）表示a的所有约数的个数，例如∮（4）=3，那么∮（∮（18））等于几？

如果用∮（a）表示a的所有约数的个数，例如∮（4）=3，那么∮（∮（24））等于几？

8、例：

如果a△b表示（a-2）×b，例如3△4=（3-2）×4=4，那么当（a△2）△3=12时，a等于几？

如果a△b表示（a-2）×b，例如3△4=（3-2）×4=4，那么当（a△3）△6=42时，a等于几？

9、例：

如果a¤b表示（3a-2b），例如4¤5=3×4-2×5=2，那么，当x¤5比5¤x大5时，x等于几？

如果a¤b表示（3a-2b），例如4¤5=3×4-2×5=2，那么，当x¤5比5¤x大10时，x等于几？

10、例：

对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“﹡”：

a﹡b=a+（a+1）+（a+2）+（a+3）+…+（a+b-1）。

如果x﹡10=75，那么x等于几？

对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“﹡”：

a﹡b=a（a+1）（a+2）（a+3）…（a+b-1）。

如果（x﹡3）﹡2=3660，那么x等于几？

规定a☆b,a☆b=a×（a+1）×（a+2）×…×（a+b-1）,已知:

（x☆4）☆2=600,求x

11、例：

Q、P>0,且P#Q=（P+Q）/3则2#（17#10）=？

Q、P>0,且P#Q=（P+Q）/3则3#（25#11）=？

12、例：

有一运算符号◎，使下列算式成立，4◎8=16，10◎6=26，6◎10=22，18◎14=50，求8◎10？

有一运算符合☆，使下列算式成立，2☆4=2，10☆4=26，6☆10=8，18☆14=40，求8☆10？

13、a,b表示两个数,规定新运算:

a△b=3×a-2×b,已知:

4△b=2,求b？

a,b表示两个数规定新运算:

a△b=3×a-2×b,已知:

x△（4△1）=7,求x？

14、小明在一张神秘的纸上看到四个奇怪的算式:

2×2=92,7×7=57,5×9=7,9×2=68爷爷告诉他,这四个算式所用的运算符号与我们的相同,进位也是十进制,只是每个数字与我们的写法不同,按照这个写法,2+7+9等于几

第三讲：

周期问题

基本概念：

1、周期问题：

一些数、图形和事物的变化往往是周而复始循环出现的，我们把具有这种规律的问题称为周期问题。

例如每隔7天是一周，每隔12个月是一年，每隔24小时是一昼夜等。

2、周期问题中的周期：

周期是一个数。

如每个星期是7天，即时间是7天一循环，则说周期是7；每年有12个月，即时间是12个月一循环，则说周期是12。

在循环小数中，循环节数字的位数，即为循环的周期。

3、解决周期问题的方法：

首先要发现问题的周期性和确定周期，然后用画图、列举、计算等方法解决有关问题。

4、解决周期问题的基本方法：

利用余数建立一个周