二次函数综合题专项讲解经典.docx

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二次函数综合题专项讲解经典

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初中二次函数综合题专项讲解

引言：

二次函数综合题题目难度较大，也称压轴题。

解压轴题有三个步骤：

认

真审题；理解题意、探究解题思路；正确解答。

审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，

在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。

二次函数一般会出现在选择题（或填空题）

、解答题的倒数几个题目中。

选择题和填空

题时易时难。

解答题较难，一般有

2—3小题。

第

1小题通常是求解析式：

这一小题简单，

直接找出坐标或者用线段长度而确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。

第

2—3小

题通常是以动点为切入口，结合三角形、四边形、圆、平移、对称、解方程（组）与不等式

（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用

转化、数形结合、分类讨论

等

数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征

的关系，确定解

题的思路和方法；同时需要

心态平和，切记急躁：

当思维受阻时，要及时调整思路和方法，

并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；

既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

一、重庆一中

13—14学年度上期半期考试二次函数习题

y

12．如图，直线ykx

c与抛物线

2

bx

c的图象都经过

y轴

x=1

yax

D

x轴交于A、B两点，其对称轴为直线

x1，且

上的D点，抛物线与

o

x

OA

OD.直线y

kx

c与

轴交于点

（点C在点B的右侧）

则

A

B

C

x

.

C

下列命题中正确命题的个数是（

）.

第12题

①abc

0;

②3a

b

0;

③1

k

0;

④

k

a

b;⑤

ac

k

0

A．1

B．2

C．3

D．4

16．如右图是二次函数y

ax2

bxc的部分图象，由图象可知

ax2

bxc

0时x的取值范围是_____________________________．

第16

题

y

Q

18．已知抛物线y

1x2

2x的图象如左图所示，点

N为抛物线

2

N

P

的顶点，直线ON上有两个动点P和Q,且满足PQ

22,在直线

O

x

ON下方的抛物线上存在点

M,使

PQM为等腰直角三角形，则点

第18

M的坐标为______________________________________________.

25．如图，在平面直角坐标系中，直线y

1x2与坐标轴分别交于

A、B两点，过A、B

2

两点的抛物线为yx2

bx

c，点E为第二象限内抛物线上一动点，连接AE,BE.

（1）求抛物线的解析式；

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（2）当

ABE

面积最大时，求点

E的坐标，并求出此时

ABE的面积；

（3）当

EAB

OAB时，求点

E的坐标.

y

y

E

E

BB

A

A

O

x

O

x

第25题备用图

二、二次函数基础

（一）概念：

一般地，形如

y

ax2

bx

c（a，b，c是常数，

a

0）的函数，叫做

二次函数。

（注意：

和一元二次方程类似，二次项系数定义域是全体实数。

）

a0，而b，c可以为零．二次函数的

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1.

如果函数

y

（k3）

xk23k2

kx

1

是二次函数,则k的值是______

2.

函数y

（a

5）xa2

4a5

2x

1,

当a_______时,它是一次函数;

当

a_______时,它是二次函数.

（二）二次函数的解析式

（1）一般式:

（已知图像上三点或三对

x、y的值，通常选择一般式.）

2

2

；

y=ax+bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b

/4a）

（2）顶点式:

（已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.）

y=a（x-h）2+k（a≠0,a、h、k为常数），顶点坐标为（h,k）,对称轴为x=h，有时题目

会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

（3）交点式:

（已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式）

y=a（x-x1）（x-x2）[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；

已知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。

分别根

据下列条件，求此二次函数解析式。

（1）已知A（-1,0），B（3,0），C（0,3/2）.

（2）已知顶点D（1,2）、C（0,3/2）.

1.若函数ya（x3）2过点（２，９），则当X＝４时函数值Y＝

2.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y=-2x2相同，这个函数解析式为________。

3.已知二次函数当x=2时Y有最大值是１，且过点（3，0），求解析式.

4.已知抛物线在X轴上截得的线段长为６，且顶点坐标为（2，3）,求解析式.

5.二次函数yx2

3x4关于Y轴的对称图象的解析式为

____关于X轴的

对称图象的解析式为

_________，关于顶点旋转

180度的图象的解析式为______

（三）二次函数的图象及其性质：

y

（1）二次函数图像画法

：

画草图关键点：

①开口方向；②顶点；③对称轴；○4与y轴交点。

○5与x轴交点；

（2）顶点坐标为（-b/2a，4ac-b2/4a），对称轴：

x

（3）增减性：

Ox

b，与y轴交点坐标（0，c）

2a

当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大。

当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。

（4）最值：

当a>0时，有最大值；当a<0时，有最小值

（5）图像平移步骤:

①配方ya（xh）2k，确定顶点（h,k）；

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②对x轴左加右减；对

y轴上加下减。

1.

二次函数y=（x-1）（x+2）

的顶点为__________,对称轴为_____

2.

抛物线y

（m

1）x2

（m2

3m4）x

5以Y轴为对称轴则。

M＝

3.

二次函数y

ax

2

a

5的图象顶点在

Y轴负半轴上。

且函数值有最小值，则

a的取值

范围是

4.（08绍兴）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线yx2

1上，下列说法中正确的是（

）

A．若y1y2，则x1

x2

B．若x1

x2，则y1

y2

C．若0x1

x2，则y1y2

D．若x1x2

0，则y1y2

5.

抛物线y（3x

1）2当x

时，Y随X的增大而增大

6.

抛物线y=（k2-2）x

2+m-4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线

y=21x+2上，求

函数解析式。

7.

若A（13,y1）,B（5,y2

）,C（1,y3）为二次函数y

x2

4x5的图象上的三点，则

y1，

4

4

4

y2，y3的大小关系是（

）

A．y1y2y3

B．y2

y1y3

C．y3y1

y2D．y1y3

y2

8.

已知二次函数图象与x轴交点（2,0

）（-1,0）与y轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。

9.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是y（x1）22则原二次函数的解析式为

（四）直线与抛物线的交点

（抛物线与一元二次方程的关系）

（1）抛物线与y轴的交点：

轴与抛物线

得交点为（0,）.

（2）抛物线与

轴的交点

二次函数

的图像与

轴的两个交点的横坐标

、

，是对应一元二次方

程

的两个实数根.抛物线与

轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的

根的判别式判定：

①有两个交点

抛物线与

轴相交；这两点间的距离

b2

4ac

ABx2x1

.

a

②有一个交点（顶点在

轴上）

抛物线与

轴相切；

③没有交点

抛物线与

轴相离.

当a0时，图象落在

x轴的上方，无论

x为任何实数，都有y

0；

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当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

（3）直线与抛物线的交点：

一次函数的图像与二次函数

①方程组有两组不同的解时一个交点；③方程组无解时

的图像

的交点，由方程组

与有两个交点;

与没有交点.

的解的数目来确定：

②方程组只有一组解时与只有

（4）两点之间的距离：

X轴上两点为A（x1,0）、B（x2,0）|AB||x2x1|

Y轴上两点为C（0,y1）、D（0,y2）|CD|

|y2

y1

|

已知A（x

y

）、B

（x

y

）

（x2

x1）2

（y2

y1）2

AB|=

1

1

2

2

1.

已知二次函数

y

ax2

2x

2

的图象与X轴有两个交点，则a的取值范围是

2.

若抛物线y

x2

2x

a的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是（

）

Ａ．a1

Ｂ．a

1

Ｃ．a≥1

Ｄ．a≤1

3.

不论x为何值,函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于

0的条件是（）

A.a>0,△>0

B.a>0,

△<0

C.a<0,△<0

D.a<0,

△<0

4.已知二次函数y=x2+mx+m-5，求证①不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；②当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短。

（五）二次函数与方程不等式：

1.y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），

则ax2+bx+c>0的解是____________;ax2+bx+c<0的解是____________

2.（大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，?

观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

（六）二次函数的应用最值问题：

例题：

1.（20XX年贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱

售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价

13

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3

分）

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

（4分）

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三、选择题专项练习

根据图像判断a,b,c的符号（抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点）

（1）a开口方向

a＞0抛物线开口向上；a＜0抛物线开口向下；

（|a|越大，则抛物线的开口越小）

（2）b对称轴（与a左同右异）

a与b同号（即ab＞0）对称轴在y轴左；

a与b异号（即ab＜0）对称轴在y轴右。

（3）c与y轴的交点

抛物线经过原点;与轴交于正半轴；与

轴交于负半轴.

y

1

1.如右图，二次函数yax2bxc的图像与

O

1

2

x

y轴正半轴相交，其顶点坐标为（

1

），下列结论：

①ac＜0

；

1

2

②a

b

0；

③4ac

b2

4a

；④a

b

c＜0.其中正确结论的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

2.已知二次函数

y

ax2

bx

c的图象如图所示，对称轴为直线

x=1，下列结论正确的是

A.

ac

0

B．2ab

0

C

．

方

程

ax2

bx

c

0

的

两

根

是

x1

1，x2

3

D

．当y>0时，y随

x的增大而减小．

3.如右图为抛物线

2

bx

c的图象，A、B、C为抛物线与坐标

yax

轴的交点，且

OA=OC=1，则下列关系中正确的是

A、ab

1

B、a

b

1

C、b

D、ac<0

4.已知二次函数

y＝ax2

bx

c

a0的图象如右图，则下列结论中正

确的是

A．a＞0

B．当x＞1时，y随x的增大而增大

C．c＜0

D

．3是方程ax

2bxc＝0的一个根

5.已知二次函数

y

2

bx

ca0

）的图象如左图所示，下列结论：

ax

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①b

2－4

ac＞0②a＞0③b＞0④c＞0⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是

A、2个

B

、3个

C、4个D、5个

6.已知二次函数

y=ax

2+bx+c的图象如右图，其对称轴

x=﹣1，下

列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；

⑤a﹣b+c

＜0，则正确的结论是

A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤

7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如左

2

图所示，有下列结论：

①abc＞0，②b﹣4ac＜0，③a﹣b+c＞0，④

4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是

A、1B、2C、3D、4

8.如右图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：

（1）b2﹣4ac＞0；

（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认

为其中错误的有

A、2个

B、3个

C、4个

D、1个

9．如左图，二次函数

yax2

bx

c的

图象的顶点为

D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1,3，

与

y

轴交于点

C

abc

0

；②2ab0；③

，下面五个结论：

①

a

b

c

0；④c

3a；⑤只有a

1时，

ABD是等腰直

2

角三角形，其中正确的结论有（

）

A.2个

B.3个

C.4

个

D.5个

10．小明从如右图所示的二次函数

y

ax2

bx

c的图象

中，观察得出了下面五条信息：

①abc

0

；②c

0；③a

b

c

0

；④2a

3b0；

⑤c

4b

0．你认为其中正确信息的个数有

A．2个

B

．3个

C．4个

D

．5个

11.二次函数y

ax2

bx

c的图象如左下图所示，下列结论：

①b2

4ac0；②ab

0；③ab

c0；

④4a

b0；⑤当y

2时，x等于0．

⑥

ax2

bx

c

0

有两个不相等的实数根

⑦

ax2

bx

c

2

有两个不相等的实数根

⑧ax2

bx

c

10

0有两个不相等的实数根

⑨ax2

bx

c

4有两个不相等的实数根

其中正确的是（

）

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12.（天津市）已知二次函数y

ax2

bxc的图象如下图所示，下列结论：

①

abc

0；②bac；③4a

2bc

0；④2c

3b；⑤abm（am

b），

（m

1的实数）其中正确的结论有（

）。

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

四、二次函数综合题主要类型

（一）与三角形.

2

1.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中

点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△PAC=4S△BOC．求点P的坐标；（三角形面积）

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

2.（2013?

雅安）如图，已知抛物线

2

y=ax+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三

点，其顶点为D，对称轴是直线

L，L与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴

L上的一个动点，求

△PBC周长的最小值；（三角形周长）

（3）如图

（2），若E是线段AD上的一个动点（

E与A、D不重合），过E点作平行于