北师版文数高考一轮复习 第7章 热点探究课4 立体几何中的高考热点问题.docx

北师版文数高考一轮复习 第7章 热点探究课4 立体几何中的高考热点问题.docx

《北师版文数高考一轮复习 第7章 热点探究课4 立体几何中的高考热点问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师版文数高考一轮复习 第7章 热点探究课4 立体几何中的高考热点问题.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师版文数高考一轮复习第7章热点探究课4立体几何中的高考热点问题

热点探究课（四）　

立体几何中的高考热点问题

（对应学生用书第107页）

[命题解读]　1.立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算.2.重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法．

热点1　线面位置关系与体积计算（答题模板）

以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思想方法的考查，试题难度中等．

　（本小题满分12分）（2018·长春模拟）如图1，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

图1

（1）证明：

平面AEC⊥平面BED；

（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．【导学号：

00090256】

[思路点拨]　

（1）注意到四边形ABCD为菱形，联想到对角线垂直，从而进一步证线面垂直，面与面垂直；

（2）根据几何体的体积求得底面菱形的边长，计算侧棱，求出各个侧面的面积．

[规范解答]　

（1）证明：

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．

因为BE⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥BE.2分

因为BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED．

又AC平面AEC，

所以平面AEC⊥平面BED．4分

（2）设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.

因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.6分

由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.

由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACD＝×·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.9分

从而可得AE＝EC＝ED＝.

所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.

故三棱锥EACD的侧面积为3＋2.12分

[答题模板]　第一步：

由线面垂直的性质，得线线垂直AC⊥BE.

第二步：

根据线面垂直、面面垂直的判定定理证明平面AEC⊥平面BED．

第三步：

利用棱锥的体积求出底面菱形的边长．

第四步：

计算各个侧面三角形的面积，求得四棱锥的侧面积．

第五步：

检验反思，查看关键点，规范步骤．

[温馨提示]　1.在第

（1）问，易忽视条件BD∩BE＝B，AC平面AEC，造成推理不严谨，导致扣分．

2．正确的计算结果是得分的关键，本题在求三棱锥的体积与侧面积时，需要计算的量较多，防止计算结果错误失分，另外对于每一个得分点的解题步骤一定要写全．阅卷时根据得分点评分，有则得分，无则不得分．

[对点训练1]　如图2，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

图2

（1）求证：

平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：

C1F∥平面ABE；

（3）求三棱锥EABC的体积．

[解]　

（1）证明：

在三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AB平面ABC，

所以BB1⊥AB．2分

又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，

所以AB⊥平面B1BCC1.又AB平面ABE，

所以平面ABE⊥平面B1BCC1.4分

（2）证明：

取AB的中点G，连接EG，FG.

因为G，F分别是AB，BC的中点，

所以FG∥AC，且FG＝AC．

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1，6分

所以四边形FGEC1为平行四边形，

所以C1F∥EG.

又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，

所以C1F∥平面ABE.8分

（3）因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，

所以AB＝＝，10分

所以三棱锥EABC的体积

V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.12分

热点2　平面图形折叠成空间几何体

先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量，是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．

　如图3，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：

图3

（1）在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？

若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（2）若平面ADE⊥平面ABCE，求证：

平面BDE⊥平面ADE.

[解]　

（1）如图，线段AB上存在一点K，且当AK＝AB时，BC∥平面DFK.

1分

证明如下：

设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH.

∵AK＝AB，F为AE的中点，

∴KF∥EH，∴KF∥BC．3分

∵KF平面DFK，BC平面DFK，

∴BC∥平面DFK.5分

（2）证明：

∵在折起前的图形中E为CD的中点，AB＝2，BC＝1，

∴在折起后的图形中，AE＝BE＝，

从而AE2＋BE2＝4＝AB2，∴AE⊥BE.8分

∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，

∴BE⊥平面ADE.

∵BE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ADE.12分

[规律方法]　1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．

2．在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

[对点训练2]　（2016·全国卷Ⅱ）如图4，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

图4

（1）证明：

AC⊥HD′；

（2）若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积.

【导学号：

00090257】

[解]　

（1）证明：

由已知得AC⊥BD，AD＝CD．2分

又由AE＝CF得＝，

故AC∥EF.

由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.5分

（2）由EF∥AC得＝＝.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.7分

所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是OD′2＋OH2＝

（2）2＋12＝9＝D′H2，

故OD′⊥OH.

由

（1）知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，

所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.

又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，

所以OD′⊥平面ABC．

又由＝得EF＝.10分

五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.

所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝××2＝.12分

热点3　线、面位置关系中的开放存在性问题

是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：

（1）条件追溯型．

（2）存在探索型．（3）方法类比探索型．

　（2018·秦皇岛模拟）如图5所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且E，F分别为PC，BD的中点．

图5

（1）求证：

EF∥平面PAD；

（2）在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC？

若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

[解]　

（1）证明：

如图所示，连接AC，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F为对角线BD的中点.2分

所以对角线AC经过点F.

又在△PAC中，点E为PC的中点，

所以EF为△PAC的中位线，

所以EF∥PA．

又PA平面PAD，EF平面PAD，

所以EF∥平面PAD．5分

（2）存在满足要求的点G.

在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG⊥平面PDC．

因为底面ABCD是边长为a的正方形，

所以CD⊥AD．7分

又侧面PAD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面PAD．

又EF∥平面PAD，所以CD⊥EF.

取CD中点G，连接FG，EG.9分

因为F为BD中点，

所以FG∥AD．

又CD⊥AD，所以FG⊥CD，

又FG∩EF＝F，

所以CD⊥平面EFG，

又CD平面PDC，

所以平面EFG⊥平面PDC．12分

[规律方法]　1.在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．

2．第

（2）问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．

[对点训练3]　（2017·湖南师大附中检测）如图6，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．

图6

（1）求证：

AC⊥SD；

（2）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？

若存在，求SE∶EC；若不存在，请说明理由.【导学号：

00090258】

[证明]　

（1）连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意得四棱锥SABCD是正四棱锥，所以SO⊥AC．2分

在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD．

因为SD平面SBD，所以AC⊥SD．5分

（2）在棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC．

连接OP.设正方形ABCD的边长为a，则SC＝SD＝A．7分

由SD⊥平面PAC得SD⊥PC，易求得PD＝.

故可在SP上取一点N，使得PN＝PD．

过点N作PC的平行线与SC交于点E，连接BE，BN，

在△BDN中，易得BN∥PO.10分

又因为NE∥PC，NE平面BNE，BN平面BNE，BN∩NE＝N，PO平面PAC，PC平面PAC，PO∩PC＝P，

所以平面BEN∥平面PAC，所以BE∥平面PAC．

因为SN∶NP＝2∶1，所以SE∶EC＝2∶1.12分