山东省淄博市届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案.docx

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山东省淄博市届高三上学期摸底考试数学试题Word版含答案

淄博市2016-2017学年度高三摸底考试

数学试题参考答案及评分说明2016.12

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，集合，则

A.B.C.D.

2．复数在复平面上对应的点的坐标

A.B.C.D.

3．下列说法正确的

A.“”是“”的充分不必要条件

B.命题“”的否定是“”

C.命题“若，则”的否命题为“若，则”

D.“命题中至少有一个为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件

4．如图，网格小正方形的边长为，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为

A.B.C.D.

5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的，依次输入的为，则输出的

A.B.C.D.

6．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则角

A.B.C.D.

7．已知满足，且的最大值比最小值大6，则的值是

A.B.C.D.

8．（文科）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是

A.　B.　C.　D.

8．（理科）已知函数，且,则

A.或B.或C.或D.或

9．在边长为1的等边三角形中，点在边上，且满足，则

A.B.C.D.

10．（文科）已知函数（为自然对数的底数），则的大致图象是（C）

10．（理）设表示不大于实数的最大整数，函数，若有且仅有4个零点，则实数的取值范围为

A.B.C.D.

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二．填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（文科）点为周长等于的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点，则劣弧的长度小于的概率为______．

11．（理科）若，则的值是．

12．已知，，则．

13．已知向量向量满足,则的取值范围是.

14．已知数组，分别记为，则．

15．设,当时，恒成立,则实数的取值范围是．

三、解答题：

本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，其中．将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，记，先将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的倍，再将所得的图象向左平移得到．

（Ⅰ）求函数的解析式及值域；

（Ⅱ）设的角所对的边分别为，若且为锐角，,，判断的形状．

解：

（Ⅰ）由三角函数定义得，………………2分

所以………4分

图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得到，再向左平移得到……………….5分

因为，所以，故……………….6分

（Ⅱ）由及为锐角，得………………………………….8分

由余弦定理，，得或……………………………10分

当时，是等腰三角形；当时，是直角三角形

所以为等腰三角形或直角三角形．……………………………………12分

17．（文科本题满分12分）

某高校选取名在校大学生进行专项技能测试，由测试成绩得到的频率分布直方图如图所示．其中测试成绩在内的人数之比为．

（Ⅰ）估算此次测试成绩的中位数和众数；

（Ⅱ）学校组织测试成绩在内的学生进行操作展示，每名学生随机抽取“项目”或“项目”中的一项进行展示，求恰好有两名学生抽到“项目”进行展示的概率．

解：

（Ⅰ）前三个小组的频率之和为，

所以要从第四个小组找中位数，第四小组的频率为

所以中位数应该在第四小组左起长度的处

所以这名在校大学生测试成绩的中位数为：

（分）……3分

由于落在的频率最高，所以众数为（分）.…………4分

（Ⅱ）设测试成绩在内的人数为

则测试成绩在，内的人数分别为和

依题意得，

解得，所以测试成绩在的学生有人………………………6分

若用表示选取“项目”，用表示选取“项目”

这名学生选取操作的所有可能为：

，

共种

而恰好有两名学生抽到“项目”的有：

，共种……………………………10分

所以恰好有两名学生抽到“项目”进行展示的概率为.………12分

17．（理科本题满分12分）

已知数列的前项和为，且满足,,.

（Ⅰ）判断，，是否为等比数列的连续三项，并说明理由．

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

解：

（Ⅰ）由，所以数列是首项为,公差为的等差数列

所以.所以………………………2分

当时,

而适合，所以，　　………4分

因为，，，所以

所以，，不是等比数列的连续三项.………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，　　…………………8分

所以

　　　……………………8分

得：

所以.　　　　………………………………………12分

18．（本题满分12分）

响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，

（万元）．每件产品售价为元．假设小王生产的商品当年全部售完．

（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：

年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）；

（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？

最大利润是多少？

解：

（Ⅰ）因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元．依题意得

当时，……………2分

当时，……………4分

所以………………………………5分

（Ⅱ）当时，

此时，当时，取得最大值（万元）…………………8分

当时

（当且仅当，即时，取等号）

即时，取得最大值万元………………………………11分

因为，所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．………………………………………………12分

19．（文科本题满分12分）

四棱锥中，平面平面，，，

点、分别是、的中点，

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面平面.

证明：

（Ⅰ）【方法一】证明：

取的中点，连接和…………………1分

所以是的中位线，所以

又因为平面

所以平面……………2分

由知是的中点…3分

是的中位线，所以

又因为平面

所以平面………………………4分

又因为、平面，

且，

所以平面平面……………5分

又因为平面

所以平面…………………………6分

（Ⅰ）【方法二】证明：

取的中点，连接和，设于相交于点

∵,

∴………………………2分

∴，即

又∵

∴………………………4分

又∵平面

∴平面……………………6分

（Ⅱ）证明：

因为，

所以

所以…………………8分

由已知得底面是菱形，又

所以，且

所以……………………9分

又因为平面平面，

且平面平面

所以平面……………………10分

又因为平面

所以

又因为

所以平面…………………11分

又因为平面

所以平面平面……………………12分

19．（理科本题满分12分）

四棱锥中，平面平面，，

，点、分别是、

的中点，

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

解证：

（Ⅰ）取的中点，连接和……………1分

所以是的中位线，

又因为平面，

所以平面………………2分

由知是的中点

是的中位线，所以

又因为平面

所以平面………………3分

又因为、平面，

且，所以平面平面

又因为平面，

所以平面……………4分

（Ⅱ）【方法一】

取的中点，则

因为底面侧面，且底面侧面

所以底面

由已知得底面是菱形，又

所以，且

所以

如图所示，分别以、所在的直线为轴、轴，以经过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系……………………6分

因为，

所以，即

所以，即…………………8分

又，所以由，

可得，即

又

所以，，………………9分

设平面的法向量

则由，，

令，得，即……………………………………10分

设平面的法向量

则由，，

令，得，即………………………………11分

所以

所以二面角的大小为…………………………12分

【方法二】证明：

连接，与交于点，再连接

∵，

∴

∴…………………………6分

由已知得底面是菱形，

又

∵，∴

又∵

∴，………8分

∵，且

∴

又∵底面侧面，且底面侧面

∴侧面………………………10分

又∵侧面，∴

又∵，∴平面

∴平面平面，

即二面角为直二面角，其大小为．………………………12分

20．（文科本题满分13分）

已知数列是公差大于的等差数列，其前项和为，且满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设（为非零常数），若数列是等差数列，求的值；

（Ⅲ）设，的前和为，试比较与的大小．

解：

（Ⅰ）由，得，联立

则为一元二次方程的两根，

解得：

或（公差大于，舍去）

得，即……………………………………2分

所以数列的通项公式为：

………………………………3分

（Ⅱ）……………………………………4分

所以数列的通项公式为：

……………………………………5分

显然，，．

由于数列是等差数列，所以，

即，解得或（舍去）……………………………7分

当时，（）．

显然（常数），

即数列是等差数列………………………………………………………8分

（Ⅲ），时，成立，

当时，由

所以

所以

所以对任意，．…………………………………13分

20．（理科本题满分13分）

已知数列是公差大于的等差数列，其前项和为，且满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设（为非零常数），若数列是等差数列，求的值；

（Ⅲ）求证：

（）．

解：

（Ⅰ）由，得，联立

则为一元二次方程的两根，

解得：

或（公差大于，舍去）

得，即……………………………………2分

所以数列的通项公式为：

．………………………………3分

（Ⅱ）方法一：

……………………………………………4分

所以数列的通项公式为：

…………………………………5分

由于数列是等差数列，则：

为常数．

……………………………………7分

则当且仅当，解得……………………………8分

方法二：

……………………………………4分

所以数列的通项公式为：

……………………………………5分

显然，，．

由于数列是等差数列，所以，

即，解得或（舍去）……………………………7分

当时，（）．

显然（常数），

即数列是等差数列………………………………………………………………8分

（Ⅲ）显然时，成立………………………………………9分

当时，；……11分

所以对任意，………………………13分

21.（文科本题满分14分）设函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在其定义域内不单调，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点使成立，求实数的取值范围．

解：

（Ⅰ）当时,，得…………1分

所以，．又，所以曲线在点处的切线为．

…………………………3分

（Ⅱ）由已知，得在其定义域，且……4分

记．

解法一：

①若函数在上单调递增，则在上恒成立

即……………………………5分

所以，，

而，，故；………………6分

②若函数在上单调递减，则在上恒成立

即……………………………7分

所以，，

而，，故．………………………8分

综上，若函数在其定义域内不单调，则实数的取