新教材高中数学81基本立体图形第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征学案新人教A版必修第二册.docx
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新教材高中数学81基本立体图形第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征学案新人教A版必修第二册
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
考点
学习目标
核心素养
棱柱的结构特征
理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别
直观想象
棱锥、棱台的结构特征
理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别
直观想象
应用几何体的平面展开图
能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形
直观想象
问题导学
预习教材P97－P100的内容，思考以下问题：
1．空间几何体的定义是什么？
2．空间几何体分为哪几类？
3．常见的多面体有哪些？
4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？
1．空间几何体的定义及分类
（1）定义：
如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
（2）分类：
常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
2．空间几何体
类别
定义
图示
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴
3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
结构特征及分类
图形及记法
棱柱
结构特征
（1）有两个面（底面）互相平行
（2）其余各面都是四边形
（3）相邻两个四边形的公共边都互相平行
记作棱柱
ABCDEFA′B′C′D′E′F′
分类
按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…
续 表
结构特征及分类
图形及记法
棱锥
结构特征
（1）有一个面（底面）是多边形
（2）其余各面（侧面）都是有一个公共顶点的三角形
记作
棱锥SABCD
分类
按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
棱台
结构特征
（1）上下底面互相平行，且是相似图形
（2）各侧棱延长线相交于一点
（或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台）
记作
棱台ABCDA′B′C′D′
分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……
■名师点拨
（1）棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）．
（2）各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
棱柱
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）棱柱的侧面都是平行四边形．（ ）
（2）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台． （ ）
（3）将棱台的各侧棱延长可交于一点．（ ）
答案：
（1）√
（2）× （3）√
下面多面体中，是棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
解析：
选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足.
下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
解析：
选C.A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台．
在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为 （ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选D.每个面都可作为底面，有4个．
下列说法正确的有________．（填序号）
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
解析：
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点（即原棱锥的顶点），故②错，③对．因而正确的有①③.
答案：
①③
棱柱的结构特征
下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是__________．
【解析】 ①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，棱柱的底面可以是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知；
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.
【答案】 ③④
棱柱结构特征的辨析技巧
（1）扣定义：
判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
（2）举反例：
通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
解析：
选D.由棱柱的定义可知，选D.
2．如图所示的三棱柱ABCA1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？
如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解：
截面以上的几何体是三棱柱AEFA1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFCB1HGC1.
棱锥、棱台的结构特征
下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
【解析】 ①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．
③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．
④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．
⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
所以正确说法的序号为②③④.
【答案】 ②③④
判断棱锥、棱台形状的两种方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
（2）直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
1．棱台不具有的性质是（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点
解析：
选C.由棱台的概念（棱台的产生过程）可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．
2．下列说法中，正确的是（ ）
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①②B．①③
C．②③D．②④
解析：
选B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．
空间几何体的平面展开图
（1）水平放置
的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）
A．1B．9
C．快D．乐
（2）如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
【解】
（1）选B.由题意，
将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．
（2）题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
多面体展开图问题的解题策略
（1）绘制展开图：
绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
（2）由展开图复原几何体：
若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．
1.
某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（ ）
解析：
选A.其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．
2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．
解：
如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．
1．下面的几何体中是棱柱的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解析：
选C.棱柱有三个特征：
（1）有两个面相互平行．
（2）其余各面是四边形．（3）侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
2．下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③B．③④C．①②④D．①②
解析：
选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（ ）
A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥
解析：
选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．
4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为__________cm.
解析：
因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为
＝12（cm）．
答案：
12
5．画一个三棱台，再把它分成：
（1）一个三棱柱和另一个多面体．
（2）三个三棱锥，并用字母表示．
解：
画三棱台一定要利用三棱锥．
（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC.
（2）如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.
[A 基础达标]
1．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
解析：
选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．
2．具备下列条件的多面体是棱台的是（ ）
A．两底面是相似多边形的多面体
B．侧面是梯形的多面体
C．两底面平行的多面体
D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
解析：
选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点．
3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：
选C.根据棱台是由棱锥截成的进行判断．
选项A中
≠
，故A不正确；选项B中
≠
，故B不正确；选项C中
＝
＝
，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥D．六棱锥
解析：
选D.由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是（ ）
解析：
选C.C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：
四棱柱有4条侧棱，8个顶点（可以结合正方体观察求得）．
答案：
4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：
面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：
5 6 9
8．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．（填序号）
解析：
由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．
答案：
①②
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体；
（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：
（1）这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
（2）这是一个六棱锥．
（3）这是一个三棱台．
10．画出如图所示的几何体的表面展开图．
解：
表面展开图如图所示：
（答案不唯一）
[B 能力提升]
11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（ ）
A．20条B．15条
C．12条D．10条
解析：
选D.
如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：
AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5＝10（条）．
12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）
A．至多有一个是直角三角形
B．至多有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形
D．必然都是非直角三角形
解析：
选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥AA1C1D1的三个侧面都是直角三角形．
13．长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．
解析：
结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：
3
，2
，
，显然最小值是3
.
答案：
3
14．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1.
（1）这个长方体是棱柱吗？
如果是，是几棱柱？
为什么？
（2）用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
解：
（1）是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形（四边形），且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
（2）各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1FCC1E和棱柱ABFA1DCED1.
[C 拓展探究]
15．如图，
在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．
解：
（1）不对，水面的形状就是用一个与棱（倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．
（2）不对，水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
（3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．
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