全等三角形证明SSS.docx
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全等三角形证明SSS
学生1对1个性化教案
第6次课
学生姓名
年级
授课日期
教师
科目
数学
时间段
授课内容
全等三角形证明——SSS
出题依据
初二预习
知识点一:
SSS定理
(一)知识点精讲
①AB=DE②BC=EF③CA=FD④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F
思考:
1.满足这六个条件可以保证△ABC≌△DEF吗?
2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗?
探究一:
1.只给一个条件:
只给一条边时;只给一个角时.
结论:
只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
2.如果满足两个条件,你能说出有哪几种可能的情况?
①两边;②一边一角;③两角。
①如果三角形的两边分别为4cm,6cm时
结论:
两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
结论:
一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
③如果三角形的两个内角分别是30°,45°时
结论:
两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180度,则第三角一定确定,所以当三内角对应相等时,两个三角形不一定全等
结论:
只给出一个或两个条件时,都不能保证所画的三角形一定全等。
3.如果满足三个条件,你能说出有哪几种可能的情况?
①三角;②三边;③两边一角;④两角一边。
⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°,60°,90°它们一定全等吗?
结论:
这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等
⑵三条边
已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm。
它们一定全等吗?
探究二:
先任意画出一个△ABC,再画出一个△A’B’C’,使A’B’=AB,B’C’=BC,A’C’=AC.把画好△A’B’C’的剪下,放到△ABC上,他们全等吗?
画法:
1.画线段B’C’=BC;
2.分别以B’,C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’;
3.连接线段A’B’,A’C’.
上述结论反映了什么规律?
边边边公理:
三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS”
注:
这个定理说明,只要三角形的三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了,这也是三角形具有稳定性的原理。
判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等。
如何用符号语言来表达呢?
在△ABC与△DEF中
AB=DE
AC=DF
BC=EF
∴△ABC≌△DEF(SSS)
(二)典型例题剖析
例1:
如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架,求证:
△ABD≌△ACD
证明:
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△ABD与△ACD中
AB=AC(已知)
BD=CD(已证)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C,
归纳:
证明的书写步骤:
①准备条件:
证全等时要用的条件要先证好;
②三角形全等书写三步骤:
1.写出在哪两个三角形中
2.摆出三个条件用大括号括起来
3.写出全等结论
练习:
已知:
如图,AB=AD,BC=DC,求证:
△ABC≌△ADC
例2:
填空题:
(1)如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等?
试说明理由。
解:
△ABC≌△DCB
理由如下:
AB=CD
AC=BD==>△ABC≌()
=
(2)如图,D、F是线段BC上的两点,AB=CE,AF=DE,要使△ABF≌△ECD,还需要条件
(1)
(2)
例3:
已知:
如图1,AC=FE,AD=FB,BC=DE,求证:
(1)△ABC≌△FDE,
(2)∠C=∠E,(3)AC∥EF;DE∥BC
证明:
(1)∵AD=FB
∴AB=FD(等式性质)
在△ABC和△FDE中
AC=FE(已知)
BC=DE(已知)
AB=FD(已证)
∴△ABC≌△FDE(SSS)
(2)∵△ABC≌△FDE(已证)
∴∠C=∠E(全等三角形的对应角相等)
(3)
例4:
已知:
如图,AB=AC,DB=DC,请说明∠B=∠C成立的理由
解:
连接AD
在△ABD和△ACD中,
AB=AC(已知)
DB=DC(已知)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)
例5:
已知:
如图,四边形ABCD中,AD=CB,AB=CD,求证:
∠A=∠C。
分析:
要证两角或两线段相等,常先证这两角或两线段所在的两三角形全等,从而需构造全等三角形。
构造公共边是常添的辅助线
例6:
已知:
AC=AD,BC=BD,求证:
AB是∠DAC的平分线.
证明:
在△ABC和△ABD中
AC=AD(已知)
BC=BD(公共边)
AB=AB(已知)
∴△ABC≌△ABD(SSS)
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)
∴AB是∠DAC的平分线(角平分线定义)
小结:
1.边边边公理:
有三边对应相等的两个三角形全等简写成:
“边边边”(SSS)
2.边边边公理发现过程中用到的数学方法(包括画图、猜想、分析、归纳等.)
3.边边边公理在应用中用到的数学方法:
证明线段(或角)相等转化为证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
两个三角形全等的注意点:
1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
3.有时需添辅助线(如:
造公共边)
(三)随堂练习
一、填空
1、能够完全的两个三角形叫做全等三角形.
2、全等三角形的相等,
全等三角形的相等.
3、完成下面的证明过程:
如图,OA=OB,AC=BC.
求证:
∠AOC=∠BOC.
证明:
在△AOC和△BOC中,
∴≌(SSS).
∴∠AOC=∠BOC
()
().
4、△ABC和
中,若
,
,则需要补充条件可得
到△ABC≌
.
5、如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,
则△ABD≌△ACD,根据是_______,AD与BC的位置关系是_______.
二、选择
1、如图,AB=DB,BC=BE,欲证△ABC≌△DBC,则需补充的条件是( )
A.∠A
=∠D B.∠E=∠C C.∠A=∠C D.AE=DC
2、全等三角形是()
A.三个角对应相等的三角形B.周长相等的两个三角形
C.面
积相等的两个三角形D.三边对应相等的两个三角形
3、如图所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以判定()
A.△ABD≌△ACDB.△BDE≌△CDEC.△ABE≌△ACED.以上都不对
4、下
列各组条件中能判定△ABC≌△DEF的是()
A、AB=DE,BC=EFB、∠A=∠D,∠C=∠
F
C、AB=DE,BC=EF,ΔABC的周长等于ΔDEF的周长
D、∠
A=∠D,∠B=∠
E,∠C=∠F
1.解答题
1、
已知:
如图,A、B、E、F在一条直线上,且AC=BD,CE=DF,AF=BE。
求证:
△ACE≌△BDF
2、已知:
如图,B、E、C、F在一条直线上,且BE=CF,AB=DE,AC=DF。
求证:
△ABC≌△DEF。
3、已知:
如图,AB=DC,AD=BC,求证:
∠A=∠C。
4、已知:
如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE.求证:
∠BAC=∠DAE.
课后作业
一、基础知识
1、能够完全的两个三角形叫做全等三角形.
2、全等三角形的相等,
全等三角形的相等.
3、如图所示,沿
直线
对折,△ABC与△ADC重合,则△ABC≌,AB的对应边是,BC的对应边是,∠BCA的对应角是.
4、如图,AB、DC相交于点O,△AOB≌△DOC,A、D为对应顶点,则这两个三角形中,相等的边有____________,_______________,_____________,
相等的角有__________,____________,_________.
5、边边边公理:
______________________________
6、完成下面的证明过程:
如图,OA=OB,AC=BC.
求证:
∠AOC=∠BOC.
证明:
在△AOC和△BOC中,
()
()
∴≌(SSS).
∴∠AOC=∠BOC
()
().
7、尺规作图。
已知:
∠AOB.求作:
∠DEF,使∠DEF=∠AOB
二、巩固练习
1、已知:
如图,A、B、E、F在一条直线上,且AC=BD,CE=DF,AF=BE。
求证:
△ACE≌△BDF
2、如图,△ABC中,D是BC边的中点,AB=AC,求证:
∠B=∠C。
3、已知:
如图,B、E、C、F在一条直线上,且BE=CF,AB=DE,AC=DF。
求证:
△ABC≌△DEF。
4、已知:
如图,AD=BC,AC=BD.
求证:
∠OCD=∠ODC
5、已知:
如图,AB=DC,AD=BC,求证:
∠A=∠C。
6、已知:
如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE.求证:
∠BAC=∠DAE.
7、已知AB=DE,BC=EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
AB//DE.
8、已知AB=DE,BC=EF,D,AF=CD,求证EF//BC:
9、如图,已知AB=AC,AD为△ABC的中线,求证:
AD⊥BC
10、如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:
∠A=∠D.
11、如图,已知AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证:
∠1=∠2
12、已知AD=BE,BC=EF,D,AC=DF,求证EF//BC:
13、已知AB=AE,BC=EF,D,AF=AC,求证:
∠BAE=∠CAF
14、已知AB=DC,AC=DB,求证:
∠DBC=∠ACB
15、已知C是BD上一点,AC=CE,AB=CD,BC=DE,∠B=900
求证:
AC⊥CE
16、如图,已知AE=AB,AF=AC,EC=BF,求证:
∠CMF=∠CAF