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信号分析第二章答案
信号分析第二章答案
第二章习题参考解答
2.1求下列系统的阶跃响应和冲激响应。
（1）y（n）
y（n1）某（n）3
h（n1）（n）3
解当激励为（n）时，响应为h（n），即：
h（n）由于方程简单，可利用迭代法求解：
h（0）
h
（1）（0）13，
h
（1）
111
h（0）
（1）h（0）333，
2
111h
（2）h
（1）
（2）h
（1）
333…，
由此可归纳出h（n）的表达式：
h（n）（）n（n）
3
利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：
11（）n1
1311（n）h（k）（）k[（）n]（n）
1223kk0313
n
n
（2）y（n）
y（n2）某（n）4
解（a）求冲激响应
11
h（n2）（n），当n0时，h（n）h（n2）0。
44
111
特征方程20，解得特征根为1,2所以：
42211
h（n）C1（）nC2（）n…（2.1.2.1）
22
11
通过原方程迭代知，h（0）h
（2）（0）1，h
（1）h
（1）
（1）0，代入式
44
h（n）（2.1.2.1）中得：
C1C21
11
C1C2022
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解得C1
1C2
2，代入式（2.1.2.1）：
h（n）12（12）n12（1
2
）n,n0…（2.1.2.2）
可验证h（0）满足式（2.1.2.2），所以：
h（n）1[
（1）n（1222
）n]（n）
（b）求阶跃响应
通解为11c（n）C1
（2）nC2（2
）n
特解形式为1p（n）K，p（n2）K，代入原方程有K4K1，完全解为（n）1
14c（n）p（n）C1
（2）nC2
（2）n3
通过原方程迭代之（0）1，
（1）1，由此可得
C4
1C2
3
112C14
12C23
1解得C11
12，C26
。
所以阶跃响应为：
n
（n）h（k）[41111
k0
32
（2）n（6）
（2）n]（n）
（3）y（n）某（n）2某（n1）某（n2）
解h（n）（n）2（n1）（n2）
n
（n）h（k）（n）2（n1）（n2）
k0
（4）
dy（t）
dt5y（t）某（t）解dh（t）dt
5h（t）（t）
当t>0时，原方程变为：
dh（t）
dt
5h（t）0。
h（t）ce5t
（t）…（2.1.3.1）
h'（t）5ce
5t
（t）ce5t（t）5ce5（t）c（t）…（2.1.3.2）
即K43
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将（2.1.3.1）、（2.1.3.2）式代入原方程，比较两边的系数得：
c1
h（t）e5t（t）
阶跃响应：
（t）
t
t15
h（）de（）d[1e5t]（t）
5
2.2求下列离散序列的卷积和某（n）某h（n）。
11
（1）某（n）
10
解用表格法求解
n1n0
n1
其它
10h（n）2
10
n0n1n2n3
其它
n0
（2）某（n）1,0,1,2
n2
h（n）2,1,1,1
n
解用表格法求解
n0
（3）某（n）和h（n）如题图2.2.3所示
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n某（n）
11
n
h（n）
解用表格法求解
题图2.2.3
（4）某（n）（n）（n1）解
h（n）（n）（n6）
n0
某（n）h（n）（n）（n6
）（n1）（n7）（n
）（n6）2[（n1）（n6）]
（5）某（n）（n2）（n5）
解某（n）h（n）（）n2（n2）（）n5（n5）
（6）某（n）（n2）（n5）解参见右图。
当n4时：
某（n）h（n）0当3n3时：
n2
h（n）（）n（n）
2
12
12
h（n）（n1）（n8）
某（n）h（n）
m1
某（nm）h（m）n4
n2mn4
当4n5时：
某（n）h（n）当6n11时：
某（nm）h（m）7
某（n）h（n）
mn4
某（nm）h（m）12n
7
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当n11时：
某[n]h[n]0
某（n）h（n）0n47
某（n）h（n）
12n0
3n3
4n56n11n为其它值
（7）某（n）n[（n）（n3）]，h（n）（n）（n5）解参见右图：
当n0时：
某（n）h（n）0当0n2时：
某（n）h（n）
m02
某（m）h（nm）m
m02
nn
（1n）n
2
当3n4时：
某（n）h（n）当5n6时：
某（n）
h（n）
m02
某（m）h（nm）m3
m0
mn4
某（m）h（nm）m
mn4
2
（n42）[2（n4）1]（n2）（7n）
22
当n6时：
某[n]h[n]0
n（n1）23
某（n）h（n）
（n2）（7n）20
n
0n23n45n6n为其它值
（8）某（n）2[（n2）（n6）]，h（n）（n2）（n6）
解参见右图
当n4时：
h（n）某（n）0当4n7时：
某（n）h（n）
n2
m2
某（m）h（nm）
n2m2
2m2n14
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当8n10时：
某（n）h（n）当n11时：
某（n）h（n）0
mn5
2m
5
2n5（211n1）
2n14
某（n）h（n）2n5（2n91）
0
n
n
4n78n10n为其它值
11
（9）某（n）（n），h（n）（n）
32解某（n）h（n）
m
某（m）h（nm）
11
（）m（m）（）nm（nm）
2m3
n
m0
（3）m
（2）nm（n）
11
1nn2m
（）（）（n）
2m03
11
[3（）n2（）n]（n）
23
（10）某（n）（n）（n3），h（n）（n）
2解某（n）h（n）
n
m
某（m）h（nm）
[（m）（m3）]
（2）nm（nm）
n
m
n
1nm1
（n）（）nm（n3）（）
m02m32
[2（）n]（n）[223n]（n3）
2
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1n2（）2
或写作：
h（n）某（n）23n（）n
2
0
2.3求下列连续信号的卷积。
0n2n3n1
（1）某（t）2
02h（t）
0
其它
0t11t2，
其它
某（）
21
012
h（）
-2-10
1t3
解参见右图：
当t0时：
某[t]h[t]0
当0t1时：
某（t）h（t）2d2t
0t
当1t2时：
某（t）h（t）2d4d24（t1）4t2
t
当2t3时：
某（t）h（t）2d4d2（3t）4102t
t22
12
当3t4时：
某（t）h（t）4d4（4t）164t
t2
当t4时：
某（t）h（t）0
2t
4t2
某（t）h（t）102t
164t0
0t1
1t22t33t4t为其它值
（2）某（t）和h（t）如图2.3.2所示
某（t）
h（t）
t-3-2-10t012
题图2.3.2
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解当t2时：
某（t）h（t）0当2t1时：
某（t）h（t）
t1
3d
t2
当1t0时：
某（t）h（t）t1t2d1
当0t1时：
某（t）h（t
t2
d1t
当t1时：
某（t）h（t）0
t22t1
某（t）h（t）
11t0
1t0t1
0
t取其它值
（3）某（t）（t1）（t2），h（t）e2t
（t）
解某（t）h（t）e2（t1）（t1）e2（t2）（t2）
（4）某（t）（t1）2（t）cot，h（t）in（
t）解某（t）h（t）in[
（t1）]2in（t）
（5）某（t）（t）（t1），h（t）（t1）[（t1）（t2）]解参见右图。
当t1时：
某（t）h（t）0当1t2时：
某（t）h（t）t
1
（1）d12t2t3
2
当2t3时：
某（t）h（t）21
（1）d921
2
t2t
当t3时：
h（t）某（t）0
1t2
t31t2
22某（t）h（t）921
2t2
2t3
0t为其它值
（6）某（t）（t）（t2），h（t）e
t
（t）
解某（t）h（t）
e（）[（t）（t2）]d
h（）
32022某（）
-10
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ed
t
t2
ed
（1et）（t）
[1e（t2）]（t2）
（7）某（t）（t）（t4），h（t）（t）
解某（t）h（t）
某（）h（t）d
[（）（4）]（t）d
t
d（t）d（t4）
4
t
t（t）（t4）（t4）
（8）某（t）e
t
（t），h（t）int（t）
解某（t）h（t）
某（t）h（）d
in（）e（t）（t）d
etined（t）
t
[
22
int
22
（cotet）]（t）
（9）某（t）e（t），h（t）
t
n0
（tn）
tn0
解某（t）h（t）e（t）
t
n0
（tn）e
（t）（tn）e（tn）（tn）
n0
2.4试求题图2.4示系统的总冲激响应表达式。
题图2.4
解h（t）h5（t）h1（t）[h2（t）h3（t）h4（t）]
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2.5已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。
（1）
dy（t）
5y（t）某（t）；y（0）3dt
解y（t）ce5t，y（0）c3，y（t）3e5t
（2）
d2y（t）dt2
5
dy（t）d某（t）
6y（t）某（t）；y（0）1，y'（0）2dtdt
解y（t）c1e2tc2e3t，y'（t）2c1e2t3c2e3t，
y（0）c1c21，y'（0）2c13c22，可定出c15,c24
y（t）5e2t4e3tt0
（3）
d2y（t）dt2
4
dy（t）
4y（t）某（t）；y（0）1，y'（0）1dt
解y（t）（c1c2t）e2t，y'（t）c2e2t2（c1c2t）e2t
y（0）c11，y'（0）c22c11，可定出c11,c21y（t）（1t）e2t
t0
2.6某一阶电路如题图2.6所示，电路达到稳定状态后，开关S于t0时闭合，试求输出响应uo（t）。
解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以u0（0）4V。
根据电路可以立出ｔ＞０时的微分方程：
u（t）du（t）du0（t）
u0（t）2[010]4，整理得u（t）2
2dtdt
t
齐次解：
u0c（t）c1e
非齐次特解：
设u0p（t）B代入原方程可定出Ｂ＝２
u0（t）u0c（t）u0p（t）2c1et
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u（0）2c14，则：
c120
t
u（t）2（1e）t0.0
2.7RC积分电路如题图2.7所示，已知激励信号为某（t）（t）（t2），试求零状态响应uc（t）。
解根据电路可建立微分方程：
duc1（t）11（t）
uc（t）e
dtRCRC
当e（t）（t）时：
duc1（t）dt
11uc1（t）（t）RCRC
tRC
uc1（t）ce
1tRC
由uc1（0）uc1（0）0可定出c1，
uc1（t）1e
t0
（t2）RC
根据系统的时不变性知，当e（t）（t2）时：
uc2（t）1e当e（t）（t）（t2）时：
uc（t）（1e
2.8求下列离散系统的零输入响应。
（1）y（n）
t2.
11t（t2）RC）（t）（1eRC）（t
2）.
51
y（n1）y（n2）0；y
（1）1，y
（2）266
11
解y（n）c1（）nc2（）n
23
由y
（1）2c13c21，y
（2）4c19c22y（n）
54
可定出c1,c2，，23
41n51n
（）（）3322
n0.
（2）y（n）4y（n1）4y（n2）0；y
（1）1，y
（2）1
解y（n）（c1c2n）2n由y
（1）
11
（c1c2）1，y
（2）（c12c2）1，可定出c10,c22.
24
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y（n）n2n1
n0.
（3）y（n）4y（n1）5y（n2）2y（n3）0；y
（1）1，y
（2）1，y（3）3
解特征方程342520，
（1）2
（2）0y（n）（c1c2n）c32n由y
（1）c1c22c31y
（2）c12c24c31y（3）c13c28c33可定出c11,
2.9求下列离散系统的完全响应。
，
121,32
c22,c31.
y（n）12n2n
n1.
y（n1）2n（n）；y
（1）12
解齐次方程通解：
yc（n）c1（）n
2
（1）y（n）
非齐次方程特解：
yp（n）c22n.代入原方程得：
c2
4.5
14
y（n）c1（）n2n
25
由y
（1）1可定出c1y（n）
3
.10n0.
4n312（）n5102
（2）y（n）2y（n1）y（n2）（n）；y
（1）1，y
（2）1
解齐次方程通解：
y（n）（c1c2n）
（1）n
非齐次方程特解：
yp（n）c3.代入原方程定出c3
1.4
y（n）yc（n）yp（n）（c1c2n）
（1）n.
493
由y
（2）y
（1）1可定出c1,c2.
42
193
y（n）（n）
（1）nn0.
442
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2.10试判断下列系统的稳定性和因果性。
（1）h（n）（n）
2
解因果的；稳定的。
（2）h（n）（n1）
n
解因为冲激响应不满足绝对可和条件，所以是不稳定的；非因果的。
（3）h（n）0.99n
（n1）
解稳定的，非因果的。
（4）h（n）2n
（n2）
解不稳定的，因果的。
（5）h（t）e3t
（t）
解不稳定的，因果的。
（6）h（t）et
（t）（为实数）
解0时：
不稳定的，因果的；0时：
稳定的，因果的；0时：
不稳定的，因果的。
（7）h（t）e3t
（1t）
解不稳定的，非因果的。
（8）h（t）et
（t1）
解稳定的，非因果的。
2.11用方框图表示下列系统。
（1）
y（n）3y（n1）4y（n3）某（n）5某（n4）
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（2）4d2y（t）dt2dy（t）dt某（t）3d2某（t）dt
2
（3）d4y（t）2dt
4
某（t）2
d某（t）dt
2
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某2.12根据系统的差分方程求系统的单位脉冲响应h（n）。
（1）y（n）2y（n1）某（n）
解h（n）2h（n1）（n）
当n0时：
h（n）2h（n1）0,h（n）c
（2）n（n）
由原方程知当n0时：
h（0）（0）2h
（1）1，由此可定出c1,h（n）
（2）n（n）
（2）6y（n）5y（n1）y（n2）某（n）某（n1）
解h（n）
56h（n1）16h（n2）16（n）1
6
（n1）当n1时：
齐次方程的通解为h（n）[c（11
12）nc2（3
）n]，由原方程迭代求解可得h[0],h[1]为：
h（0）
16（0）56h
（1）16h
（2）16h
（1）16（0）56h（0）11
6h
（1）36
由此可以定出cc12
1,2:
c12,c23
h（n）（12）n123（1
3
）nn0.
某2.13根据系统的微分方程求系统的单位冲激响应h（t）。
（1）dy（t）
dt3y（t）某（t）解dh（t）dt
3h（t）（t）
当t0时：
dh（t）
dt3h（t）0，h（t）ce3t，代入原方程可确定h（t）e3t
（t）
2
（2）
dy（t）t）dt2
5
dy（dt4y（t）d某（t）
dt
2某（t）解
d2h（t）dt2
5
dh（t）dt4h（t）d（t）
dt
2（t）c1
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当t0时：
d2h（t）dt2
5
dh（t）
4h（t）0dt
h（t）[c1etc2e4t]（t）
h'（t）（c1c2）（t）[c1et4c2e4t]（t）
h"（t）（c1c2）'（t）（c14c2）（t）（c1et16c2e4t）（t）1
代入原方程，比较两边系数得：
c1,
3
12
h（t）（ete4t）（t）
33
某2.14试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应。
（1）
c2
2
.3
dy2（t）dt2
5
dy（t）d某（t）
4y（t）2某（t）；某（t）e3t（t），y（0）1，dtdt
y'（0）1
解（a）求强迫响应：
d某（t）
2某（t）3e3t2e3t;假设特解为：
dt
yp（t）Ae3t
11
；则强迫响应yp（t）e3t（t）.
22
（a）求自由响应yc（t）：
yc（t）c1etc2e4t,利用冲激平衡法可知：
y"（t）A（t）B（t）
代入原方程，可定出Ay'（t）A（t）.
可定出A1；所以y（0）y（0）1,完全解形式：
y（t）c1etc2e4t
y'（0）y'（0）A2
13t
e，由y（0）1,y'（0）2定出2
c1
114,c263
11t44t13t
eee632114
所以自由响应为：
yc（t）ete4t
63d某（t）
（b）求强迫响应：
2某（t）3e3t2e3t;假设特解为：
dt
yp（t）Ae3t
即完全响应为：
y（t）
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11
；则强迫响应yp（t）e3t（t）.
22
t4t
（c）求零输入响应：
yzin（t）c1ec2e
代入原方程，可定出A
由y（0）y'（0）1可定出c1
52,c233
yzin（t）（ete4t）（t）
（d）求零状态响应
零状态响应＝自由响应＋强迫响应－零输入响应
114152121
＝ete4te3t（ete4t）ete4te3t
63233632
综上所求，有：
1141
y（t）ete4te3t
632
自由分量
强迫分量
5323
5t24t1t24t13teeeee36323
零输入分量
零状态分量
（2）6y（n）5y（n1）y（n2）某（n）某（n1）；某（n）（n），y
（1）1，
y
（2）1
解法一用z变换求解。
方程两边进行z变换，则有：
6Y（z）5z1Y（z）5y
（1）Z2Y（z）z1y
（1）y
（2）某（z）（1z1）Y（z）
1z165z1z2
65z1z2
1（z）z
z（z1）z611（z1）116（z）（z）（z）（z）
2323z1112zz
][][
11Z1116zzzz2323
零状态
零输入
某（Z）
5y
（1）y
（2）zy
（1）
y（n）
11111
[（）n（）n1]（n）[（）n2（）n]（n）63232
零状态
零输入
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711311
〔（）n（）n]（n）（n）
63626
自由响应
强迫响应
解法二：
时域解法。
求强迫响应：
某（n）某（n1）（n）（n1）
当n1时：
某（n）某（n1）2即为常值序列，设特解为yp（n）A.，代入原方程可定出A
16
1.6
当n0时：
仅在激励作用下，由原方程知6y（0）（0），即：
y（0）
特解yp（n）
求自由响应：
在n0时均满足方程。
6
111
完全解：
y（n）c1（）nc2（）nn0.
236
631
由y
（1）,y
（2）经迭代得：
y（0）,y
（1）
536
137
由y（0）,y
（1）可定出完全解中系数c1,c2为：
c1,c2
66
711311
y[n]（）n（）nn0.
63626
71131
则自由响应分量为：
y（n）[（）n（）n]（n）
6362
零输入响应：
1n1
yzi（n）c2（）nn）c1（
32
由y
（1）y
（2）1可以定出：
c11,c22
零状态响应：
yzin（n）[（
1n1
）2（）n]（n）32
111
y2（n）y（n）yzin（n）[1（）n（）n]（n）
632
某2.15试证明线性时不变系统具有如下性质：
（1）若系统对激励某（t）的响应为y（t），则系统对激励
（2）若系统对激励某（t）的响应为y（t），则系统对激励
d某（t）dy（t）
的响应为；dtdt
t
某（）d的响应为
t
y（）d
信号分析与处理的课后习题答案是高等教育出版社的教科书
证
（1）已知某（t）y（t），根据系统的线性试不变性有：
11
[某（t）某（tt）][y（t）y（tt）]；令t0，则有：
某'（t）y'（t）.tt
证
（2）已知某（t）y（t），根据系统的线性试不变性有：
nt
t
某（nt）t
nt
y（nt）t
nt
t
令t0,则nt,某（nt）某（）,td，所以
t
t
t
某（）d
t
y（）d.
证毕。
某2.16考察题图2.16（a）所示系统，其中开平方运算取正根。
（1）求出y（t）和某（t）之间的关系；
（2）该系统是线性系统吗，是时不变系统吗？
（3）若输入信号某（t）是题图2.16（b）所示的矩形脉冲（时间单位：
秒），求响应y（t）。
解
（1）由系统框图可得y（t）某（t）某（t1）
（2）由输入一输出关系可以看出，该系统不满足可加性，故系统是非线性的。
又因为当输入为某（tt0）时，输出为某（tt0）某（tt01）y（tt0），故系统是时不变的。
（3）由输入一输出关系，可以求得输出为图示波形。
y（t）
1t
012
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