二项式定理二项式定理的应用教案汇编.docx

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二项式定理二项式定理的应用教案汇编

排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案

教学目标

1．利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算；求余数或证明某些整除或余数的问题等．

2．渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题．

3．培养学生运算能力，分析能力和综合能力．

教学重点与难点

数学是一门工具，学数学的目的就是为了应用．怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系，怎样联系），是这节课的难点，也是重点所在．

教学过程设计

师：

我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题：

（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？

（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．

（全体学生参加笔试练习）

6分钟后，用投影仪公布以上三题的解答：

（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系数是（1+x）

（2）原式=[1+（x-x2）]6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6．

其中含x5的项为：

20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5．

师：

解

（1），

（2）两题运用了变换和化归思想，第

（2）题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件．

第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a，b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值．这种用概念解题的思想经常使用．

下面我们看二项式定理的一些应用．

师：

请同学们想一想，例1怎样解？

生甲：

从结构上观察，则与练习的第（3）题有相似之处，只是组合数的系数成等比数列，是否根据二项式定理令a=1，b=3，即可得到证明．

师：

请同学们根据生甲所讲，写出证明．

（找一位同学板演）

证明：

在（a+b）n的展开式中令a=1，b=3得：

师：

显然，适当选取a，b之值是解这一类题的关键，再看练习题．

练习

生乙：

这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺

我考虑如能用二项式定理解，应对原题做以下变换：

师：

分析得很透彻．这种敢想、会想精神是每位同学都要培养的．首先是敢字，不要一见题目有些生疏就采取放弃态度；要敢于分析，才能善于分析，将来才敢于创新，善于创新．

请大家把解题过程写在笔记本上．

（教师请一名同学板演）

在（a＋b）6的展开式中令a=1，b=3，得

师：

解题过程从“在（a+b）6的展开式中令a=1，b=3”写起就可以了．希望同学们再接再励，完成下个练习．

练习

师：

大家议论一下，这道题能用二项式定理来解吗？

生丙：

初步观察，与上节课我们学刁的：

“在（a＋b）n的展开式

解决．我们注意到组合数代数和的值为余弦值或正弦值，又注意到正项

…）或r=4m＋1（m=0，1，2，…），负项出现在r=4m＋2（m=0，1，2，…）或r=4m＋3（m=0，1，2，…），而虚数单位i有以下性质：

i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（m∈Z）．

于是想在（a＋b）n的展开式中令a=1，b=i．

师：

分析得有道理，请同学们按生丙同学的意见进行演算．

（教师找一位同学板演）

证明：

设i是虚数单位，在（a＋b）n的展开式中令a=1，b=i中得：

另一方面，又有

由此得到

根据复数相等定义，有

师：

认真分析习题的结构，运用类比与联想的思想方法，可以帮助我们找到解题的思路，下面我们研究二项式定理在数字计算方面的应用．

例2 计算：

1.9975（精确到0.001）．

生丁：

这道题若用二项式定理计算，必须把1.997看作1+0.997，这样，1.9975=（1+0.997）5．

师：

计算简单吗？

生戊：

把1.9975化为（2-0.003）5，再展开，由于精确到0.001，不必各项都计算．

师：

按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．

（教师找一位同学板演）

解：

1.9975=（2-0.003）5

=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003＋…

由于|T6|＜|T5|＜|T4|≈1.08×10-6，则|T4|＋T5＋T6|＜0.000004．

所以1.9975≈32-0.24+0.00072≈31.761．

师：

1996年全国高考有这样一道应用题：

（用投影仪示出，老师读题）

某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？

稍候，教师问：

谁想出解法了，请讲一讲．

生己：

设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷，耕地平均每年至多只能减少x公顷．

十年后耕地亩数：

104-10x，

十年后总产量：

M×（1+22％）（104-10x）．

十年后人口：

P×（1＋1％）10，

依题意可以得到不等式

师：

实际计算时，会遇到（1＋0.01）10的计算问题，请全体同学在笔记本上迅速计算出来．

（教师请一同学板演）

师：

真迅速啊！

请同学们课下把这道高考题完成．

（答案：

按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷）

现在，我们再讨论一个新的问题．

例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？

生庚：

先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数．

受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用

数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了．

师：

请同学们在笔记本上完成此题的解答

（教师请一名同学板演）

解：

由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

则 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6

所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．

师：

请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：

7777-1能被19整除吗？

（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演）

解：

7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除．

师：

请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？

生辛：

这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

师：

二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题

例4 求证：

3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

师：

仍然由同学先谈谈自己的想法．

生壬：

我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）；

② n≥2，右式至少三项；

这样，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：

根据题设条件有n∈N，且n≥2．用数学归纳法应当可以证明．

师：

由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生×同学从乘方运算这点考虑，想到二项式定理，生×同学从题设条件n∈N考虑，想到数学归纳法．大家要养成习惯，每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面．

用二项式定理证明，生×同学已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明．

（教师请一名同学板演）

证明：

①当n=2时，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，显然9＞8．故不等式成立．

②假设n=k（k∈N且k≥2）时，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），则当n=k＋1时，

由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k．

右式=2（k+1）-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，

则 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）

=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．

所以 左式＞有式．故当n=k＋1时，不等式也成立．

由①，②不等式对n≥2，n∈N都成立．

师：

为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题：

设n∈N且n＞1，求证：

（证明过程中可以运用公式：

对n个正数a1，a2，…，an，总有

（教师在教室巡视，过2分钟找一名同学到黑板板演第

（1）小题，再过3分钟找另一名同学板演第

（2）小题）

师：

哪位同学谈一谈此题应怎样分析？

生寅：

第

（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，

（五）DIY手工艺品的“价格弹性化”列前n项的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到证明．

第

（2）小题左式与右式也没有直接联系．根据题目给出的公式要

这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格炯异的饰品，许多顾客也是学得不亦乐乎。

据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种ＤＩＹ的方式，完全自助在现场，有上班族在里面精挑细选成品，有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱，准备自己制作的原料。

可以想见，用本来稀奇的原料，加上别具匠心的制作，每一款成品都必是独一无二的。

而这也许正是自己制造所能带来最大的快乐吧。

师：

根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握．

据调查，大学生对此类消费的态度是：

手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。

本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用．当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视．

（2）文化优势作业

1．课本习题：

P253习题三十一：

6，7，10；

2．课本习题：

P256复习参考题九：

15

（2）．

合计50100%3．补充题：

（4）信息技术优势

据统计，上海国民经济持续快速增长。

03全年就实现国内生产总值（GDP）6250.81亿元，按可比价格计算，比上年增长11.8%。

第三产业的增速受非典影响而有所减缓，全年实现增加值3027.11亿元，增长8%，增幅比上年下降2个百分点。

“碧芝”隶属于加拿大的ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司。

这家公司原先从事首饰加工业，自助首饰的风行也自西方，随着人工饰品的欣欣向荣，自制饰品越来越受到了人们的认同。

１９９６年'碧芝自制饰品店'在迪美购物中心开张，这里地理位置十分优越，交通四八达，由于是市中心，汇集了来自各地的游客和时尚人群，不用担心客流量问题。

迪美有３００多家商铺，不包括柜台，现在这个商铺的位置还是比较合适的，位于中心地带，左边出口的自动扶梯直接通向地面，从正对着的旋转式楼拾阶而上就是人民广场中央，周边４、５条地下通道都交汇于此，从自家店铺门口经过的９０％的顾客会因为好奇而进看一下。

课堂教学设计说明

1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复习的学习习惯．

2．只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力．因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与．

图1-3大学生偏爱的手工艺品种类分布3．学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力．

年轻有活力是我们最大的本钱。

我们这个自己动手做的小店，就应该与时尚打交道，要有独特的新颖性，这正是我们年轻女孩的优势。