小学数学简便运算和巧算.docx
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小学数学简便运算和巧算
小学数学简便运算和巧算
一、数的加减乘除有时可以运用运算定律、性质、或数量间的特殊关系进性较快的运算这就是简便运算。
（一）其方法有：
一：
利用运算定律、性质或法则。
（1）加法：
交换律，a+b=b+a,结合律，（a+b）+c=a+（b+c）.
（2）减法运算性质：
a-（b+c）=a-b-c,a-（b-c）=a-b+c,a-b-c=a-c-b,
（a+b）-c=a-c+b=b-c+a.
（3）:
乘法：
利用运算定律、性质或法则。
交换律，a×b=b×a,结合律，（a×b）×c=a×（b×c）,
分配率，（a+b）×c=a×c+b×c,（a-b）×c=a×c-b×c.
（4）除法运算性质：
a÷（b×c）=a÷b÷c,a÷（b÷c）=a÷b×c,a÷b÷c=a÷c÷b,
（a+b）÷c=a÷c+b÷c,（a-b）÷c=a÷c-b÷c.
前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。
其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。
后面数值的运算符号不变。
例1:
283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600（运用加法交换律和结合律）。
减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。
例2：
657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。
）
例3：
195-（95+24）=195-95-24=100-24=76（运用减法性质）
例4;150-（100-42）=150-100+42=50+42=92.（同上）
例5：
（0.75+125）×8=0.75×8+125×8=6+1000=1006.（运用乘法分配律））
例6：
（125-0.25）×8=125×8-0.25×8=1000-2=998.（同上）
例7：
（1.125-0.75）÷0.25=1.125÷0.25-0.75÷0.25=4.5-3=1.5。
（运用除法性质）
例8:
（450+81）÷9=450÷9+81÷9=50+9=59.（同上，相当乘法分配律）
例9：
375÷（125÷0.5）=375÷125*0.5=3*0.5=1.5.（运用除法性质）
例10：
4.2÷（0。
6×0.35）=4.2÷0.6÷0.35=7÷0.35=20.（同上）
例11：
12×125×0.25×8=（125×8）×（12×0.25）=1000×3=3000（运用乘法交换律和结合律）
例12:
（175+45+55+27）-75=175-75+（45+55）+27=100+100+27=227（运用加法性质和结合律）
例13：
（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450.（运用除法性质,相当加法性质）
（5）和、差、积、商不变的规律。
1：
和不变：
如果a+b=c,那么，（a+d）+（b-d）=c,
2:
差不变：
如果a-b=c,那么，（a+d）-（b+d）=c,（a-d）-（b-d）=c
3:
积不变：
如果a*b=c,那么,（a*d）*（b÷d）=c,
4:
商不变：
如果a÷b=c,那么，（a*d）÷（b*d）=c,（a÷d）÷（b÷d）=c.
例14：
3.48+0.98=（3.48-0.02）+（0.98+0.02）=3.46+1=4.46（和不变）
例15：
3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579（差不变）
例16：
74.6×6.4+7.46×36=7.46×64+7.46×36=7.46×（64+36）=7.46×100=746.（积不变和分配律）
例17:
12.25÷0.25=（12.25*4）÷（0.25*4）=49÷1=49.（商不变）。
二：
拆数法：
（1）凑整法，19999+1999+198+6=（19999+1）+（1999+1）+（198+2）+2=22202
（2）利用规律，7.5×2.3+1.9×2.5-2.5×0.4=7.5×（0.4+1.9）+1.9×2.5-2.5×0.4
=7.5×0.4+7.5×1.9+1.9×2.5-2.5×0.4=0.4×（7.5-2.5）+1.9×（7.5+2.5）=2+19=21.
2.1992×20052005-2005×19921992=1992×2005×（10000+1）-2005×1992×（10000+1）=0
三：
利用基准数：
2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21=10311
四：
改变顺序，重新组合。
（1）：
（215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+357+429+581-205-347-419-571
=（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40
（2）：
（378×5×25）×（4×0.8÷3.78）=378×5×25×4×0.8÷3.78=（378÷3.78）×（25×4）x（5×0.8）
=100x100x4=40000，
五：
1：
求等差连续自然数的和。
当加数个数为奇数时，有：
和=中间数x个数。
当加数个数为偶数时，有：
和=（首+尾）x个数的一半。
（1）:
3+6+9+12+15=9*5=45,
（2）:
1+2+3+4+……+10=（1+10）*10÷2=55.
2:
求分数串的和。
因为1/n-1/n+1=1/n（n+1）,1/n+1/n+1=n+（n+1）/[n（n+1）].所以：
（1）：
1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11
=1/6-1/11=5/66
（2）：
5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。
。
。
。
。
。
+41/400-43/460
=（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6）+（1/6+1/7）-（1/7+1/8）
。
。
。
。
。
。
+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/11
3：
变形约分法。
求：
（1.2+2.3+3.4+4.5）÷（12+23+34+45）的值。
因为分母各项是分子各项的10倍。
所以有：
原式=0.1
六：
设数法：
求（1+0.23+0.34）*（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）*（0.23+0.34）
的值。
设a=0.23+0.34.b=0.23+0.34+0.65.原式=（1+a）*b-（1+b）*a
=b+ab-a-ab=b-a=（0.23+0.34+0.65）-（0.23+0.34）=0.65.
（二）：
巧算的方法：
除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一般问题转化为特殊问题，以小见大，以少见多，以简驭繁。
从而达到巧算的目的。
一：
利用数的整除特征和某些特殊规律。
特殊问题来求解。
重在一个“巧”。
（1）：
一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13整除。
为什麽？
解;六位数abcabc=abc×1000+abc=abc×1001.1001=7×13×11.
六位数abcabc必能被7、11、13整除。
（2）：
六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数字几？
解：
因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各位数字和应能
被3整除，a只能是2。
所以a,b,c分别是2,0,0。
（3）：
化简：
（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）÷（888888×888888）
=8×8÷（888888×888888）=1÷（111111×111111）=1/12345654321.
（因为：
11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。
。
。
。
。
。
）
二：
估算法：
求：
a=1÷（1/1992+1/1993+1/1994+……+1/2003）的整数部分。
解：
用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。
假定除数部分各加数都是1/1992，则a=1÷（12/1992）=166。
若除数部分各加数都是1/2003，则a=1÷（12/2003）=166+11/12
所以它的整数部分是166。
三：
正难则反法。
直接求解困难时，换个角度从反面求解。
（1）：
除了本身，合数7854321的最大因数是多少？
一般想法是将其分解质因数求之，但
这个数很大，做起来很繁琐。
巧解：
先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。
因为该数各位数字和能被3
整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是：
7854321÷3=261807。
（2）：
某厂人数在90----110之间，做工间操排队时，站3列正好；站5列少2人；站
7列少4人，这厂有多少人？
解：
按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为：
该厂工人站
3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求这厂人数的问题。
即求比3，5,7的
最小公倍数多3的数是多少。
【3,5,7】=105，105+3=108人。
这厂有108人。
四：
慎密的逻辑推理：
（1）：
幼儿园的小朋友分饼干，每人分5块，则差27块。
每人分4块，正好分完。
这个
幼儿园有多少小朋友？
分了多少饼干？
解：
一般用方程法：
设有x个小朋友。
5x-4x=27,x=27.饼干为：
27×4=108块。
巧解：
每人分4块，正好分完，每人多分一块（5块）差27块，说明小朋友
为：
27÷1=27个，饼干为：
27×4=108块
（2）:
某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120盒，各卖出164盒后，乙剩下的是甲
剩下的3倍，求原来两台各有多少盒磁带？
一般用方程法：
设甲剩x台，乙剩3x台.（3x+164）-（x+164）=120,x=60,3x=180.
甲原有：
60+164=224盒，乙原有180+164=344盒。
推理巧解：
因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120盒，乙是甲的3倍，
这就转化为差倍问题了。
120÷（3-1）=60。
60×3=180.
甲原有：
60+164=224盒，乙原有：
180+164=344盒
（3）:
甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8时，乙骑到全案程6/7，这时两人相
距140米。
如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少？
解：
一般方法：
7/8:
6/7=49:
48.140÷（7/8-6/7）=7840，7840:
x=49:
48,x=7680
7840-7680=160米
推理巧解思路：
直接求甲到终点时比乙多走多少米。
甲走7/8时比乙多走140米
甲走1/8时比乙多走140/7=20米。
所以甲走8/8（全程）时，
比乙多走140+20=160米
（4）：
求分母为40以内所有自然数的真分数的和。
1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4）
+（1/5+2/5+3/5+4/5）+。
。
。
。
。
。
+39/40
解：
用通分法求和很繁琐。
通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到1、2
、3、4/。
。
。
。
。
。
39。
所以，（20×39）÷2=390即为所求。
（5）：
一正方形，当竖边减少20%，横边增加2米时，得到的长方形面积与原正方形面积相等，求原正方形面积。
解：
一般思路：
因为正方形面积=边长×边长。
所以应先求边长。
.用方程解：
设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个单位面积。
长方形的
宽为：
1×（1-20%）=80%个单位长度，长为：
一个单位面积÷80%个单位长度=1.25
个单位长度，与2米对应的单位长度为：
1.25-1=0.25个单位长度。
所以正方
形边长（一个单位长度）=2÷0.25=8米，正方形面积=8x8=64平方米。
很繁琐。
巧解思路：
因竖边减少20%，在原图形上减少的面积与后来因横边增加2米，增
加的面积相等。
所以设原正方形边长为x米，则：
20%x×x=80%x×2x=8米。
正方形面积=8×8=64平方米.
（6）：
某班有40名学生，考数学时有2人缺考，这38人平均分数是89，这2名学生
补考后，两人的平均成绩比全班40人的平均成绩多9.5分，这两人的平均成绩
是多少？
解：
一般从求平均数的共识考虑，用方程解：
设这两人的平均成绩为x,则：
x-（89*38+2x）÷40=9.5,x=99.
推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。
这两人的平均分数比全班平均分
数多9.5分，把9.5×2=19补给38名学生，每人增加0.5分，所以这两人平均
分数为：
89+0.5+9.5=99。
五：
注意一般解法的特殊形式：
（1）：
求平均数的一般方法:
公式法，平均数=总数量÷总份数。
但当份数相等时，
巧解法：
平均数=（第一份数量+第二份数量+。
。
。
。
。
。
+第n份数量）
÷份数。
如：
某人晨练，第一个5分钟的速度是100米/分，第二个5分钟的速度是110米/分，
求他这10分钟内的平均速度
一般解法：
平均数=（100×5+110×5）÷（5+5）=105米/分
因为“份数”相同，可巧解：
平均数=（100+110）÷2=105米/分。
（2）：
甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100千米的两地出发相向而行，甲速度为6千米/小时，乙速为4千米/小时，狗速为10千米/小时，狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。
。
。
。
。
。
直到甲乙两人相遇。
这狗走了多少米？
解：
若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。
。
。
。
。
。
相遇时走的路程，再加起来是很困难的。
一般巧解方法是：
从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，所以狗走的时间
=100÷（4+6）=10小时，狗走的路程=10×10=100千米.
这还不算巧，更巧的方法是：
从题意可知：
甲乙速度和=狗速，并且走的时间相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米。
总的来看，“巧解”就是在一题多解情况下的最佳选择。
（三）总练习题（用简便方法计算1--16题，用多种方法计算17--30题，并指出最巧方法。
17—30题只给出巧解答案。
）
（1）925-28-72+75
（2）（64×125）÷（16×28）（3）12.348÷25（4）55×55/56（5）3.8+3.75+3.85+3.75
（6）123454321÷（55555×55555）（11×11=121,111×111=12321,1111×1111=1234321......）
（7）18×5/7-5×4/7（8）999×222+333×334（9）（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.7÷4）（10）8.3×64+1.7×65
（11）12.5*[（36-7.2）÷3.6]（12）43*11.8+860*0.91（13）（9+2/7+7+2/9）÷（5/7+5/9）
（14）1/2+1/6+1/12+1/20+1/30（15）（1+1/2+1/3+。
。
。
。
。
。
+1/1999）×（1/2+1/3+1/4+。
。
。
。
。
。
+1/2000）-（1+1/2+1/3+......+1/2000）×（1/2+1/3+1/4......+1/1999）
（15）4327-98（16）求：
5+10+15+20+。
。
。
。
。
。
+200的和
（17）比较9/10和11/12的大小。
（提示：
有比较分子、比较分母、比较与1的差、比较它们的倒数、变成整数比较和用真分数特点比较等方法。
但最巧的比较方法是用“规律”比较：
分子分母都相差1时，分母大的分数大。
）
（18）比较：
2222221/2222223和3333331/3333334的大小。
（提示：
巧法是先比较他们与1的差。
）
（19）某厂工人植树，若每人植5棵，剩50棵，若每人植6棵，差40棵。
这厂有多少工人？
他们共植多少棵树？
巧解：
由题意可知，每人多种1棵，就多种50+40=90棵，所以这场工人有90÷1=90人，共植5*90+50=500棵。
（20）张老师用216元买钢笔奖励学生，若每支便宜1元，可多买3支，钢笔原价是多少？
巧解：
因为总价=单价×数量，所以把216分解成两个数相乘有2和108、3和72、4和54、6和36、8和27、9和24。
根据题意，从后两组数可知每支笔原价是9元。
（21）王华和李明在银行都有存款，原来王比李少1/6，每人捐出20元后，李比王多25%，两人原来存款各是多少？
巧解：
由王比李少1/6可知；李存款是他两存款差的6倍，由李比王多25%可知，捐出20元后李存歀是他两存款差的5倍，捐款前后“差”不变，李捐出20元后，自己的钱变成“差”的5倍，所以“差”是20元。
李原有钱为20*6=120元。
王原有钱120-20=100元。
（22）甲乙两消防队共有338人，从甲队调出1/3，从乙队调出1/7的和是78人，甲乙两队各有多少人？
巧解：
假设甲乙调出的人数都扩大到3倍，则共调出78×3=234，原消防队只剩乙队的4/7，所以原乙消防队有：
（338-234）÷4/7=182人，原甲队有338-182=156人。
（23）猴吃桃，第一天吃了全部的1/9，第二天吃余下的1/8，第三天吃又余下的1/7。
。
。
。
。
。
。
第八天吃余下的1/2，第九天吃了一个正好吃完，原有桃多少个？
巧解：
从题意可知：
每天都吃了总数的1/9，（第二天吃8/9×1/8=1/9,第三天吃7/9*1/7=1/9......）,所以桃子总数为：
1÷1/9=9个。
（24）妈妈给上衣缝纽扣，若每天缝15件，比规定日期晚2天，每天缝18件，就可提前3天，这批上衣是多少件？
巧解：
按工程问题做：
（2+3）÷（1/15-1/18）=450件。
（25）：
一架飞机的燃料最多可用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/小时，返回时逆风，速度为1200千米/小时，飞机最多飞出多远就要往回飞？
巧解：
按工程问题（相遇问题）思路来解答。
按题意转化为往返多少千米用6小时。
6÷（1/1500+1/1200）=4000千米。
（26）：
某人卖商品，第一天按11元/个的利润卖出10个，第二天是五一，按5元/个的利润卖出11个，两天卖出的总价（营业总额）相同，求该商品的进价？
巧解：
因为总价=（利润+进价）×个数。
第一天利润为11×10=110元，第二天若卖10个，利润为5×10=50元，总额少60元，多卖出一个，利润仅为5×11=55元，第二天少得利润60-5=55元，所以，一件商品的进价为55元。
（27）一农民死前立遗嘱：
要把17头牛分给三个儿子，大儿子得1/2，二儿子得1/3，三儿子得1/9，（不得杀或卖）三个儿子不会分，你应如何分？
巧解：
17不是2、3、9的倍数，不能安分率分配，应把三个分率看成分牛时每人得的份数。
1/2:
1/3:
1/9=9:
6:
2，所以：
17÷（9+6+2）=1头，三个儿子分别应分：
9头，6头，2头。
另一巧解方法是：
三个分率的分母最小公倍数是18，可以18头牛为单位“1”，进行分配。
18×1/2=9,18×1/3=6,18×1/9=2
（28）学校买进一批白色、彩色粉笔，白色是彩色的3倍，开学后平均每周用36盒白色的、8盒彩色的。
几周后，白色的用完，彩色的还剩36盒，原来购进白、彩粉笔各多少盒？
巧解：
因为白是彩的3倍，若每周按比例白36盒，彩12盒使用，則同时用完，现在每周少用彩笔12-8=4盒，可见用了36÷4=9周，所以白色粉笔为：
36×9=324盒，彩色粉笔为：
8×9+36=108盒。
（29）前六
（2），若甲、乙速度不变，狗速变为15千米/小时，甲乙两人相遇时，狗跑了多少千米？
巧解：
因为狗与两人运动时间相同，所以，路程和时间成正比.x/100=15/10,x=150千米。
（30）某蓄水池长、宽、深分别为10米、8米、3米。
一进水管以0.6小时使水深达0.3米的速度往池内放水，多少时间可放满水池？
巧解：
思路：
水深达到3米，就满池了。
因为放水速度不变，所以水深与时间成正比，3/0.3=x/0.6x=6小时。
或3÷（0.3÷0.6）=6小时。
同学们：
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老师们：
快来看吧，看后会使你增加一些引导学生“复习知识”的方法，从而提高复习效率。
文中不妥之处，诚请指正。
谢谢。
加法类似）：
交换律，a*b=b*a,结合律，（a*b）*c=a*（b*c）,
分配率，（a+b）xc=ac+bc,（a-b）×c=ac-bc.
（4）除法运算性质：
（与减法类似），a÷（b×c）=a÷b÷c,a÷（b÷c）=a÷bxc,a÷b÷c=a÷c÷b,
（a+b）÷c=a÷c+b÷c,（a-b）÷c=a÷c-b÷c.
前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。
其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。
后面数值的运算符号不变。
例1:
283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600。
（运用加法交换律和结合律）。
减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。
例2：
657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。
）
例3：
195-（95+24）=195-95-24=100-24=76 （运用减法性质）
例4;150-（100-42）=150-100+42=50+42=92. （同上）
例5：
（0.75+125）×8=0.75×8+125×8=6+1000=1006.（运用乘法分配律））
例6：
（125-0.25）×8=125×8-0.25×8=1000-2=998. （同上）
例7：
（1.125-0.75）÷0.25=1.125÷0.25-0.75÷0.25=4.5-3=1.5。
（运用除法性质）
例8:
（450+81）÷9=450÷9+81÷9=50+9=59.（同上，相当乘法分配律）
例9：
375÷（125÷0.5）=375÷125*0.5=3*0.5=1.5.（运用除法性质）
例10：
4.2÷（0。
6×0.35）=4.2÷0.6÷0.35=7÷0.35=20.（同上）
例11：
12×125×0.25×8=（125×8）×（12×0.25）=1000×3=3000.（运用乘法交换律和结合律）
例12:
（175+45+55+27）-75=175-75+（45+55）+27=100+100+27=227.（运用加法性质和结合律）
例13：
（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450. （运用除法性质,相当加法性质）
（5）和、差、积、商不变的规律。
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