高考理科数学全国卷3含详细答案.docx

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高考理科数学全国卷3含详细答案

--------

绝密★启用前A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°

----------------

--------------------4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低

理科数学气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15℃ ， B 点表示四月的平均最

低气温约为 5℃ .下面叙述不正确的是（）

10 3 10

C. -

10

9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多

面体的表面积为                                                      （   ）

此

使用地区:

广西、云南、贵州

--------------------

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 6 页.

2. 答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5 毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓

卷

--------------------名、准考证号填写清楚 .再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名

__和科目 .

__

__3. 答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

__

黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效 .

号上

证

考

准

5. 第 22、23、24 小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答 .要用 2B 铅笔在

答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑 .

__

6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .

--------------------

__第Ⅰ卷

__

__

__

名一、选择题：

本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

姓

合题目要求的.

--------------------

1. 设集合 S = {x|（x - 2）（ x - 3）≥0} ， T = x x > 0 ，则 ST =（）

A. [2,3 ]B. （-∞,2][3, +∞）

----平均最低气温——平均最高气温

A. 各月的平均最低气温都在 0℃ 以上

B. 七月的平均温差比一月的平均温差大

C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同

D. 平均最高气温高于 20℃ 的月份有 5 个

5. 若 tanα = 3

48

25                             B. 25

25

4           2             1

6. 已知 a = 23 ， b = 45 ， c = 253 ，则

A. b < a < c                           B. a < b < c

C. b < c < a                           D. c < a < b

7. 执行如图的程序框图，如果输入的 a = 4 ， b = 6 ，那么输出的 n =

（   ）

（   ）

（   ）

A. 18 + 36 5                       B. 54 + 18 5

C. 90                                D. 81

10. 在封闭的直三棱柱 ABC - A B C 内有一个体积为 V 的球 .若 AB ⊥ BC ， AB = 6 ，

1 1 1

BC = 8 ， AA = 3 ，则 V 的最大值是                                 （   ）

1

9π

2

C. 6π                                D. 32π

y 2

a2 + b2 = 1（a > b > 0） 的左焦点， A ， B 分别为 C 的

左、右顶点， P 为 C 上一点，且 PF ⊥ x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，

与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为           （   ）

1

3                              B. 2

3

3                              D. 4

C. [3, +∞）D. （0,2][3, +∞）

无

----------------

A. 1B. -1C. iD. -i

（    ）

A. 3                                  B. 4

C. 5                                  D. 6

8. 在 △ABC 中， B = π           1

3

）

12. 定义“规范 01 数列” {a } 如下：

 {a } 共有 2m 项，其中 m 项为 0 ， m 项为1，且对任

n n

意 k≤2m ， a , a , a ......a 中 0 的个数不少于 1的个数 .若 m = 4 ，则不同的“规范 01

1 2 3 k

数列”共有                                                          （   ）

效

---

1  3

2 2 2 2

BC

数学试卷第 1 页（共 27 页）

A. 3 10 B.  10

10                                 10

数学试卷第 2 页（共 27 页）

A. 18 个                          B. 16 个

数学试卷第 3 页（共 27 页）

C. 14 个D. 12 个

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.

第 22～24 题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题:

本题共 4 小题，每小题 5 分.

⎧ x - y + 1≥0,

⎪

⎩

14. 函 数 y = sin x -3 cosx 的 图 象 可 由 函 数 y = sin x + 3cos x 的 图 象 至 少 向 右 平 移

______个单位长度得到.

15. 已 知 f （ x） 为 偶 函 数 ，当 x < 0 时 ， f （ x）= l n- x +，则 曲 线 y = f （ x） 在 点 （1，

-3） 处的切线方程式是______.

16. 已 知 直 线 l：

mx + y + 3m - 3 = 0 与 圆 x2 + y2 = 12 交 于 A, B 两 点 ，过 A, B 分 别 作 l

的垂线与 x 轴交于 C, D 两点，若 |AB| = 2 3 ，则 |CD| = ______.

三、解答题:

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分 12 分）

已知数列{a } 前 n 项和 S = 1 + λ a ，其中 λ ≠ 0 .

nnn

（Ⅰ）证明{a } 是等比数列，并求其通项公式；

n

31

（Ⅱ）若 S =

5

18.（本小题满分 12 分）

下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位:

亿吨）的折线图.

注:

年份代码 1～7 分别对应年份 2008—2014.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化

处理量.

数学试卷第 4 页（共 27 页）

附注:

7                    7                          7

i i i i

i=1                  i=1 i=1

n

i i

参考公式:

相关系数 r = i=1

n              n

i i

i=1 i=1

回归方程 y = a + bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =

n

i i

i=1 ， a = y - bt ．

n

i

i=1

19.（本小题满分 12 分）

如图，四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， AD∥ BC ， AB = AD = AC = 3 ，

PA = BC = 4 ， M 为线段 AD 上一点， AM = 2MD ， N 为 PC 的中点．

（Ⅰ）证明：

 MN∥ 平面 PAB ；

（Ⅱ）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.

20.（本小题满分 12 分）

已知抛物线 C :

 y2 = 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l , l 分别交 C 于 A, B 两点，

1 2

交 C 的准线于 P，Q 两点.

（Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ ；

（Ⅱ）若 △PQF 的面积是 △ ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.

21.（本小题满分 12 分）

设函数 f （ x） = α cos2 x + （α - 1）（cos x + 1） ，其中 α > 0 ，记 |f （ x）| 的最大值为 A .

（Ⅰ）求 f '（ x） ；

（Ⅱ）求 A ；

数学试卷第 5 页（共 27 页）

（Ⅲ）证明：

 f '（ x） ≤2 A .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目

题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分 10 分）选修 4—1：

几何证明选讲

如图， O 中 AB 的中点为 P ，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E， F 两点．

（Ⅰ）若 ∠PFB = 2∠PCD ，求 ∠PCD 的大小;

（Ⅱ）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G ，证明：

 OG ⊥ CD .

23.（本小题满分 10 分）选修 4—4：

坐标系与参数方程

（ α 为 参 数 ）， 以

1

坐 标 原 点 为 极 点 ，以 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ，建 立 极 坐 标 系 ，曲 线 C 的 极 坐

2

（

标 方 程 为 ρ s i nθ + π 2 .2

（Ⅰ）写出 C 的普通方程和 C 的直角坐标方程;

1 2

（Ⅱ）设点 P 在 C 上，点 Q 在 C 上，求 | PQ | 的最小值及此时 P 的直角坐标.

1 2

24.（本小题满分 10 分）选修 4—5：

不等式选讲

已知函数 f （ x） =| 2 x - a | +a .

（Ⅰ）当 a = 2 时，求不等式 f （ x）≤6 的解集;

（Ⅱ）设函数 g （ x） =| 2 x - 1| .当 x ∈ R 时， f （ x） + g （ x）≥3 ，求 a 的取值范围．

数学试卷第 6 页（共 27 页）

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 3）

理科数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】D

【解析】易得 S = （-∞,2][3, + ∞ ），∴ ST = （0,2][3,+ ∞ ）．

【考点】解一元二次不等式，交集

2.【答案】C

【解析】易知 z = 1 - 2i ，故 zz - 1 = 4 ，∴

【考点】共轭复数，复数运算

3.【答案】A

4i

z z - 1

= i ．

3

【解析一】 cos ∠ABC = BA BC = 2 =3 ，∴∠ ABC = 30 ．

BA BC1⨯12

【解析二】可以 B 点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知∠ABx = 60 ， ∠CBx = 30 ，

∴∠ ABC = 30 ．

【考点】向量夹角的坐标运算

4.【答案】D

【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于 20 C 的月份有七月、八月，六月为 20 C 左右，故最多 3 个．

【考点】统计图的识别

5.【答案】A

【解析】 cos2 α + 2sin 2α =

cos2 α + 4sin α cos α  1 + 4 tan α  64

=          =   ．

cos2 α + sin 2 α    1 + tan 2 α  25

【考点】二倍角公式，弦切互化，同角三角函数公式

6.【答案】A

【解析】 a = 2 4 = 4 2 ， b = 32 ， c = 251 = 53 ，故 c > a > b ．

【考点】指数运算，幂函数性质

7.【答案】B

b6

4

6

4

6

s

n

0

0

6

1

10

2

16

3

20

4

【考点】程序框图

8.【答案】C

【 解 析 】 如 图 所 示 ， 可 设 BD = AD = 1 ， 则 AB =2 ， DC = 2 ， ∴ AC = 5 ， 由 余 弦 定 理 知 ，

cos A = 2 + 5 - 9

10

10

．

【考点】解三角形

9.【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故

表面积为 2 ⨯ 3 ⨯ 3 + 2 ⨯ 3 ⨯ 6 + 2 ⨯ 3 ⨯ 9 + 36 = 54 + 18 5 ．

【考点】三视图，多面体的表面积

10.【答案】B

【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，

3

1

4

最大值为πR3 =

3

9π

2

．

【考点】内接球半径的求法

11.【答案】A

【解析】易得

ON  OB   a                                                     c  1

=    = ，                      ，∴ =                ，∴e =  = ．

MF  BF  a + c                                                   a  3

【考点】椭圆的性质，相似

12.【答案】C

【解析】

⎧ ⎧ ⎧0 → 1111

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎨1⎨

⎪ ⎪

⎪0 ⎨ ⎧ ⎧0 → 111

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎩ ⎨1 → 01

0 ⎨ ⎪ ⎪

⎩1 → 01

⎪⎧ ⎧0 → 111

⎪

⎪

⎪⎪⎨

⎪

⎪

⎪

⎪⎪⎩1 → 01

【考点】数列，树状图

第Ⅱ卷

二、填空题

13.【答案】 3

2

⎛ 1 ⎫33

⎝ 2 ⎭22

【考点】线性规划

14.【答案】

2π

3

【解析】

⎛                                 ⎛ π ⎫

⎝                                 ⎝ 3 ⎭

者向右平移

2π

3

个单位长度得到．

【考点】三角恒等变换，图像平移

15.【答案】 2 x + y + 1 = 0

【解析一】 f '（ x） =

-1    1

-x    x

【解析二】当 x > 0 时，f （ x） = f （- x） = ln x - 3x ， f '（ x） =

1

x

- 3 ， f '

（1） = -2 ，故切线方程为 2 x + y + 1 = 0 ．

【考点】奇偶性，导数，切线方程

16.【答案】3

【解析】如图所示，作 AE ⊥ BD 于 E ，作 OF ⊥ AB 于 F ，AB = 2 3 ， OA = 2 3 ， ∴ OF = 3 ，即

3m - 3

m2 + 1 = 3 ，∴ m = -

3                                           3

3                                           2

【考点】直线和圆，弦长公式

三、解答题

17.【答案】Ⅰ） S = 1 + λ a ， ≠ 0 ，∴ a ≠ 0 ，当 n ≥ 2 时， = S - S= 1 + λa - 1 - λa= λa - λa，

nnnnnn-1nn-1nn-1

aλ

n

nn-1naλ - 1n

n-1

公比 q =

λ

λ - 1

1 n

；

（Ⅱ）若 S = 31

5

，则 S =

5

1 ⎡  ⎛ λ ⎫5 ⎤

1 - λ ⎢ ⎝ λ - 1 ⎭ ⎥

1 - λ

λ - 1

=

⎝ λ - 1 ⎭  32

【考点】等比数列的证明，由 S 求通项，等比数列的性质

n

18.【答案】（Ⅰ）由题意得 t =

= 4 ， i

7

7 y = i=1

7

≈ 1.331

，

r =

7

i=1

7 7

i=1

i i

i i

i=1

=

7 7

i=1

n

i=1

i i

i i

i=1

= 40.17 - 7 ⨯ 4 ⨯1.33

近似为 0．99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合 y 与 t 的关系；

（Ⅱ） b =

n

i=1

i i

n

i

=

2.89

28

≈ 0.103 ， a = y - bt = 1.33 - 0.103 ⨯ 4 ≈ 0.92 ，所以 y 关于 t 的线性回归

i=1

方程为 y = a + bt = 0.92 + 0.10t ，将 t = 9 代入回归方程可得， y = 1.82 ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化

处理量将约为 1.82 亿吨．

【考点】相关性分析，线性回归

19.【答案】 Ⅰ）由已知得 AM = 2 AD = 2 ，取 BP 的中点 T ，连接 AT ，TN ，由 N 为 PC 中点知 TN ∥BC ，

3

1

TN =BC = 2 ，又 AD∥ BC ，故 TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN ∥ AT ，因

2

为 AT ⊂ 平面 PAB ， MN ⊄ 平面 PAB ，所以 MN∥ 平面 PAB ；

（Ⅱ）取 BC 中点 E ，连接 AE ，则易知 AE ⊥ AD ，又 PA ⊥ 面 ABCD ，故可以 A 为坐标原点，以 AE 为

M

x 轴，以 AD 为 y 轴，以 AP 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A（0,0,0） 、 P（0,0,4） 、 C （ 5,2,0） 、

⎛ 5   ⎫

⎝ 2 ⎭

5   ⎫ ⎛ 5    ⎫

2 ,1,2⎪ ， PM = （0,2, -4） ， PN = N ç 2 ,1,-2 ⎪ ，故平面 PMN 的法向量 n = （0,2,1） ，

⎝      ⎭ ⎝        ⎭

∴cos < AN ,n >=4

= 8 5

25 ，

5 ⨯ 5

2

∴ 直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为

8 5

25

．

【考点】线面平行证明，线面角的计算

⎛ 1⎫⎛ a2⎫⎛ b2⎫1

（

12

⎛ 1⎫⎛ 1 a + b ⎫

⎝ 2⎭⎝ 22⎭

段 AB 上，故1 + ab = 0 ，记 AR 的斜率为 k ，FQ 的斜率为 k ，则 k =

121

所以 AR∥FQ ；

a - b   a - b   1  -ab

=       =  =    = -b = k ，

2

（Ⅱ）设 l 与 x 轴的交点为 D（ x ,0） ，则 S

1

∆ABF =

1          1         1          a - b

b - a FD =  b - a x -  ， S

1

11a - b

22211

不垂直时，由 k

AB

= k

DE

y           a + b

a + b  x - 1          2

21.【答案】（Ⅰ） f  （ x） = -2a sin 2 x - （a - 1）sin x ；

直时， E 与 D 重合，所以，所求轨迹方程为 y 2 = x - 1 ．

【考点】抛物线，轨迹方程

'

0 < a < 1 时，将 f （ x） 变形为 f （ x） = 2a cos2 x + （a - 1）cos x - 1，令 gt（） = at

2

+ -t -  ，则 A 是 | g （t ） |

在 [-1,1]上的最大值， g （- 1） = a ， g 

（1） = 3a - 2 ，且当 t =

1 - a

4a

时， g （t） 取得极小值，极小值为

⎛ 1 - a ⎫（a - 1）2a 2 + 6a + 11 - a11

⎝ 4a ⎭4a35

1

5

11 - a

54a

⎛ 1 - a ⎫⎛ 1 - a ⎫a2 + 6a + 1

⎝ 4a ⎭⎝ 4a ⎭8a

⎧1

⎪

⎪

 < a < 1

⎪

⎪3a - 2, a ≥ 1

⎪

⎩

（Ⅲ）由（Ⅰ）得 | f '（ x） |=| -2a sin 2 x - （a - 1）sin x |≤ 2a + | a - 1| ，

，

当 0 < a ≤

1

5

1             a  1  3

时， | f '（ x） |≤ 1 + a ≤ 2 - 4a < 2（2 - 3a） = 2 A ，当 < a < 1 时， A =  +  + ≥ 1 ，

5             8  8a  4

所以 | f '（ x） |≤ 1 + a < 2 A ，当 a ≥ 1 时， | f '（ x） |≤ 3a - 1 ≤ 6a - 4 = 2 A ，所以 | f '（ x） |≤ 2 A ．

【考点】导函数讨论单调性，不等式证明

22.【答案】 Ⅰ）连结 PB ， BC ，则 ∠BFD =∠ PBA +∠ BPD ，∠PCD = ∠PCB + ∠BCD ，因为 AP = BP ，

所 以 ∠P B A= ∠ P ， 又 ∠B P D= ∠ B C， 所 以 ∠B F D= ∠ P C， 又 ∠PFD + ∠BFD = 180，

∠PFB = 2∠PCD ，所以 3∠PCD = 180 ，因此 ∠PCD = 60 ；

（Ⅱ）因为 ∠PCD = ∠BFD ，所以 ∠PCD + ∠EFD = 180 ，由此知 C ， D ， F ， E 四点共圆，其圆心既在

CE 的垂直平分线上，又在 DF 的垂直平分线上，故 G 就是过 C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以 G

在 CD 的垂直平分线上，因此 OG ⊥ CD ．

【考点】几何证明

x2

12

（Ⅱ）由题