《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6数列与极限.docx

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高校自主招生考试数学真题分类解析之高校自主招生考试数学真题分类解析之6数列与极限数列与极限专题之6、数列与极限一、选择题。

1（2009年复旦大学）设数列an,bn满足bn=anan1,n=1,2,3,如果a0=0,a1=1,且bn是公比为2的等比数列,又设Sn=a1+a2+an,A.0B.C.1D.22（2009年复旦大学）已知x2（tan+cot）x+1=0（027B.12k27C.12k=27D.其他条件5（2011年复旦大学）设n为一个正整数,记则P（n）是n的一个多项式.下面结论中正确的是6（2011年复旦大学）A.0a+b10B.0a+b0D.a+b107（2011年复旦大学）A.数列xn是单调增数列B.数列xn是单调减数列C.数列xn或是单调增数列,或是单调减数列D.数列xn既非单调增数列,也非单调减数列8（2012复旦大学）二、填空题。

9（2009年华中科技大学）.10（2012年清华大学等七校联考）.三、解答题。

11（2009年华南理工大学）已知a2+a1=0,b2+b1=0,a0,所以12k27,选A.5.D【解析】首先要对式子P（n）=k4进行化简,得到一个有确定项数的表达式,再去分析各项的系数特点.6.B【解析】由于a,b是不相等的正数,且a,b的大小对数列的极限值有影响,所以可对a,b的大小9.ln2【解析】10.lg3【解析】an=lg=lg（n2+3n+2）lgn（n+3）=lg（n+1）lgnlg（n+3）lg（n+2）,所以Sn=a1+a2+an=lg（n+1）lgn+lgnlg（n1）+（lg2lg1）lg（n+3）lg（n+2）+lg（n+2）lg（n+1）+（lg4lg3）=lg（n+1）lg1lg（n+3）lg3=lg+lg3,所以Sn=lg3+lg=lg3.11.12.13.

（1）若能从B中取出无限个数组成等差数列am,并设公差为d.则am=a1+（m1）d,而nd时,n!

+n,（n+1）!

+（n+1）,（n+2）!

+（n+2）,被d除,其余数分别与n,n+1,n+2,被d除的余数相同,而这些余数应该是逐一递增的,取得d1后,又以周期性的形式出现,所以存在n0,使n0!

+n0被d除与am被d除的余数相同.这就说明:

n0!

+n0是等差数列am中的项,而n0!

+n0A,故n0!

+n0B.于是,矛盾就产生了,故假设不成立,即要证明的结论成立.

（2）能从B中取出无限个数组成等比数列.例如bm=5m（mN*）.由于n!

+n=n（n1）!

+1,并且当n5时,5不能整除（n1）!

+1,故5mA,因此,5mB.故数列bm是从B中取出无限个数组成的等比数列.14.

（1）当n=1时,a1=11,2.假设当n=k（kN*）时,1ak2成立.则当n=k+1时,ak+1=1+,而1ak2,故1.ak+1=1+,21,2,即当n=k+1时,1ak+12.综上,1an2（nN*）.

（2），而由an=1+（n2）及1an2（nN*）知,anan1=an1+12,3,故,（n2,nN*）,所以原式得证.15.如图所示,16.

（1）由2an+2=an+1+an得2（an+2an+1）=（an+1an）.bn=an+1an,则bn+1=bn,bn是首项为ba,公比为的等比数列.

（2）由

（1）知,bn=（）n1b1,即an+1an=（）n1（ba）,a2a1=（）11（ba）,a3a2=（）21（ba）,an+1an=（）n1（ba）,以上各式相加得:

an+1a1=（ba）,an+1=a+（ba）1（）n,即an=a+（ba）1（）n1,a1+a2+an=na+（ba）n=na+（ba）n（ba）+（ba）（）n.（a1+a2+an）=4,解得.17.这里必要性是显然的,下面证明充分性,即满足性质P的2n+1个正整数构成常数列.可用反证法证明:

若a1,a2,a2n+1不全相等,并且它们从小到大的排列为:

a1a2a2na2n+1,而且在ai+1ai0中,最小者为aa.设S=a1+a2+a2n+1,若S为奇数,则由性质P知,每一个ai均为奇数;若S为偶数,则每一个ai又均为偶数.当ai均为奇数时,a11,a21,a31,a2n+11也具有性质P;当ai均为偶数时,也具有性质P.从而可知,aa一定是偶数.当最小者aa=2时,我们有:

是n个奇偶性相同的正整数之和,也是n个奇偶性相同的正整数之和,所以它们的差:

=是偶数,而另一方面,由于aa=2,故=1,从而产生了矛盾.故正整数数列a1,a2,a2n+1为常数列.而当最小者aa=2k（k1,kN）时,我们对数列ai应用与的变换,有限次后,就能得到数列bi（bi为正整数）,而这个数列满足性质P,并且bb=2.这样bi为常数列,从而正整数数列a1,a2,a2n+1亦为常数列.18.19.三个质数组成的公差为8的等差数列只有一个,即:

3,11,19.证明如下:

当第一个质数为2时,则等差数列为2,10,18,不符合题意;当第一个质数大于或等于3时,设第一个质数分别为:

m=3k,n=3k+1,p=3k+2,且kN*.则分别有:

3k,3k+8,3k+16;3k+1,3k+9,3k+17;3k+2,3k+10,3k+18.对于,由于3k为质数,故k=1.此时,这三个数为3,11,19;对于,由于3k+9=3（k+3）不是质数,此种情况不会出现;对于,由于3k+18=3（k+6）不是质数,此种情况不会出现.因此,所求的等差数列仅有:

3,11,19.20.21.22.4125=16,2513=12,16和12的最大公因子是4,此等差数列的公差一定是4的因子,设公差为d,则nd=4,n为正整数,而2009=41+1968=41+4492=41+492nd,故2009为其中一项.23.24.