匀变速直线运动规律的应用2.docx
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匀变速直线运动规律的应用2
学科：
物理
教学内容：
匀变速直线运动规律的应用
【学习目标】
理解、应用
1．会由匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at和位移公式:
s＝v0t＋
at2，导出位移和速度的关系式：
vt2－v02＝2as．
2．掌握匀变速直线运动的几个重要结论．
（1）某段时间中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度：
（2）以加速度a做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量：
Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝sN－sN－1＝aT2．
（3）初速度为零的匀加速直线运动的四个比例关系：
（T为时间单位）
①1T末、2T末、3T末…的速度比:
v1∶v2∶v3∶…vn＝1∶2∶3∶…n
②前1T内、前2T内、前3T内…的位移比:
s1∶s2∶s3∶…＝12∶22∶32∶…
③第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移比：
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ…＝1∶3∶5…
④从计时开始起，物体经过连续相等位移所用的时间之比为：
t1∶t2∶t3∶…＝1∶（
－1）∶（
）∶…
3．会应用匀变速直线运动规律进行分析和计算，掌握追及、避碰问题的处理方法．
【学习障碍】
1．怎样解决匀变速直线运动的相关问题．
2．如何解决追及、避碰类运动学问题．
【学习策略】
障碍突破1：
程序法应用匀变速直线运动规律解决具体问题
解决匀变速直线运动问题的一般程序：
1．弄清题意，建立一幅物体运动的图景，为了直观形象，应尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量．
2．弄清研究对象，明确哪些量是已知的，哪些量未知，据公式特点恰当选用公式．
由于反映匀变速直线运动规律的公式多，因此初学者往往拿到题目后，面对这么多公式感到无从下手，不知选用哪一个公式，实际上对一个具体的问题往往含有不同的几种解法，不同解法繁简程度不一样．具体问题中应对物理过程进行具体分析，明确运动性质，然后灵活地选择相应的公式．
通常有以下几种情况：
（1）利用匀变速直线运动的两个推论和初速度为零的匀加速直线运动的特点，往往能使解题过程简化．例如，对初速度为零的匀加速直线运动，首先考虑它的四个比例关系式；对于末速度为零的匀减速直线运动，可先用逆向转换，把它看成反方向的初速度为零的匀加速直线运动来处理．
（2）若题目中涉及不同的运动过程，则应重点寻找各段运动的速度、位移、时间等方面的关系．
（3）注意公式中涉及的物理量及题目中的已知量之间的对应关系，根据题目的已知条件中缺少的量去找不涉及该量的公式．例如：
若已知条件中缺少时间（且不要求时间），优先考虑vt2－v02＝2as，若题目中告诉某一段时间的位移则多考虑，
等，若知两段相邻的相等时间的位移，则优先考虑Δs＝aT2．
在学习中应加强一题多解训练，加强解题规律的理解，提高自己运用所学知识解决实际问题的能力，促进发散思维的发展．
3．列方程，求解，必要时要检验计算结果是否正确．
［例1］（1995年上海，二、3）物体沿一直线运动，在t时间内通过的路程为s．它在中间位置
s处的速度为v1,在中间时刻
t的速度为v2，则v1和v2的关系为
A．当物体做匀加速直线运动时，v1＞v2
B．当物体做匀减速直线运动时，v1＞v2
C．当物体做匀速直线运动时，v1＝v2
D．当物体做匀减速直线运动时，v1＜v2
解析：
因匀速直线运动的速度恒定，且由s＝vt知，
时刻的位移正是
s，即匀速直线运动的时间中点与位移中点对应物体的同一运动位置，可称为时间中点和位移中点是“重合”的．
匀变速直线运动的时间中点与位移中点并不“重合”，即对应物体的两个运动位置．可从以下三个角度进行分析．
1．定性分析：
当匀加速运动时，因速度一直均匀增大，故前
t时间内的位移小于后
t时间内的位移，即
t时刻在
s位置对应时刻的前边，就有v1＞v2；当匀减速直线运动时，由于速度一直不断减小，故前
t时间内的位移大于后
t时间内的位移．这就是说，
s位置对应的时刻在
t时刻之前，仍有v1＞v2．
2．定量分析：
设物体运动的初速度为v0，加速度为a，通过位移s的末速度为vt,将物体运动的位移分成相等的两段，
前半段：
v12＝v02＋2a
后半段：
vt2＝v12＋2a
以上两式联立得位移中点的瞬时速度为
v1＝
据匀变速直线运动的推论，时间中点的瞬时速度为：
v2＝
由于v0、vt均大于零，故由不等式性质知
＞
，即v1＞v2．此结论对匀加速或匀减速直线运动均成立．
3．图象分析：
做出匀加速与匀减速运动两种情况下的v－t图象如图2—7—1所示．
图2—7—1
图中t2为中间时刻，由几何知识知v2＝
，把v－t图线OP与时间轴所围成的直角梯形的面积分成面积相等的两个直角梯形．在v－t图线上找出对应的Q点（与中间位置对应）．即可看出：
不论匀加速，还是匀减速直线运动，都有v1＞v2．
综上分析，正确答案为A、B、C．
点评：
定性分析物理过程清晰，公式定量分析严密，图象分析直观方便．在学习中应注意三者的有机结合，灵活运用．
［同类变式］
如图2—7—2所示，一小滑块m从静止开始沿光滑斜面由A滑到C，经历的时间为t1，如果改由光滑曲面滑到C，则经历的时间为t2，关于t1与t2的大小关系：
t1______t2（填入“＞”“＜”“＝”或“不确定”）已知斜面斜率越大加速度越大．
图2—7—2
答案：
＞（提示：
图象分析）
［例2］火车刹车后7s停下来，设火车匀减速运动最后1s的位移是2m，则刹车过程中的位移是多少m?
图2—7—3
解析：
解法1：
火车的速度时间图象如图2—7—3所示，它与时间轴所转围的面积就是这段时间内的位移，由图象知，阴影部分的三角形与大三角形相似，所以它们所围的面积之比等于它们对应边的平方之比，故有：
＝49
所以s＝49·s7＝98m．
解法2：
匀减速运动的末速度为零，可以看做初速度为零的匀加速运动的反演（即逆运动），那么最后1s内，即相当于初速度为零的匀加速运动第1s．而第1s内的平均速度，也就是第0．5s的瞬时速度，所以有：
＝v0．5＝a·t0．5
所以加速度：
a＝
m/s2＝4m/s2
7s内位移：
s＝
at2＝
×4×72m＝98m
解法3：
由解法2可知，v0．5＝2m/s，
质点在3．5s时的瞬时速度也就是7s内的平均速度，初速度为零的匀加速运动的速度为:
v＝at
所以
＝7
所以v3．5＝7·v0．5＝7×2m/s＝14m/s
s＝
·t＝v3．5·t＝14×7m＝98m
点评：
三种解法的实质均是将减速运动，若末速度为零，可看做初速度为零的匀加速运动的反演．这样处理就将初速度为零的匀加速运动的规律用上，使问题处理变得较为简捷．
［同类变式］试求［例2］中火车在刹车的第一秒的位移．
答案：
26m
［例3］如图2—7—4所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D是其轨道上的四个点，测得AB＝2m，BC＝3m，CD＝4m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，求OA间的距离．
解析：
由Δs＝sBC－sAB＝sCD－sBC＝1＝aT2，可得：
a＝
m/s2因为B点时刻是AC段的中间时刻，由一段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均
速度可得vB＝
m/s＝
m/s
因为v0＝0，由公式vt2－v02＝2as可得：
＝3.125m
所以OA间距离：
sOA＝sOB－sAB＝（3．125－2）m＝1.125m
点评：
凡在题目中给出连续相等的时间间隔内的位移，一般情况下优先考虑Δs＝aT2．
［同类变式］为了测定某辆轿车在平直路上启动时的加速度（轿车启动时的运动可近似看做匀加速运动）．某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片,如图2—7—5,如果拍摄时每隔2s曝光一次,轿车车身总长为4.5m,那么这辆轿车的加速度约为
图2—7—5
A．1m/s2
B．2m/s2
C．3m/s2
D．4m/s2
答案：
B（提示Δs＝at2,且t＝2s,Δs＝8.25m）
障碍突破2：
解析法和图象法解决追及、避碰问题
物体的追及与避碰问题，在现实生活中较多，是高考试题的热点，是考查质点运动的较高能力要求．所谓的追及、避碰指运动学中研究同一直线上两物体的运动时常常涉及的两类问题，也是匀变速直线运动规律在实际问题中的具体应用．
1．追及、避碰的条件
追及的条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，在追及问题中常有以下三种情况：
（1）匀加速直线运动的物体甲追赶同方向的匀速直线运动的物体乙．这种情形，甲一定能追上乙，在追上前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲＝v乙；
（2）匀速直线运动的物体甲追赶同方向运动的匀加速的物体乙．这种情况存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体速度相等，即v甲＝v乙．此条件给出了一种判断此种追赶情形能否追上的方法，即通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来判断，具体方法是：
假设在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v甲＞v乙，则能追上，若v甲＜v乙，则追不上．如果始终追不上，两物体速度相等时，两物体间距最小．
（3）匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，同
（2）中情形．
2．解决追及、避碰问题的一般程序
（1）分别对两物体运动过程进行分析，并在同一个图中画出物体的运动示意图．在图中标明相应的已知量．
（2）根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程（或速度方程）．注意要将两物体运动时间的关系体现在方程中．
（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程．
（4）联立方程求解．
3．分析追及避碰问题应注意的几个问题
（1）抓住“一个条件，两个关系”．一个条件是两物体速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．两个关系是指时间关系和位移关系．其中通过画运动示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处．
（2）仔细审题，“抓字眼”．抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件．如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
（3）巧选参照系．若两物体中有一物体做匀速直线运动，则选择一个合适的物体为参照系，使两物体的运动转化成一个物体的运动，从而使题目得到简化．
（4）注意运动图象的运用．
［例4］甲、乙两车从同一地点同向行驶，但是甲车做匀速直线运动，其速度为v＝20m/s，乙车在甲车行驶至距离出发地200m处时开始以初速度为零，加速度为a＝2m/s2追甲．求乙车追上甲车前两车间的最大距离．
图2—7—6
解析：
解法1：
乙车追甲车，开始乙车初速度为零，做加速运动，甲车在前以恒定速度做匀速运动，在开始一段时间里，甲车速度较乙车速度大，同样的时间里甲车通过的位移大，两车间距离必随时间延长而增大．当乙车速度大于甲车速度时，则两车间距离将逐渐变小，所以当两车速度相同时距离最大．设乙出发到两车速度相等，所用时间为t1，则
t1＝
s＝10s
设两车间最大距离为
sm＝s0＋s甲－s乙，
sm＝s0＋v甲·t1－
a·t12
＝200＋20×10－
×2×102
＝300（m）
解法2:
设乙车经时间t时，甲、乙两车有最大距离，据题意有：
sm＝s0＋vt－
a·t2＝200＋20t－
×2×t2
由数学知识知，sm有最大值
sm＝－t2＋20t＋200＝－（t－10）2＋300
当t＝10s,sm＝300m．
解法3：
以甲车为参照物，乙车相对甲车做初速度为v0＝20m/s（方向与甲车原来方向相反）的减速运动，加速度与乙车初速度方向相反，两车相距
Δs＝s0＋s2＝s0＋v0t－
at2＝200＋20×t－
×2t2
Δs何时最大，可由数学知识确定．
sm＝200＋20t－t2＝－（t－10）2＋300
所以当t＝10s时，sm＝300m．
图2—7—7
解法4：
做出甲、乙两车的v－t图象，如图2—7—7．据图线与横轴所围面积的大小可知物体位移的大小．在0~t1这段时间内，甲车的“面积”大于乙车的“面积”，即同样时间内，甲车通过的位移大于乙车的位移，所以0~t1这段时间两车间的距离一直是增大的，图中的阴影线可表示两车间的距离．
当t＞t1，由图中看出在同样时间内乙车的位移大于甲车的位移，所以当t1以后的时间内两车间的距离是逐渐缩小的，即t1时刻v甲＝v乙，两车间距离最大，0—t1两车间增加的距离Δs＝
·v·t1＝
·v·
＝
m＝100m原来两车相距为：
s0＝200m
两车间最大距离：
s＝s0＋Δs＝200m＋100m＝300m
点评：
（1）分析运动过程得出“隐含条件”速度相等距离最大，是解决追及问题的关键．
（2）运动学的追击、避碰问题有v－t图象，求解各个物理量间的关系更形象、直观．
［例5］甲、乙两车同时从同一地点出发，甲以16m/s的初速度、2m/s2的加速度做匀减速直线运动；乙以4m/s的初速度、1m/s2的加速度和甲车同向做匀加速直线运动．求两车再次相遇前两车的最大距离和两车相撞时运动的时间．
解析：
解法1：
设甲车的初速度为v甲,乙车的初速度是v乙，甲、乙两车加速度的大小分别为a甲和a乙，两车速度相同时的运动时间为t，由两车速度相等，有v甲－a甲·t＝v乙＋a乙·t．
将v甲＝16m/s，v乙＝4m/s，a甲＝2m/s2，a乙＝1m/s2,代入上式，解得t＝4s，此时两车相距
Δs＝s甲－s乙＝（v甲t－
a甲t2）－（v乙t＋
a乙t2）
＝（16×4－
×2×42）m－（4×4＋
×1×42）m＝24m
设乙车追上甲车的运动时间为t′，由两车位移相等（s甲′＝s乙′），有
v甲t′－
a甲t′2＝v乙t′－
a乙t′2
代入已知数据解得t′＝8s或t′＝0（不合题意，舍去）．两车再次相遇前最大距离为24m，再次相遇时间为8s．
解法2：
据题意，甲车的位移
s甲＝v甲t－
a甲t2，
乙车的位移：
s乙＝v乙t＋
a乙t2
则两车之间的距离为：
Δs＝s甲－s乙＝（v甲t－
a甲t2）－（v乙t＋
a乙t2）
＝（v甲－v乙）t－
（a甲＋a乙）t2
＝（16－4）t－
（2＋1）t2
＝12t－
t2
＝24－
（t－4）2
当t＝4s时，Δs有最大值．
smax＝24m
当s甲＝s乙，即当Δs＝0时，解得t＝8s，或t＝0（不合题意）
点评：
（1）本题属于追及问题，若能做出甲、乙两车速度图象（如图2—7—8），易知当t＝4s时，两车速度相同，两车之间距离最远（图中划斜线的三角形面积表示Δs）,其值为24m，当t＝8s时两车再次相遇，此时它们的位移相等．
（2）在平时学习中，从最基本的物理现象、物理过程入手，从分析简单的物理问题开始，真正掌握分析问题、解决问题的基本方法，养成良好的具体问题具体分析的学习习惯．
图2—7—8
［同类变式］
由于扳道工的失误，有两列同样的客车各以72km/h的速度在同一条铁路线上面对面向对方驶去．已知这种列车刹车时能产生的最大加速度为－0．4m/s2，为了避免一场车祸的发生，双方司机至少要在两列车相距多远时同时刹车？
答案：
1000m
实验：
研究匀变速直线运动
研究物体做匀变速直线运动最基本的是测出位移和时间的关系．本实验是用纸带上的点（打点计时器打上去的）记录了物体运动的位移和时间．
如图2—7—9所示，s1，s2，s3…，sn为相邻计数点间的距离，Δs是两个连续相等的时间里的位移之差，即Δs1＝s2－s1,Δs2＝s3－s2…,T是两相邻计数点间的时间间隔且T＝0.02ns（n为两计数点间的间隔数），由运动学公式：
图2—7—9
s1＝v0T＋
aT2①
s2＝v1T＋
aT2②
v1＝v0＋aT③
得：
Δs＝s2－s1＝aT2,T是恒量，当a为恒量时，Δs也为恒量，即做匀变速直线运动的物体的Δs必为恒量，它是判断物体是否做匀变速直线运动的必要条件．
1．由纸带求物体运动加速度的方法
（1）逐差法：
根据：
s4－s1＝（s4－s3）＋（s3－s2）＋（s2－s1）＝3aT2
同理有：
s5－s2＝s6－s3＝…＝3aT2
求出a1＝
…
再算出a1,a2…的平均值．
（2）图象法：
由公式①②③可得vn＝
即v1＝
，v2＝
…由公式求得物体在打第1点、2点…第n点时的瞬时速度（注：
1点、2点…为计数点），再做出v－t图象，图线的斜率即为该物体做匀变速直线运动的加速度．
2．注意事项
（1）要在钩码（或沙桶）落地处放置软垫或沙箱，防止撞坏钩码．
（2）要在小车到达滑轮前用手按住它，防止车掉在地上或撞坏滑轮．
（3）加速度应适当大一些，大小以能在约50cm的纸带上清楚地取出7~8个计数点为宜．
（4）纸带运动时不要与打点计时器的限位孔摩擦．
3．误差的来源及分析
本实验参与计算的量有s和T，因此误差来源于s和T．
按逐差法处理数据求加速度的平均值，其好处是各个数据都得到了利用，从而达到正、负偶然误差充分互相抵消的作用．如：
a＝
＝
可使结果更接近于真实值．若用a＝
计算a值，一般说来误差较大，它只是粗测匀加速直线运动加速度的一种方法．
［例1］在“测定匀变速直线运动的加速度”实验中，对于减小误差来说，下列方法中有益的是
A．选取记数点，把每打五个点的时间间隔做为一个时间单位
B．使小车运动的加速度尽量小些
C．舍去纸带上密集的点，只利用点迹清晰点间间隔适当的那一部分进行测量、计算
D．选用各处平整程度、光滑程度相同的长木板做实验
解析：
选用记数点可以使用于测量和计算的相邻点间的间隔增大，在用直尺测量这些点间的间隔时，在一次测量绝对误差基本相同的情况下，相对误差较小．故A选项正确．在实验中，如果小车的加速度过小，打出的点子很密，长度测量的相对误差较大，测量准确度会降低，因此小车的加速度略大一些好．故B错．为了减小长度测量的相对误差，舍去纸带上过于密集，甚至分辨不清的点是必要的．故C正确．如果实验中所用长木板各部分的平整程度和光滑程度不同，小车将做非匀变速运动，计算出来的值，其误差会很大，因此在实验前对所用木板进行检查、挑选是必要的．故D正确．正确答案为ACD．
［例2］利用打点计时器测定匀加速直线运动的小车的加速度，如图2—7—10给出了该次实验中，从0点开始，每5个点取一个计数点的纸带，其中0，1，2，3，4，5，6都为记数点．测得:
s1＝1.40cm,s2＝1.90cm,s3＝2.38cm,s4＝2.88cm,s5＝3.39cm，s6＝3.87cm．
图2—7—10
（1）在计时器打出点1，2，3，4，5时，小车的速度分别为:
v1＝______cm/s,v2＝______cm/s,,v3＝______cm/s,v4＝______cm/s,v5＝______cm/s．
（2）作出速度—时间图象，并由图象求出小车的加速度a＝______cm/s2．
解析：
（1）v1＝
cm/s＝16.50cm/s，同理：
v2＝
，v3＝
…，代入数据得
v2＝21.40cm/sv3＝26.30cm/s
v4＝31.35cm/sv5＝36.30cm/s
（2）图象如图2—7—11所示，在作出图象后，取A和B两点计算加速度．vA＝12.00cm/s,tA＝0,vB＝42.20cm/s,tB＝0.6s则加速度：
a＝
cm/s2
＝50.33cm/s2
【同步达纲练习】
1．某物体做匀加速直线运动，第10s内位移比第3s内位移多7m,求其运动的加速度．
2．一物体做匀减速运动，初速度为v0＝12m/s，加速度大小为a＝2m/s2，该物体在某1s内的位移为6m，此后它还能运动多远才停下?
3．一辆汽车刹车后做匀减速运动，从刹车开始计时，2s末速度vt＝6m/s,从2.5s到3.5s这1s内汽车的位移s＝4m，求汽车刹车后6s内的位移s′是多少？
4．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：
（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？
此时距离多大？
（2）什么时候汽车追上自行车？
此时汽车的速度是多大？
5．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，在某时刻，汽车离汽车站已有1000m，此时有一摩托车正从汽车站出发去追赶汽车，已知摩托车的最大速度可达30m/s，要求在2min内赶上汽车，则摩托车至少必须用多大的加速度加速才行？
6．羊从静止开始奔跑，经过50m的距离能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持这个速度4.0s，设猎豹距离羚羊xm时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：
（1）猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊,x值应在什么范围？
（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x值应在什么范围？
7．一个小球沿斜面向下运动，用每间隔1/10s曝光一次的频闪相机拍摄不同时刻小球位置的照片如图2—7—12，即照片上出现的相邻两个小球的像间时间间隔为1/10s，测得小球在几个连续相等时间内位移（数据见表），则
（1）小球在相邻的相等时间内的位移差______（填“相等”或“不相等”），小球的运动性质属______直线运动．
（2）有甲、乙两同学计算小球加速度的方法如下：
甲同学：
a1＝（s2－s1）/T2,a2＝（s3－s2）/T2,a3＝（s4－s3）/T2,
＝（a1＋a2＋a3）/3
乙同学:
a1＝（s3－s1）/2T2,a2＝（s4－s2）/2T2,
＝a1＋a2/2
你认为甲、乙中哪个同学计算方法正确？
______，加速度值为_________．
s1（cm）
s2（cm）
s3（cm）
s4（cm）
8．20
9．30
10．40
11．50
8．如图2—7—13中甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50Hz．
图2—7—13
（1）这两图相比较，哪个图所示的装置较好？
简单说明为什么？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
（2）上图中的丙图是采用较好的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中O为打出的第一个点，标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5…．经测量，第15至第17点间的距离为11．33cm，第1至第16点间距离为41．14cm，则打下第16个点时，重物下落的速度大小为______m/s，测出的重力加速度值为g＝______m/s2．（要求保留三位有效数字）
参考答案
【同步达纲练习】
1．解析：
设物体的初速度为v0，第ns内的位移为Δsn,则
Δ
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