最新度苏科版八年级数学上册《线段角的轴对称性》同步练习解析版精品试题.docx
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最新度苏科版八年级数学上册《线段角的轴对称性》同步练习解析版精品试题
2.4线段、角的轴对称性
一、选择题
1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=ADB．AC平分∠BCDC．AB=BDD．△BEC≌△DEC
2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？
（ ）
A．两人皆正确B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48°B．36°C．30°D．24°
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）
A．80°B．60°C．50°D．40°
5．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=2，AC=4，则BD=（ ）
A．
B．2C．
D．3
7．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点
8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC=6，AC=5，则△ACE的周长是（ ）
A．14B．13C．12D．11
9．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠AB．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．70°B．80°C．40°D．30°
12．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（ ）
A．4B．4
C．8D．8
14．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？
（ ）
A．24°B．30°C．32°D．36°
二、填空题
15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB=______．
16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为______．
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=______°．
18．如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=______°．
19．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=______．
20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=______．
21．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为______cm．
22．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为______．
23．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为______．
2.4线段、角的轴对称性
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=ADB．AC平分∠BCDC．AB=BDD．△BEC≌△DEC
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．
【解答】解：
∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BCD，EB=DE，
∴∠BCE=∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），
故选：
C．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？
（ ）
A．两人皆正确B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
【考点】线段垂直平分线的性质；圆的认识；作图—基本作图．
【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．
【解答】解：
甲：
如图1，∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠ABC，
∴甲正确；
乙：
如图2，∵AB=BP，
∴∠BAP=∠APB，
∵∠APC=∠BAP+∠B，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙错误；
故选C．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键．
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48°B．36°C．30°D．24°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．
【解答】解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选：
A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）
A．80°B．60°C．50°D．40°
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．
【解答】解：
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
故选D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等角是解答此题的关键．
5．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
【解答】解：
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=2，AC=4，则BD=（ ）
A．
B．2C．
D．3
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【分析】设BD=x，先根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD=x，则CD=4﹣x，然后在△BCD中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得BD的长．
【解答】解：
设BD=x，
∵AB垂直平分线交AC于D，
∴BD=AD=x，
∵AC=4，
∴CD=AC﹣AD=4﹣x，
在△BCD中，根据勾股定理得x2=22+（4﹣x）2，
解得x=
．
故选C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，同时考查了勾股定理．
7．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】应用题．
【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【解答】解：
∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选A．
【点评】此题考查了三角形的外心的概念和性质．熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是解题的关键．
8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC=6，AC=5，则△ACE的周长是（ ）
A．14B．13C．12D．11
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可．
【解答】解：
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE
=AC+CE+BE
=AC+BC
=5+6
=11．
故选D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：
垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠AB．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割．
【分析】求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2=BC•AC，求出AD=BC，即可判断D．
【解答】解：
A、∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确，
B、∵DO是AB垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，
∴△DBC∽△CAB，
∴
=
，
∴BC2=CD•AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴BC=BD，
∵AD=BD，
∴AD=BC，
∴AD2=CD•AC，
即点D是AC的黄金分割点，正确，
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN=BC﹣BM﹣CN求出即可．
【解答】解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，
∴AB=
=2
cm=AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE=
AB=
cm
同理CF=
cm，
∴BM=
=2cm，
同理CN=2cm，
∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm，
故选C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．70°B．80°C．40°D．30°
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【解答】解：
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=
=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．
故选：
D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．
【解答】解：
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7（cm），
∴AN+NC+BC=7（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7（cm），
又∵AC=4cm，
∴BC=7﹣4=3（cm）．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（ ）
A．4B．4
C．8D．8
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【解答】解：
如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠A=30°．
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=2，
∴CD=AD=4，
∴AB=2+4=6，
在△BCD中，由勾股定理得：
CB=2
，
在△ABC中，由勾股定理得：
AC=
=4
，
故选：
B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
14．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？
（ ）
A．24°B．30°C．32°D．36°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．
【解答】解：
∵直线M为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠CBP．
∵直线L为BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，
即3∠ABP+60°+24°=180°，
解得∠ABP=32°．
故选：
C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．
二、填空题
15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= 7 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．
【解答】解：
∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，
∴PB=PA=7，
故答案为：
7．
【点评】本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为 36° ．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而可得∠ABE=∠A=36°，然后可计算出∠EBC的度数．
【解答】解：
∵等腰△ABC的底角为72°，
∴∠A=180°﹣72°×2=36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°．
故答案为：
36°．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= 15 °．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠A=∠ABD，
∵∠ADE=40°，
∴∠A=90°﹣40°=50°，
∴∠ABD=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=
（180°﹣∠A）=65°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，
故答案为：
15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．
18．如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= 87 °．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据DE垂直平分BC，求证∠DBE=∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．
【解答】解：
∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠DBE=
∠ABC=
（180°﹣31°﹣∠A）=
（149°﹣∠A），
∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴∠DBE=∠C，
∴∠DBE=
∠ABC=
（149°﹣∠A）=∠C=31°，
∴∠A=87°．
故答案为：
87．
【点评】此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，关键是根据角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点进行分析．
19．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=
．
【考点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：
CE，即为cosC．
【解答】解：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
∴CD=BD，
∵BE=9，BC=12，
∴CD=6，CE=9，
∴cosC=
=
=
，
故答案为
．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= 6 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：
∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，
∴PB=PA=6．
故答案为：
6．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
21．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 6 cm．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】数形结合．
【分析】根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．
【解答】解：
∵l垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．
故答案为：
6．
【点
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