近世代数杨子胥第二版课后习题答案.docx
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近世代数杨子胥第二版课后习题答案
近世代数题解
第一章基本观点
§1.1
1.
4.
5.
近世代数题解§1.2
2.
3.
近世代数题解§1.3
1.解1）与3）是代数运算，2）不是代数运算．
2.解这实质上就是M中n个元素可重复的全摆列数nn．
3.解比如AB＝E与AB＝AB—A—B．
4.
5.
近世代数题解§1.4
1.
2.
3.解1）略2）比如规定
4．
5．略
近世代数题解§1.5
1.解1）是自同态映照，但非满射和单射；2）是双射，但不是自同构映照3）是自同态映照，但非满射和单射．4）是双射，但非自同构映照．
2.略
3.
4.
5.
§1.6
1.
2.解1）不是．因为不知足对称性；2）不是．因为不知足传达性；3）是等价关系；4）是等价关系．
3.解3）每个元素是一个类，4）整个实数集作成一个类．
4.
则易知此关系不知足反身性，可是却知足对称性和传达性（若把Q换成实数域的任一子域均可；
实质上这个例子只有数0和0切合关系，其余任何二有理数都不切合关系）．
5.
6.证1）略2）
7.
8.
9.
10.
11.
12.
第二章群
§2.1群的定义和初步性质
一、主要内容
1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子．
2．群的初步性质
1）群中左单位元也是右单位元且唯一；
2）群中每个元素的左逆元也是右逆元且唯一：
3）
半群
G是群
方程ax
b与ya
b在G中有解
（
a
b∈G
．
=
=
）
4）
有限半群作成群
两个消去律成立．
二、释疑解难
有资料指出，群有50多种不一样的定义方法．但最常用的有以下四种：
1）教材中的定义方法．简称为“左左定义法”；
2）把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元（其余不动〕．简称为“右右定义法”；
3）不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”；
4）半群
G再加上方程ax
=
b与yab在G中有解
（
a
b∈G．此简称为“方程定义法”．
=
）
“左左定义法”与“右右定义法”无甚差别，不再多说．
“双边定义法”弊端是定义中条
件不完整独立，并且在验算一个群的实例时一定考证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
（固然这层手续一般是比较简单的
）；长处是：
①不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元
也是右逆元；②从群定义自己的条件直接表现了左与右的对称性．
以实行“除法运算”，即“乘法”的逆运算．所以，群的‘方程定义法”直接表现了在群中能够实行“乘法与除法”运算．于是简言之，能够实行乘法与除法运算的半群就是群．
为了宽阔视线，再给出以下群的另必定义．
定义一个半群G假如知足以下条件则称为一个群：
对G中随意元素a，在G中都存在元素
a1，对G中随意元素b都有
a1（ab）=（ba）a1=b．
这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习．
2．在群的“方程定义法”中，要求方程
axb与ya
b都有解缺一不行．即此中一个方程
=
=
有解其实不可以保证另一个方程也有解．
4．对于联合律
若代数运算不是一般的运算（比如，数的一般加法与乘法，多项式的一般加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的一般加法或乘法），则在一般状况下，验算联合律能否成立比较麻烦．所以在代数系统有限的状况下，有许多依据乘法表来研究查验联合律能否成立的方法．但不论哪一种方法，一般都不是太简单．
5．对于消去律．
依据教材推论2，对有限半群能否作成群只用看消去律能否成立．而消去律能否成立，从乘法表很简单看出，因为只需乘法表中每行和每列中的元素互异即可．
6．在群定义中能否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？
答不可以够，比如上边例2就能够说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为e1．但G其实不是群．
7．群与对称的关系．
1）世界万物，形态万千．但此中有无数大批事物部拥有这样或那样的对称性．而在这些拥有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常有的．
由群的定义自己可知，从代数运算到联合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均表现出左右对称的实质属性．
2）几何对称．
设有某一几何图形，假如我们已经找到了它的所有对称变换（即平时的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体对于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完整对称
群．这个图形的对称性和它的完整对称群是亲密有关的．凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即达成这类变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起组成该图形的完整对称群．反之，假如一个图形存在着非平庸的对称变换，则该图形就是对称图
形．不是对称的图形，就不可以有非恒等的对称变换．明显，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多．也就是说它的完整对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数亲密有关．所以；这就启迪人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称．所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论．
明显，每个n元多项式都有一个确立的n次置换群：
比如n元多项式
例6任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群．
很明显，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强．反之亦然．所以，我们往常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式．
三、习题2．1解答
1.略
2.
3.
4.
5.
6.
§2.2群中元素的阶
一、主要内容
1．群中元素的阶的定义及例子．周期群、无扭群与混淆群的定义及例子．特别，有限群必为周期群，但反之不行立．
2．在群中若a＝n，则
4．若G是互换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因子．二、释疑解难
在群中，由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶，这由教材中所举的各样例子已经说
了然这一点．对此应十分注意．可是，在必定条件下能够由阶a与b决定阶ab，这就是教材
中朗定理4：
4．一个群中能否有最大阶元?
有限群中元素的阶均有限，自然有最大阶元．无穷群中若元素的阶有无穷的（如正有理数乘群或整数加群），则自然无最大阶元，若无穷群中所有元素的阶均有限（即无穷周期群），则可能无最大阶元，如教材中的例4：
下边再举两个（一个可换，另一个不行换）无穷群有最大阶元的例子．
5．利用元素的阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一．比如，利用元素的阶我们能够
把群分红三类，即周期群、无扭群与混淆群．而在周期群中又可分出p—群p是素数），进而有2—群、3—群、5—群等等．再由教材§3.9知，每个有限互换群（一种特别的周期群）都可唯一地分解为素幂阶循环p—群的直积，进而也可见研究p—群的重要意义．
三、习题2．2解答
1.
2.
3.
4.
5.
推回去即得．
6.
§2.3子群
一、主要内容
1．子群的定义和例子．特别是，特别线性群（队列式等于l的方阵）是一般线性群（队列式不等于零的方阵）的子群．
4．群的中心元和中心的定义．
二、释疑解难
１．对于真子群的定义．
教材把非平庸的子群叫做真子群．也有的书把非G的于群叫做群G的真子群．不一样的定义在议论子群时各有益弊．幸亏差别不大，看参照书时应予留神．
2．假如H与G是两个群，且HG，那么能不可以说H就是G的子群?
答：
不可以．因为子群一定是对原群的代数运算作成的群．比如，设G是有理数加群，而H
是正有理数乘群，两者都是群，且HG可是不可以说H是G的子群．
答：
不可以这样以为．举比以下．
例2设G是四元数群．则明显
是G的两个子群且易知
反之亦然．
三、习题2．3解答
1．证赂．
2．证必需性明显，下证充足性．
设子集H对群G的乘法关闭，则对H中随意元素a和随意正整数m都有am∈H．因为H中每个元素的阶都有限，设a＝n，则
3．
对非互换群一放不行立．比如，有理数域
Q上全体2阶可逆方阵作成的乘群中，易知
1
2
1
3
a
1
，b
1
0
0
的阶有限，都是
2，但易知其乘积
11
ab
01
的阶却无穷．即其全体有限阶元素对乘法不关闭，故不可以作成子群．
4．证由高等代数知，与所有n阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵，由此即得证．
5．证因为（m，n）＝1，故存在整数s，t使
ms十nt＝1．
由此可得
6．
7．
§2.4循环群
一、主要内容
1．生成系和循环群的定义．
2．循环群中元素的表示方法和生成元的状况．
3．循环群在同构意义下只有两类：
整数加群和n次单位根乘群，此中n＝1，2，3，．
4．循环群的子群的状况．
无穷循环群有无穷多个子群．n阶循环群a有T（n）（n的正出数个数）个子群，且对n的每
n
个正因数k，a有且仅有一个k阶子群ak．
二、释疑解难
1．我们说循环群是一类完整弄清楚了的群，主假如指以下三个方面：
1）循环群的元素表示形式和运算方法完整确立．其生成元的状况也完整清楚（无穷循环群有
两个生成元，n阶循环群a有（n）个生成元并且ak是生成元（kn）＝1）；
2）循环群的子群的状况完整清楚；
3）在同构意义下循环群只有两类：
一类是无穷循环群，都与整数加群同构；另一类是n（n＝1，2，）阶循环群，都与n次单位根乘群同构．
2．循环群不单是一类完整弄清楚了的群，并且是一类比较简单又与其余一些群类有宽泛联系的群类．比如由下一章§9可知，有限互换群可分解为一些素幂阶循环群的直积．更一般地，任何一个拥有有限生成系的互换群都可分解成循环群的直积．因为循环群已完整在我们掌握之中，所以这类群（拥有有限生成系的互换群）也是一类研究清楚了的群类．它在各样应用中有着特别重要的作用．比如在组合拓扑学中它就是一个主要的工具．三、习题§2.4解答
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
§2.5变换群
一、主要内容
1．变换群、双射变换群（特别是会合M上的对称群和n次对称群）和非双射变换群的定义及例子．
2．变换群是双射变换群的充要条件；双射变换群与抽象群的关系．
1）会合M上的变换群G是双射变换群G含有M的单或满）射变换；
2）任何一个群都同一个（双射）变换群同构．
3．有限集及无穷集上非双射变换群的例子（例2和例3）．
二、释疑解难
1．一般近世代数书中所说的“变换群”，都是由双射变换（对于变换乘法）所作成的群，即
本教材所说的“双射变换群”．而本教材所说的“变换群”则是由一个会合上的一些变换（不必定是双射变换）作成的群．经过教材§5定理2和推论1可知，实质上变换群可分红两类：
一类
是双射变换群（全由双射变换作成的群，即往常近世代数书中所说的“变换群”），另一类是非
双射变换群（全由非双射变换作成的群）．在学习本书时应留神这类差别．
2．本节教材定理2（若会合M上的变换群G含有M的单射或满射变换．则G必为M上的一个双射变换群，即G中的变换必所有是双射变换）比有些书上相应的定理（若会合M上由变换作成的
群G含有M的恒等变换，则G中的变换必全为双射变换）大为推行．因为后者要求G包括恒等变换（一个特别的双射变换），而前者仅要求G包括一个单（或满）射变换即可．所以，后音不过前者（本节教材定理2）的一个推论，一种很特别的状况．两对比较，差别较大．
这类差别也说明，M上的任何一个非双射变换群不单不可以包括恒等变换，并且连M的任何单射或满射变换也不可以包括．
此外，在这里趁便指出，会合M上的任何双射变换群G的单位元必是M的恒等变换．
．会合M上的全体变换作成的会合T
M，对于变换的乘法作成一个有单位元的半群．在
3
（
）
半群的议论中，这是一类重要的半群．并且本节习题中第4题还指出，当M＞1时
TM
只好作
（）
成半群，而不可以作成群．
三、习题§2.5解答
1.解作成有单位元半群，
是单位元．但不作成群，因为
无逆元．
2.
3.解G作成群：
因为易知
4.
5.
§2.6置换群
一、主要内容
1．任何（非循环）置换都可表为不相连循环之积，任何置换都可表为若干个对调之积，且对
换个数的奇阴偶性不变．进而有奇、偶置换的观点，且全体n次置换中奇、偶置换个数相等，各为n!
个（n＞1）．
2k
2．—循环的奇偶性、阶和逆元确实定方法，以及不相连循环乘积的奇偶性、阶和逆元确实定方法．
1）k—循环与A有相反奇偶性．
2）k—循环的阶为k．又（i1，i2ik）－1＝（ik，，i2，i1）．
3）
若分解为不相连循环之积．则其分解中奇循环个数为奇时
为奇置换，不然
为偶置
换．
的阶为各因子的阶的最小公倍．其逆元可由
k—循环的逆元来确立．
3
．由置换，求置换
－１的方法．n次对称群sn的中心．
4．传达群的定义、例子和简单性质．二、释疑解难
1．研究置换群的重要意义和作用．
除了教材中已经指出的（置换群是最早研究的一类群，并且每个有限的抽象群都同一个置换群同构）之外，研究置换群的重要意义和作用起码还有以下几方面：
1）置换群是一种详细的群，从置换乘法到判断置换的奇偶性以及求置换的阶和逆置换，都很详细和简单．同时它也是元素不是数的一种非互换群．在群的议论中举例时也常常用到这类群．
2）在置换群的研究中，有一些特别的研究对象是其余群所没有的．如置换中的不动点理论以及传达性和根源性理论等等．
3）置换群中有一些特别的子群也是一般抽象群所没有的．比如，交代群、传达群、稳固子群和根源群等等．就教材所讲过的交代群和传达群的重要性便能够知道，介绍置换群是多么的重要．
2．用循环与对调之积来表出置换的优胜性．
第一，书写大为简化，便于运算。
此外还便于求置换的阶，判断置换的奇偶性和求逆置换．因为我们知道：
k—循环的阶是k
；不相连循环之积的阶为各循环的阶的最小公倍；k—循环的奇偶性与k
一1的奇侣性同样；又
k—循环（i1，i2ik）的逆元为（i1，i2ik）－1＝（ik，，i2，i1）．
3.由教材本节例3可直接得出以下结论:
n次置换群G若包括有奇置换,则G是一个偶数．
此外，因为偶置换之积仍为偶置换，故任何n次置换群G中的全体偶置换作成G的一个子群．
5．在一般群中判断二元素能否共扼（参照第三章§6）
其实不简单，可是，在对称群
sn中二置
换能否共扼却简单判断，即两者有同样的循环构造
（参照习题3．9第30题）．其证明要用到本
节的定理5，这也是该定理的一个重要应用．
4重传达群，分别用M，M
，M
，M
6．法国数学家马蒂厄于1861年和1873年曾发现四个
11
12
23
24
表示，后代称为马蒂厄群．这四个群的阶数都很大，它们的阶数分别是：
三、习题§2．6解答
1.略
2.
3.略
4.略
5.
6.证因为H有限，故要证H≤s4只用验算H对置换乘法关闭即可．
7.解令＝（123456）．则G的所有6个置换是：
§2．7陪集、指数和Lagrange定理
一、主要内容
1．左、右陪集定义和简单性质．
1）左陪集的五个基天性质：
1）一5）；
2）全体左陪集与全体右陪集之间可成立双射；
3）群G对于子群H的左陪集分解式：
4．有限子群乘积的阶同子群的阶的关系．
没H，K是群G的两有限于群，则
二、释题解难
1．一般来说，两个陪集的乘积不再是一个陪集．比如，对三次对称群S3的子群
H={
（1），（12）}来说，
（1）H与（13）H是两个左陪集，但其乘积
（1）H·（13）H＝｛（13），（23），（123），（132）｝
不再是左陪集．
三、习题§2．7解答
1．证利用Lagrange定理即得．
2．略
3.
4.
5.
6.易知S3的以下六个子集：
H1＝{
（1）},
H2＝{
（1）,（12）},
H3＝{
（1）,（13）},
H4＝{
（1）,（23）},
H5＝{
（1）,（123）,（132）},
H6＝S3都是S3的子群．
下证S3仅有这六个子群．
设H为S3的任一非平庸子群,则因为H是S3＝6的因数,故只好H＝2,3．当H＝2时，H只好是H2,H3,H4．
当H＝3时，H中元素的阶必为3的因数，即只好是1或3．所以，
此时H中除单位元外，另两个元素必然都是3阶元．但S3中的三阶元有且仅有两个，即（123）和（132），所以，此时只好H＝H5．
综上所述可知，S3有且仅有这六个子群．
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.证若G是有限群，则G的子集个数是有限的，进而其子群个数自然也是有限的．
反之，若群G只有有限个子群，则G中明显不可以有无穷阶元素，因为无穷循环群有无穷个
子群．这样，G中每个元素的阶都有限．任取a1∈G，则a1是G的一个有限于群；再取a2∈G
一a1，于是a2是G的一个异于a1的有限于群．再取
a3∈G一a1Ua2，
同理a3又是G的一个异于a1，a2的有限子群．但G只有有限个子群，故这类过程不可以无穷地连续下去，进而必存在s使
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.证反证法．设A4有6阶子群H，则H除恒等置换
（1）外，
23.
24.
25.
26.
第三章正规子群和群的同态与同构
§3．1群同态与同构的简单性质一、主要内容
二、释疑解难
1．对于群同态映照有时不用要求是满射，有时又一定要求是满射．比如教材本节定理
1中
的同态映照一定是满射，而定理2和定理3的同态映照则不要求是满射．原由很简单：
因为定理1中的同态映照若不是满射，则G中必有元素没有逆象，进而以及群G中元素的性质对它们不会产生任何影陶，此时G自然就不必定作成群；但是定理2和定理3的情况可就不一样了：
因为这时G也是群，并且在同态映照（不必定是满射）之下单位元必有逆象，而于群必合单位元，进而G的于群H必有逆象，不会是空集．
例1设G加F零有理数乘群，G为全体有理数对乘法作成的幺半群．则
明显为G到G的一个同态映照（不是满射）．固然G是群，但G对不单不是群，连半群也不是（因
为其代数运算不知足联合律）．
．对于教材例
，若利用第三章§
6
定理
3（
若
G＝
pn．则群G有p阶元
）
的结论，则其证
2
3
明可大为简化．此刻本节是利用前面已学过的知识来证明，这也是Lagrange
定理和已知结论
的一种应用．这样做固然梢麻烦一点，但也很存心义．
三、习题§3．1解答
1．
2.
3.
4.
5.证因为G＝4，G又不是循环群，进而G无4阶元．于是由Lagrange定理知，G中除单位元e外每个元素的阶均为2．所以，若令
6.
§3．2正规于群和商群
一、主要内容
1．正规子群定义、性质和例子．性质主要有
2）正规子群在同态满射下的象和逆象均仍为正规于群．
3）正规子群与子群之积是子群；正规子群与正规子群之积是正规子群．
2．商群定义及商群的一个应用（Cauchy定理pn阶互换群必有p阶子群，此中p为素数）．
3．介绍由正规子群来界定的两类群：
哈密顿群和单群．这是两类在群论研究中占很重要地位的群．
二、释疑解难
1．教材在本节所举的例子中，应当十分注意S4、及Sn（n≠4）的正规子群的状况．因为这波及S2，S3及S4都是可解群（参照本节习题第8题），而当n≥5时Sn不是可解群．这类名称根源于一般的二、＝、四次代数方程都有求根公式，即可根式解，但一般的五次和五次以上助代数方程
都没有求根公式，即不行根式解．
这是在教材中已经证了然的．对此也能够采纳以下证法：
这类证法是最原始的一种证法，自然不如教材中的证法简单．其所以简单，是因为利用了
子集乘法的性质（AB）C＝A（BC）以及Nb＝bN和N2＝N．
pnp是素数
阶
3．在本教材中，共有三个定理（本节定理5、§6定理3及§8定理1）波及
（
）
群G必有p阶子群．从表
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