北师大版九年级上第一章特殊平行四边形12矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定的综合应用63.docx
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北师大版九年级上第一章特殊平行四边形12矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定的综合应用63
第3课时 矩形的性质与判定的综合应用
知识点 矩形性质与判定的应用
1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对边分别相等B.对角分别相等
C.对角线互相平分D.对角线相等
2.下列说法:
①矩形是轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴;②对角线相等的四边形是矩形;③有两个角相等的平行四边形是矩形;④对角线相等且互相平分的四边形是矩形;⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°,那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是( )
A.22°,68°B.44°,66°
C.24°,66°D.40°,50°
4.如图1-2-31所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E在AD上,且EB平分∠AEC,则△ABE的面积为( )
A.2.4B.2C.1.8D.1.5
图1-2-31
图1-2-32
5.如图1-2-32,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为________.
6.在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图1-2-33所示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=________cm.
图1-2-33
图1-2-34
7.如图1-2-34,在矩形ABCD中,BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快________s后,四边形ABPQ成为矩形.
8.如图1-2-35,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证:
AE=CE.
图1-2-35
9.如图1-2-36,在矩形ABCD中(AD>AB),E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为F,在下列结论中,不一定正确的是( )
A.△AFD≌△DCEB.AF=
AD
C.AB=AFD.BE=AD-DF
图1-2-36
图1-2-37
10.如图1-2-37,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )
A.2
B.3
C.4D.4
11.如图1-2-38,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B,C重合),PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF长的最小值为( )
图1-2-38
A.4B.4.8C.5.2D.6
12.如图1-2-39,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,已知AD=4cm,图中阴影部分的面积总和为6cm2,则对角线AC的长为________cm.
图1-2-39
图1-2-40
13.如图1-2-40,M是矩形ABCD的边AD的中点,P为BC上一点,PE⊥MC于点E,PF⊥MB于点F,当AB,BC满足条件____________时,四边形PEMF为矩形.
14.教材例4变式题如图1-2-41,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,连接AD,AE∥BC,DE∥AB,连接CE,DE交AC于点G.
(1)求证:
四边形ADCE为矩形;
(2)点F在BA的延长线上,请直接写出图中所有与∠FAE相等的角.
图1-2-41
15.如图1-2-42,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,点E,P分别在AD,BC上,且DE=BP=1.
求证:
四边形EFPH为矩形.
图1-2-42
16.2016·贵阳期末如图1-2-43,在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F.
(1)求证:
四边形BFDE为平行四边形;
(2)若四边形BFDE为菱形,且AB=2,求BC的长.
图1-2-43
17.如图1-2-44,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形ACE,等边三角形BCF.
(1)求证:
四边形DAEF是平行四边形.
(2)探究下列问题(只填满足的条件,不需证明):
①当△ABC满足条件:
____________时,四边形DAEF是矩形;
②当△ABC满足条件:
____________时,四边形DAEF是菱形;
③当△ABC满足条件:
____________时,以D,A,E,F为顶点的四边形不存在.
图1-2-44
1.D 2.A 3.A
4.D
5.20.
6.5.8.
7.4
8.证明:
如图,过点B作BF⊥CE于点F.
∵CE⊥AD,
∴∠D+∠DCE=90°.
∵∠BCD=90°,
∴∠BCF+∠DCE=90°,
∴∠BCF=∠D.
在△BCF和△CDE中,∠BCF=∠D,∠BFC=∠CED=90°,BC=CD,
∴△BCF≌△CDE(AAS),
∴BF=CE.
∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE,
∴四边形AEFB是矩形,
∴AE=BF,
∴AE=CE.
9.B
10.A .
11.B
12.5
13.2AB=BC
14.解:
(1)证明:
∵AE∥BC,DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE=BD.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,∴AE=CD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵AE∥BC,∴∠AED=∠EDC,∠EAC=∠ACB,∠FAE=∠B,
∴∠FAE=∠B=∠ACB=∠AEG=∠EAG=∠GDC.
15.证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC.
又∵DE=BP,
∴四边形DEBP是平行四边形,
∴BE∥DP.
∵AD=BC,DE=BP,
∴AE=CP.
又∵AD∥BC,即AE∥CP,
∴四边形AECP是平行四边形,
∴AP∥CE,
∴四边形EFPH是平行四边形.
∵在矩形ABCD中,∠ADC=∠ABP=90°,
AD=BC=5,CD=AB=2,DE=BP=1,
∴CE=
,同理BE=2
,
∴BE2+CE2=BC2,
∴∠BEC=90°,
∴四边形EFPH为矩形.
16.解:
(1)证法一:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
由折叠的性质可得:
∠ABE=
∠ABD,∠CDF=
∠CDB,
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴DE=BF,DE∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形.
证法二:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠ABD=∠CDB,DE∥BF.
由折叠的性质得∠EBD=
∠ABD,∠FDB=
∠CDB,
∴∠EBD=∠FDB,∴BE∥DF.
又∵DE∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形.
(2)∵四边形BFDE为菱形,
∴BE=DE,∠FBD=∠EBD=∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠A=∠ABC=90°,
∴∠ABE=∠FBD=∠EBD=30°.
在Rt△ABE中,∵AB=2,
∴AE=
=
,BE=2AE=
,
∴BC=AD=AE+DE=AE+BE=
+
=2
.
17.解:
(1)证明:
∵△ABD和△BCF都是等边三角形,
∴∠ABC+∠FBA=∠DBF+∠FBA=60°,
∴∠ABC=∠DBF.
又∵BA=BD,BC=BF,
∴△ABC≌△DBF,
∴AC=DF=AE.
同理可证△ABC≌△EFC,
∴AB=EF=AD,
∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
(2)①∠BAC=150°
②AB=AC≠BC
③∠BAC=60°