算法设计与分析习题解答16章.docx

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算法设计与分析习题解答16章

习题1

1.

图论诞生于七桥问题。

出生于瑞士的伟大数学家欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）提出并解决了该问题。

七桥问题是这样描述的：

一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。

请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。

输入：

一个起点

输出：

相同的点

1，一次步行

2，经过七座桥，且每次只经历过一次

3，回到起点

该问题无解：

能一笔画的图形只有两类：

一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。

请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法

1.r=m-n

2.循环直到r=0

2.1  m=n

2.2   n=r

2.3  r=m-n

3 输出m

3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。

要求分别给出伪代码和C++描述。

//采用分治法

//对数组先进行快速排序

//在依次比较相邻的差

#include

usingnamespacestd;

intpartions（intb[],intlow,inthigh）

{

intprvotkey=b[low];

b[0]=b[low];

while（low

{

while（low=prvotkey）

--high;

b[low]=b[high];

while（low

++low;

b[high]=b[low];

}

b[low]=b[0];

returnlow;

}

voidqsort（intl[],intlow,inthigh）

{

intprvotloc;

if（low

{

prvotloc=partions（l,low,high）;//将第一次排序的结果作为枢轴

qsort（l,low,prvotloc-1）;//递归调用排序由low到prvotloc-1

qsort（l,prvotloc+1,high）;//递归调用排序由prvotloc+1到high

}

}

voidquicksort（intl[],intn）

{

qsort（l,1,n）;//第一个作为枢轴，从第一个排到第n个

}

intmain（）

{

inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};

intvalue=0;//将最小差的值赋值给value

for（intb=1;b<11;b++）

cout<

cout<

quicksort（a,11）;

for（inti=0;i!

=9;++i）

{

if（（a[i+1]-a[i]）<=（a[i+2]-a[i+1]））

value=a[i+1]-a[i];

else

value=a[i+2]-a[i+1];

}

cout<

return0;

}

4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。

要求分别给出伪代码和C++描述。

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

inta[]={1,2,3,6,4,9,0};

intmid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它

for（inti=0;i!

=4;++i）

{

if（a[i+1]>a[i]&&a[i+1]

{

mid_value=a[i+1];

cout<

break;

}

elseif（a[i+1]a[i+2]）

{

mid_value=a[i+1];

cout<

break;

}

}//for

return0;

}

5.编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

doublevalue=0;

for（intn=1;n<=10000;++n）

{

value=value*10+1;

if（value%2013==0）

{

cout<<"n至少为:

"<

break;

}

}//for

return0;

}

6.计算π值的问题能精确求解吗？

编写程序，求解满足给定精度要求的π值

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

doublea,b;

doublearctan（doublex）;//声明

a=16.0*arctan（1/5.0）;

b=4.0*arctan（1/239）;

cout<<"PI="<

return0；

}

doublearctan（doublex）

{

inti=0;

doubler=0,e,f,sqr;//定义四个变量初

sqr=x*x;

e=x;

while（e/i>1e-15）//定义精度范围

{

f=e/i;//f是每次r需要叠加的方程

r=（i%4==1）?

r+f:

r-f;

e=e*sqr;//e每次乘于x的平方

i+=2;//i每次加2

}//while

returnr;

}

7.圣经上说：

神6天创造天地万有，第7日安歇。

为什么是6天呢？

任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。

例如，6=1+2+3，因此6是完美数。

神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。

设计算法，判断给定的自然数是否是完美数

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

intvalue,k=1;

cin>>value;

for（inti=2;i!

=value;++i）

{

while（value%i==0）

{

k+=i;//k为该自然数所有因子之和

value=value/i;

}

}//for

if（k==value）

cout<<"该自然数是完美数"<

else

cout<<"该自然数不是完美数"<

return0;

}

8.有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。

他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。

这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。

每个人走路的速度是不同的：

甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？

由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成

甲每次分别带着乙丙丁过桥

例如：

第一趟：

甲，乙过桥且甲回来

第二趟：

甲，丙过桥且甲回来

第一趟：

甲，丁过桥

一共用时19小时

9．欧几里德游戏：

开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。

请问，你是选择先行动还是后行动？

为什么？

设最初两个数较大的为a,较小的为b，两个数的最大公约数为factor。

则最终能出现的数包括:

factor,factor*2,factor*3,...,factor*（a/factor）=a.一共a/factor个。

如果a/factor是奇数，就选择先行动；否则就后行动。

习题4

1.分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。

2.证明：

如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O（n）。

O（N）=2*O（N/2）+x

O（N）+x=2*O（N/2）+2*x

a*O（N）+x=a*（2*O（N/2）+x）+x=2*a*O（N/2）+（a+1）*x

由此可知，时间复杂度可达到O（n）;

3.分治策略一定导致递归吗？

如果是，请解释原因。

如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。

不一定导致递归。

如非递归的二叉树中序遍历。

这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：

应用了栈这个数据结构。

4.对于待排序序列（5,3,1,9），分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。

归并排序：

第一趟：

（5,3）（1,9）；

第二趟：

（3,5,1,9）；

第三趟：

（1,3,5,9）；

快速排序：

第一趟：

5（,3,1,9）；//5为哨兵，比较9和5

第二趟：

5（1,3,,9）；//比较1和5，将1挪到相应位置；

第三趟：

5（1,3,,9）;//比较3和5；

第四趟：

（1,3,5,9）;

5.设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。

//简单的分治问题

//将数组均衡的分为“前”，“后”两部分

//分别求出这两部分最大值，然后再比较这两个最大值

#include

usingnamespacestd;

externconstintn=6;//声明

intmain（）

{

inta[n]={0,6,1,2,3,5};//初始化

intmid=n/2;

intnum_max1=0,num_max2=0;

for（inti=0;i<=n/2;++i）//前半部分

{

if（a[i]>num_max1）

num_max1=a[i];

}

for（intj=n/2+1;j

{

if（a[j]>num_max2）

num_max2=a[j];

}

if（num_max1>=num_max2）

cout<<"数组中的最大元素：

"<

else

cout<<"数组中的最大元素：

"<

return0;

}

时间复杂度：

O（n）

6.设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置,要求时间复杂性为O（n），空间复杂性为O

（1）。

例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。

//采用分治法

//将数组分为0-k-1和k-n-1两块

//将这两块分别左移

//然后再合并左移

#include

usingnamespacestd;

voidLeftReverse（char*a,intbegin,intend）

{

for（inti=0;i<（end-begin+1）/2;i++）//交换移动

{

inttemp=a[begin+i];

a[begin+i]=a[end-i];

a[end-i]=temp;

}

}

voidConverse（char*a,intn,intk）

{

LeftReverse（a,0,k-1）;

LeftReverse（a,k,n-1）;

LeftReverse（a,0,n-1）;

for（inti=0;i

cout<

cout<

}

intmain（）

{

chara[7]={'a','b','c','d','e','f','g'};

Converse（a,7,3）;

return0;

}

7.设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。

#include

usingnamespacestd;

intdata[100];

//在m个数中输出n个排列数（n<=m）

voidDPpl（intnum,intm,intn,intdepth）

{

if（depth==n）

{

for（inti=0;i

cout<

cout<

}

for（intj=0;j

{

if（（num&（1<

{data[depth]=j+1;

DPpl（num+（1<

}

}//for

}

intmain（）

{

DPpl（0,5,1,0）;

DPpl（0,5,2,0）;

DPpl（0,5,3,0）;

DPpl（0,5,4,0）;

DPpl（0,5,5,0）;

return0;

}

8.设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。

参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现

9.在有序序列（r1,r2,…,rn）中，存在序号i（1≤i≤n），使得ri=i。

请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O（log2n）。

//在有序数组中

//采用二分法查找符合条件的元素

#include

usingnamespacestd;

voidFindnum（int*a,intn）

{

intlow=0;

inthigh=n-1;

while（low<=high）

{

intmid=（low+high）/2;

if（a[mid]==mid）

{

cout<<"这个数是：

"<

break;

}

elseif（a[mid]>mid）

high=mid-1;

else

low=mid+1;

}

}

intmain（）

{

inta[7]={1,0,2,5,6,7,9};

Findnum（a,7）;

return0;

}

时间复杂度为O（log2n）。

10.在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。

请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。

//先对序列进行快速排序

//再进行一次遍历

//输出众数的重复次数

#include

usingnamespacestd;

intpartions（intb[],intlow,inthigh）

{

intprvotkey=b[low];

b[0]=b[low];

while（low

{

while（low=prvotkey）

--high;

b[low]=b[high];

while（low

++low;

b[high]=b[low];

}

b[low]=b[0];

returnlow;

}

voidqsort（intl[],intlow,inthigh）

{

intprvotloc;

if（low

{

prvotloc=partions（l,low,high）;//将第一次排序的结果作为枢轴

qsort（l,low,prvotloc-1）;//递归调用排序由low到prvotloc-1

qsort（l,prvotloc+1,high）;//递归调用排序由prvotloc+1到high

}

}

voidquicksort（intl[],intn）

{

qsort（l,1,n）;//第一个作为枢轴，从第一个排到第n个

}

intmain（）

{

inta[10]={1,2,3,5,3,3,3,2,5,1};

inti=0;

intcount=0;

intmax=0;//max表示出现的次数

qsort（a,0,10）;

while（i<10）

{

intj;

j=i+1;

if（a[i]=a[j]&&i<10）

{

count++;

i++;

}

if（count>max）

{

max=count;

count=0;

}

}//while

cout<<"重复次数：

"<

return0;

}

时间复杂度nlog（n）

11.设M是一个n×n的整数矩阵，其中每一行（从左到右）和每一列（从上到下）的元素都按升序排列。

设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中，并分析算法的时间复杂性。

12.设S是n（n为偶数）个不等的正整数的集合，要求将集合S划分为子集S1和S2，使得|S1|=|S2|=n/2，且两个子集元素之和的差达到最大。

//先用快速排序进行一趟排序

//如果s1（大的数集）的的个数大于n/2

//将（i<=n/2-low-1）个最小的数排到后面

//如果s1（大的数集）的的个数小于n/2

//将s2（小的数集）n/2-low-1排到前面

//将排好的数组的前n/2个数赋值给s1

//将排好的数组的后n/2个数赋值给s2

#include

usingnamespacestd;

constintn=8;

voidpartions（inta[],intlow,inthigh）

{

//进行一趟快排

intprvotkey=a[low];

a[0]=a[low];

while（low

{

while（low

--high;

a[low]=a[high];

while（low=prvotkey）

++low;

a[high]=a[low];

}

a[low]=prvotkey;

//如果s1（大的数集）的的个数大于n/2

if（low>=n/2）

{

for（inti=0;i<=n/2-low-1;++i）

{

for（intj=0;j

{

if（a[j]

{

inttemp=a[j];

a[j]=a[j+1];

a[j+1]=temp;

}

}//for

}

}//if

//如果s1（大的数集）的的个数小于n/2

else

for（inti=0;i<=n/2-low-1;++i）

{

for（intk=n-1;k

{

if（a[k]>a[k-1]）

{

inttemp1=a[k];

a[k]=a[k-1];

a[k-1]=temp1;

}

}//for

}

}

intmain（）

{

inta[n]={1,3,5,9,6,0,-11,-8};

partions（a,0,n-1）;

for（inti=0;i

{

if（i<4）

{

cout<<"属于子集s1的：

"<

cout<

}

else

{

cout<<"属于子集s2的：

"<

cout<

}

}

return0;

}

13.设a1,a2,…,an是集合{1,2,…,n}的一个排列，如果iaj，则序偶（ai,aj）称为该排列的一个逆序。

例如，2,3,1有两个逆序：

（3,1）和（2,1）。

设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。

//用归并进行排序

//当一个子集的一个数大于第二个子集的一个数，为逆序，即a[i]>a[j]

//则逆序数为end-j+1;

#include

usingnamespacestd;

intcount;

voidMerge（inta[],inta1[],intbegin,intmid,intend）//合并子序列

{

inti=begin,j=mid+1,k=end;

while（i<=mid&&j<=end）

{

if（a[i]<=a[j]）

a1[k++]=a[i++];//取a[i]和a[j]中较小者放入r1[k]

else

{

a1[k++]=a[j++];

count+=（end-j+1）;

}

}

while（i<=mid）

a1[k++]=a[i++];

while（j<=end）

a1[k++]=a[j++];

}

voidMergeSort（inta[],intbegin,intend）

{

intmid,a1[1000];

if（begin==end）

return;

else

{

mid=（begin+end）/2;

MergeSort（a,begin,mid）;

MergeSort（a,mid+1,end）;

Merge（a,a1,begin,mid,end）;

}

}

intmain（）

{

inta[6]={6,5,4,3,2,1};

count=0;

MergeSort（a,0,6）;

cout<

return0;

}

14.循环赛日程安排问题。

设有n=2k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：

（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；

（2）每个选手一天只能赛一次。

采用分治方法。

将2^k选手分为2^k-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下2个选手时，然后进行比赛，回溯就可以指定比赛日程表了

15.格雷码是一个长度为2n的序列，序列中无相同元素，且每个元素都是长度为n的二进制位串，相邻元素恰好只有1位不同。

例如长度为23的格雷码为（000,001,011,010,110,111,101,100）。

设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。

//构造格雷码

#inc