三角形全等之倍长中线含答案和练习.docx

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三角形全等之倍长中线含答案和练习

三角形全等之倍长中线

1.如图，AD为△ABC的中线．

（1）求证：

AB+AC>2AD．

（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

B

2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：

AB=AC．

B

3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．

求证：

①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

E

4.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．

A

DC

A

DC

C

BDA

A

F

E

求证：

∠AEF=∠EAF．

BDC

5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，

交AB于点G，BG=CF．

求证：

AD为△ABC的角平分线．

FF

AA

GG

BEDCBEDC

1

6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是

A

D

CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的

长．

F

BEC

7.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，△FEB为等腰直角三角形，∠FEB=90°，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．

求证：

EG=CG且EG⊥CG．

AD

G

F

EBC

2

【参考答案】

1.

（1）证明：

如图，

A

2

B1DC

E

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，

∴AE=2AD．

∵AD是△ABC的中线∴BD=CD

在△BDE和△CDA中

BDCD

12EDAD

∴△BDE≌△CDA（SAS）

∴BE=AC

在△ABE中，AB+BE>AE

∴AB+AC>2AD

（2）解：

由①可知

AE=2AD，BE=AC

在△ABE中，

ABBE

∵AC=3，AB=5

∴53

∴2<2AD<8

∴1

3

2.证明：

如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE．

A

12

3

BC

4D

E

在△ADC和△EDB中

CDBD

34ADED

∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴AC=EB，∠2=∠E

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

2.证明：

如图，

C

4

5

1

E

B3

2DA

F

延长CD到F，使DF=CD，连接BF．

∴CF=2CD

∵CD是△ABC的中线∴BD=AD

在△BDF和△ADC中

4

BDAD

21DFDC

∴△BDF≌△ADC（SAS）

∴BF=AC，∠3=∠A

∵CB是△AEC的中线∴BE=AB

∵AC=AB

∴BE=AC

∴BE=BF

∵∠CBE是△ABC的一个外角

∴∠CBE=∠BCA+∠A

=∠BCA+∠3

∵AC=AB

∴∠BCA=∠CBA

∴∠CBE=∠CBA+∠3

=∠CBF

在△CBE和△CBF中

CBCB

CBECBF

BEBF

∴△CBE≌△CBF（SAS）

∴CE=CF，∠4=∠5

∴CE=2CD

CB平分∠DCE

4.证明：

如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．

A

F

E

BC

D

M

∵D是BC边的中点∴BD=CD

在△ADC和△MDB中

5

CDBD

ADCMDB

ADMD

∴△ADC≌△MDB（SAS）

∴∠CAD=∠M，AC=MB

∵BE=AC

∴BE=MB

∴∠M=∠BEM

∴∠CAD=∠BEM

∵∠AEF=∠BEM

∴∠CAD=∠AEF

即∠AEF=∠EAF

5.证明：

如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM．

F

A

G12

3

BEDC

M

∵点E是BC的中点

∴BE=CE

在△CFE和△BME中

FEME

CEFBEM

CEBE

∴△CFE≌△BME（SAS）

∴CF=BM，∠F=∠M

∵BG=CF

∴BG=BM

∴∠3=∠M

∴∠3=∠F

∵AD∥EF

∴∠2=∠F，∠1=∠3

∴∠1=∠2

即AD为△ABC的角平分线．

6.解：

如图，延长AF交BC的延长线于点G．

6

AD

3

54

1F

2

BECG

∵AD∥BC

∴∠3=∠G

∵点F是CD的中点

∴DF=CF

在△ADF和△GCF中

3G

12DFCF

∴△ADF≌△GCF（AAS）

∴AD=CG

∵AD=2.7

∴CG=2.7

∵AE=BE

∴∠5=∠B

∵AB⊥AF

∴∠4+∠5=90°

∠B+∠G=90°

∴∠4=∠G

∴EG=AE=5

∴CE=EGCG

=52.7

=2.3

7.证明：

如图，延长EG，交CD的延长线于M．

M

AD

G

F

EBC

由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°

7

∴∠DCB+∠FEB=180°

∴EF∥CD

∴∠FEG=∠M

∵点G为FD中点

∴FG=DG

在△FGE和△DGM中

FEGM

FGEDGM

FGDG

∴△FGE≌△DGM（AAS）

∴EF=MD，EG=MG

∵△FEB是等腰直角三角形

∴EF=EB

∴BE=MD

在正方形ABCD中，BC=CD

∴BE+BC=MD+CD

即EC=MC

∴△ECM是等腰直角三角形

∵EG=MG

∴EG⊥CG，∠ECG=∠MCG=45°

∴EG=CG

全等三角形之倍长中线每日一题

1.（4月21日）已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．求证：

AE⊥BE．

AD

E

BC

A

8E

DF

BC

2.（4月22日）已知：

如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．

3.（4月23日）已知：

如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，连接

DE，DF，EF．

求证：

△DEF为等腰直角三角形．

F

E

ACDB

A

4.（4月24日）已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E

为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于

D

点F．试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．B

E

C

F

9

【参考答案】

1.证明：

延长AE交BC的延长线于点F．

AD

E

BCF

∵AD∥BC

∴∠D=∠DCF，∠DAE=∠F

∵E是CD的中点∴DE=CE

在△ADE和△FCE中

∠D∠FCE

DAEF

DECE

∴△ADE≌△FCE（AAS）

∴AD=FC，AE=FE

∵AB=AD+BC

∴AB=CF+BC=BF

在△ABE和△FBE中

ABFB

BEBE

AEFE

∴△ABE≌△FBE（SSS）

10

∴∠AEB=∠FEB=90°

即AE⊥BE

2.解：

AF⊥DF，AF=DF，理由如下：

延长DF交AC于点P.

A

E

P

DF

BC

∵BA⊥AC，ED⊥BD

∴∠BAC=∠EDA=90°

∴DE∥AC

∴∠DEC=∠ECA

∵F为EC中点∴EF=CF

在△EDF和△CPF中

DEFPCF

EFCF

∠EFD∠CFP

∴△EDF≌△CPF（ASA）

∴DE=CP，DF=PF

∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形

∴AB=AC，DE=BD

∴ABBD=ACDE=ACCP

即AD=AP

在△DAF和△PAF中

DFPF

AFAF

ADAP

∴△DAF≌△PAF（SSS）

∴∠DFA=∠PFA=90°，∠DAF=∠PAF=45°

11

∴AF⊥DF，AF=DF

2.证明：

延长ED到点G，使DG=DE，连接BG，FG．

F

E

ACDB

G

∵D为线段AB的中点∴AD=BD

在△EDA和△GDB中

EDGD

∠EDA∠GDBDADB

∴△EDA≌△GDB（SAS）

∴EA=GB，∠A=∠GBD

∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形

∴AE=CE=BG，CF=FB，∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°∴∠ECF=90°，∠GBF=∠GBD+∠FBD=90°

在△ECF和△GBF中

ECGB

∠ECF∠GBFCFBF

∴△ECF≌△GBF（SAS）

∴EF=GF，∠EFC=∠GFB

∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°

∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°

在△EFD和△GFD中

EFGF

FDFD

EDGD

∴△EFD≌△GFD（SSS）

∴∠EDF=∠GDF=90°，∠EFD=∠GFD=45°

∴DE=DF

12

∴△DEF为等腰直角三角形

4.解：

AB=AF+CF，理由如下：

延长AE交DF的延长线于点G．

A

D

BEC

F

G

∵E为BC边的中点∴BE=CE

∵AB∥DC

∴∠B=∠BCG，∠BAG=∠G

在△ABE和△GCE中

∠B∠GCE

∠BAE∠GBECE

∴△ABE≌△GCE（AAS）

∴AB=GC

∵∠BAE=∠EAF

∴∠G=∠EAF

∴AF=GF

∵GC=GF+FC

∴AB=AF+CF

三角形全等之倍长中线（随堂测试）

1.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_______________．

2.已知：

如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥AB交AE于点

F，DF=AC．

求证：

AE平分∠BAC．

13

A

F

BDEC

【参考答案】

1.3

2.证明略（提示：

延长AE到点G，使EG=EF，连接CG，证明△DEF≌△CEG）．

三角形全等之倍长中线（作业）

1.已知：

如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．

A

BDC

2.已知：

如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：

AB=EF．

14

A

D

FE

BC

3.已知：

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形．求证：

EF=2AD．

E

AF

BDC

4.如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为

∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：

BF=CG．

G

A

F

BEDC

15

5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，若∠DAF=∠EAF，求证：

AF⊥EF．

AD

F

BEC

【参考答案】

1.2

2.证明略（提示：

延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明

AB=EF）

3.证明略（提示：

延长AD到点G，使得AD=GD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△

GCA）

4.证明略（提示：

延长FE到点H，使得FE=EH，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）

5.证明略（提示：

延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）

16