椭圆内接四边形有许多优美的性质.docx

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椭圆内接四边形有许多优美的性质

 椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，

是研究二次曲线射影几何理论的试金石。

作者在研究椭圆切线性质过程中，

发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。

  一、定理的提出

    指鹿为马者看清楚了：

（别说莫须有，古代有，小时候见过，请截图为证据）

  图20中,D、A、B、C的调和分割，是完美四边形的命题，是四边形命题

  大狗熊yy定理是 D、Q、B、R的四个极点调和分割，是切线命题。

 大狗熊yy定理：

椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

  如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，

对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，

且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

     大狗熊yy定理，，对于其他圆锥曲线----抛物线和双曲线也适合，，，

幻灯播放

  新定理2：

椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，

则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。

新定理2是新定理1的一种特殊情况，如图2，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，

则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC＝CB。

二、新定理的证明

新定理证明思路：

圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简单易证。

采用坐标线性变换方法和坐标旋转方法，可将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。

  这个能图形成立吗？

  1） 需证明A、B、C、D四点共线，即四个极点共线于Q点的极线上；

2） 需证明F、Q、E、B四点共线，需证明A、G、Q、H四点共线；

3） 需证明GD、CH、FB三线共点于E点；

4） 需证明A、B、C、D四点是调和点列。

定义1：

对于线段AB的内分点C和外分点D，满足

则称点C、D调和分割线段AB或A、B、C、D是调和点列。

    引理1：

 从圆⊙O外一点P，引圆的两条切线和一条割线，S、T为切点，

A、B点为割线与圆的交点，弦线ST与PAB割线交于Q点，那么PQ调和分割AB。

   证明：

（删去）

定义2：

如图5，P点称为ST切点弦线关于圆⊙O的极点，ST切点弦线称为P点关于圆⊙O的极线，极点与极线是相互对应的。

引理2（高斯定理）：

从圆⊙O外一点P引两条切线，得到两个切点S、T点，从圆外一点P引两任意割线，

与圆交于 A、B与C、D四点，交叉连接AD、BC交于Q点，AC与BD延伸交于R点，

则 S、T、Q、R四点共线。

如图6，联结AS、SB、BD、DT、TC、CA直线，得圆内接的凸六边形ASBDTC。

 欲证S、Q、T三点共线，只需证明AD、BC、ST三线共点。

    对于圆内接凸六边形ASBDTC，利用塞瓦定理,证明共点。

     ，，，，，，因此，BC、AD、ST三线共点，S、Q、T三点共线，Q点在以P点为极点的ST极线上。

在三角形ΔRCD中，假设M点为RQ与CD的交点，由赛瓦定理得：

，，，，（数学公式打字不方便）

∵ΔRCD被直线PB所截，由梅涅劳斯定理得：

，，，， 

∴CD被PM调和分割，同时PM也被CD也调和分割。

依据引理1可知，M点在极线ST上，所以M、R、S、T四点共线，

∴M、S、T、Q、R五点共线，因此S、T、Q、R四点共线。

定义3：

如图6，依据射影几何知识，可以证明三角形ΔPQR每个顶点是其对边的极点。

即：

P点是QR的极点，R点是QP的极点，Q点是PR的极点，ΔPQR称为自配极三角形。

 引理3（帕斯卡定理）：

设六边形ABCDEF内接于椭圆，直线AB与DE交于点X，直线CD与FA交于点Z，直线EF与BC交于点Y，则X、Y、Z三点共线。

如图7，当椭圆内接六边形ABCDEF在两处各有2个顶点重合，即当B（C）点重合，E（F）点重合，

椭圆内接六边形ABCDEF退化为椭圆内接四边形AB（C）DE（F），BY与EY退化为切线，帕斯卡定理仍然成立

，即圆内接四边形的对边两交点与对角线极点共线。

  引理4（布列安桑定理）：

布列安桑定理是一个射影几何中的著名定理，是帕斯卡定理的对偶定理，

它断言圆锥曲线外切的六边形的三条对角线共点。

引理5（牛顿定理3）：

圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。

证明一：

牛顿定理3是布列安桑定理的一个特殊情况，即当圆的外切六边形的一组对角顶点的内角为180°时，这一组对角点转化为两个切点，牛顿定理3成立。

  证明二：

面积法

 引理6：

如图10，MA和MB是圆⊙O的切线，M点是AB弦线的极点，P是直线AB上的一点，

引理7：

如图11，圆⊙O的外切四边形ABCD，外切点为E、F、G、H四点，EH、FG相交于P点，则OP⊥AC，即AC是P点的极线。

证明一：

AE、AH是A点关于圆⊙O的切线，EH是A点的极线，

所以P、A两点共轭，同理P、C两点共轭，

故AC是P点的极线，所以OP⊥AC。

证明二：

要证明OP⊥AC，依据等差幂线定理，

引理8（麦克马林定理）：

如图12，假设K、L、M、N四点是圆⊙O的外切四边形FGEH的4个切点，

圆⊙O的内接四边形KLMN的对角线KM、LN相交于Q点，则F、Q、E、B四点共线，A、G、Q、H四点共线。

证明：

由牛顿定理3可知，LN、KM、FE三线共点于Q，则F、Q、E三点共线。

     依据引理6、7可知，FQE是A点关于圆⊙O的极线。

依据引理2和定义3可知，QB也是A点关于圆⊙O的极线。

因此，F、Q、E、B四点共线，麦克马林定理成立。

同理可知，A、G、Q、H四点也共线。

新定理证明：

依据前面的引理的推导分析，可以构造出图13，新定理证明如下：

如图13，椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交于Q点，KN、LM对边延伸线交于A点，KL、NM对边延伸线交于B点，C点为对角线KM的极点，D点为对角线LN的极点。

K、L、M、N四点为椭圆外切四边形EHFG的四个切点，椭圆外切四边形EHFG的对角线连EF、GH交于Q点。

由帕斯卡定理，依据引理3，可知A、B、C、D四点共线，四极点共线成立。

由牛顿定理，依据引理5可知，椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。

椭圆外切四边形EHFG的对角线EF、GH交点Q和以K、L、M、N四个切点为顶点的椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交点Q重合。

由麦克马林定理，依据引理6、7、8可知，椭圆外切四边形EHFG的对角线EQF为A点关于椭圆的极线。

又依据引理2和定义3可知，QB也为A点关于椭圆的极线。

因此，F、Q、E、B四点共线。

同理可知，A、G、Q、H四点共线，AH为B点关于椭圆的极线。

图14中，极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，ΔAQB为自配极三角形。

推理分析图14可知，ΔFCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，

由赛瓦定理得：

，，，，

∵ΔFCD被直线AH所截，由梅涅劳斯定理得：

。

。

。

。

。

∴A、B、C、D四点共线，CD调和分割AB，新定理1证明成立。

   由射影几何知识可得，F点为射影点，A、G、Q、H四点共线，AQ调和分割GH，

 三、新定理的运用

  例1（椭圆内割线找极点）：

已知椭圆内的斜向割线AB，点J、K是椭圆的象限点，JA、BK交E点，JB、AK交F点，竖向垂线直线EF的中点为N点， N点就是AB割线关于椭圆的极点，连线NA、NB与椭圆相切。

证明一：

椭圆内接四边形AKBJ的其中一条对角线JK通过椭圆圆心，N点为EF的中点，依据新定理2，N点就是AB的极点，NA、NB与椭圆相切。

AB与JK交于Q，ΔEQF为自配极三角形，因为极点Q在水平向x轴上，Q点的极线EF必定与水平轴垂直。

  证明二：

也可采用坐标线性变换，椭圆切线问题化圆处理，简化证明方法。

      （是一个黄金图形，是几何的一题定天下的基础图形）

如图16，在ΔJEF中，由于JK为圆⊙O的直径，且A、B、J、K四点共圆，∴AK⊥JE，BK⊥JF，∴K点是ΔEFF垂心，那么JK⊥EF，∴EF为竖向直线。

∵AF⊥JE，BE⊥JF，∴A、B、E、F四点共圆，且以EF为直径。

∵N点为EF的中点，∴N点为圆心，

易知∠FAN＝∠NFA＝∠EBA＝∠KJA＝∠JAO，

∠OAN＝∠OAK＋∠FAN＝∠OAK＋∠JAO＝∠JAK＝90°，

∴NA⊥OA ，∴直线NA与圆⊙O相切。

同理可知：

直线NB与圆⊙O相切于B点，N点就是AB的极点。

综上所述，证明了已知圆上一条割线找极点方法的正确性。

那么将图形旋转一个角度，由于圆的对称性，三交点共线且平分现象仍然成立。

在此基础上，采用坐标变换方法，圆就变化成为了椭圆，那么方法仍然成立，即证明新定理2 成立。

分析可知，OQ⊥EF， A、K、E、M四点共圆，K、B、F、M四点也共圆，所以M点是完全四边形ABJKEF的密克尔点。

证明三：

解析几何方法：

三、圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理（简化证明）

射影几何创始人大数学家笛沙格采用投射取截法来实现二次圆锥曲线的连续变化，只要改变截景平面的位置，就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线和双曲。

因此，对于圆成立的许多性质，都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次圆锥曲线也成立．这就提供了一种相当简便的方法。

引理1：

二次圆锥曲线                              

--[endif]---->

--[endif]---->的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。

引理2：

圆锥曲线中的极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于P相应的极线。

反之亦然，称为极点与相应极线对偶性。

           （图形成立证明）

 在图8中，由引理1可知，极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，ΔAQB为自配极三角形。

由帕斯卡定理可知，A、B、C、D四点共线，且AB为Q点的极线，四极点共线成立。

由牛顿定理可知，椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合，椭圆外切四边形EHFG的对角线EF、GH交于Q点和以K、L、M、N四个切点为顶点的椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交点Q重合。

由麦克马林定理可知，椭圆外切四边形EHFG的对角线EF为A点关于椭圆的极线。

同时，引理1可知，QB也为A点关于椭圆的极线。

因此，F、Q、E、B四点共线。

同理可知，A、G、Q、H四点共线，AH为B点关于椭圆的极线。

推理分析图8可知，ΔFCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，

由赛瓦定理得：

。

。

。

。

。

∵ΔFCD被直线AH所截，由梅涅劳斯定理得：

，，，，

∴A、B、C、D四点共线，CD调和分割AB，新定理1证明成立。

   由射影几何知识可得，以F点为射影点，A、G、Q、H四点共线，AQ调和分割GH，

由射影几何知识可得，以D点为射影点，B、E、Q、E四点共线，BQ调和分割EF。

   图形中，，，有3个 调和分割，，还有完美四边形的一些调和分割。

。

。

证明2（双曲线情况）：

双曲线内接四边形KLMN的对角线KM、LN交于Q点，KN、LM对边延伸线交于A点，KL、NM对边延伸线交于B点，C点为对角线KM的极点，D点为对角线LN的极点，双曲线上K、L、M、N四点切线延伸互相交于E、F、G、H四点。

则AB调和分割CD，且AQ调和分割GH，且BQ调和分割EF。

如图9中，由引理1可知，极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，ΔAQB为自配极三角形。

由帕斯卡定理，可知A、B、C、D四极点共线，且AB是Q点的极线。

极点G点的极线是LK，极点H点的极线是MN。

又依据引理1可知，ΔAQB为自配极三角形，极点A与BQ极线对应，极点Q与AB极线对应。

A、G、Q、H四极点相对应的QB、LK与AB、MN四条极线交汇共点于B点。

依据引理2可知，A、G、Q、H四点共线，且为于B点的极线。

同理可知，B、E、Q、F四点共线，BE为A点关于椭圆的极线。

易知，LN、KM、EF、GH四线交于Q点，可见牛顿定理3在双曲线情况下也成立。

推理分析可知，ΔFCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，且ΔFCD被直线AH所截交于G点，构成熟知的经典几何图形。

采用类似上述证明1中椭圆切线问题处理方法，易证AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

由射影几何知识可得，以F点为射影点分析A、G、Q、H四点连线，AQ调和分割GH，

由射影几何知识可得，以D点为射影点分析B、E、Q、F四点共线，BQ调和分割EF。

证明3（抛物线情况）：

抛物线内接四边形KLMN的对角线KM、LN交于Q点，KN、LM对边延伸线交于A点，KL、NM对边延伸线交于B点，C点为对角线KM的极点，D点为对角线LN的极点，抛物线上K、L、M、N四点切线延伸互相交于E、F、G、H四点。

则AB调和分割CD，且AQ调和分割GH，且BQ调和分割EF。

   如图10，采用上述证明2中类似双曲线切线问题处理方法，易证A、B、C、D四点共线，A、G、Q、H四点共线，Q、E、B、F四点共线。

推理分析可知，ΔFGH中FQ、CH、DG三线共点交于E点，且ΔFGH被直线AD所截交于C点，构成熟知的经典几何图形。

采用类似上述证明1中椭圆切线问题处理方法，易证AQ调和分割GH。

由射影几何知识可得，以F点为射影点，分析A、B、C、D四点连线，可知AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

由射影几何知识可得，以D点为射影点分析B、E、Q、F四点共线，BQ调和分割EF。

三、圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理（简化证明）

射影几何创始人大数学家笛沙格采用投射取截法来实现二次圆锥曲线的连续变化，只要改变截景平面的位置，就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线和双曲。

因此，对于圆成立的许多性质，都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次圆锥曲线也成立．这就提供了一种相当简便的方法。

引理1：

二次圆锥曲线                              

  的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。

引理2：

圆锥曲线中的极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于P相应的极线。

反之亦然，称为极点与相应极线对偶性。

           （图形成立证明）

 在图8中，由引理1可知，极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，ΔAQB为自配极三角形。

由帕斯卡定理可知，A、B、C、D四点共线，且AB为Q点的极线，四极点共线成立。

由牛顿定理可知，椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合，椭圆外切四边形EHFG的对角线EF、GH交于Q点和以K、L、M、N四个切点为顶点的椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交点Q重合。

由麦克马林定理可知，椭圆外切四边形EHFG的对角线EF为A点关于椭圆的极线。

同时，引理1可知，QB也为A点关于椭圆的极线。

因此，F、Q、E、B四点共线。

同理可知，A、G、Q、H四点共线，AH为B点关于椭圆的极线。

推理分析图8可知，ΔFCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，

由赛瓦定理得：

。

。

。

。

。

∵ΔFCD被直线AH所截，由梅涅劳斯定理得：

，，，，

∴A、B、C、D四点共线，CD调和分割AB，新定理1证明成立。

   由射影几何知识可得，以F点为射影点，A、G、Q、H四点共线，AQ调和分割GH，

由射影几何知识可得，以D点为射影点，B、E、Q、E四点共线，BQ调和分割EF。

   图形中，，，有3个 调和分割，，还有完美四边形的一些调和分割。

。

。

证明2（双曲线情况）：

双曲线内接四边形KLMN的对角线KM、LN交于Q点，KN、LM对边延伸线交于A点，KL、NM对边延伸线交于B点，C点为对角线KM的极点，D点为对角线LN的极点，双曲线上K、L、M、N四点切线延伸互相交于E、F、G、H四点。

则AB调和分割CD，且AQ调和分割GH，且BQ调和分割EF。

如图9中，由引理1可知，极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，ΔAQB为自配极三角形。

由帕斯卡定理，可知A、B、C、D四极点共线，且AB是Q点的极线。

极点G点的极线是LK，极点H点的极线是MN。

又依据引理1可知，ΔAQB为自配极三角形，极点A与BQ极线对应，极点Q与AB极线对应。

A、G、Q、H四极点相对应的QB、LK与AB、MN四条极线交汇共点于B点。

依据引理2可知，A、G、Q、H四点共线，且为于B点的极线。

同理可知，B、E、Q、F四点共线，BE为A点关于椭圆的极线。

易知，LN、KM、EF、GH四线交于Q点，可见牛顿定理3在双曲线情况下也成立。

推理分析可知，ΔFCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，且ΔFCD被直线AH所截交于G点，构成熟知的经典几何图形。

采用类似上述证明1中椭圆切线问题处理方法，易证AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

由射影几何知识可得，以F点为射影点分析A、G、Q、H四点连线，AQ调和分割GH，

由射影几何知识可得，以D点为射影点分析B、E、Q、F四点共线，BQ调和分割EF。

证明3（抛物线情况）：

抛物线内接四边形KLMN的对角线KM、LN交于Q点，KN、LM对边延伸线交于A点，KL、NM对边延伸线交于B点，C点为对角线KM的极点，D点为对角线LN的极点，抛物线上K、L、M、N四点切线延伸互相交于E、F、G、H四点。

则AB调和分割CD，且AQ调和分割GH，且BQ调和分割EF。

   如图10，采用上述证明2中类似双曲线切线问题处理方法，易证A、B、C、D四点共线，A、G、Q、H四点共线，Q、E、B、F四点共线。

推理分析可知，ΔFGH中FQ、CH、DG三线共点交于E点，且ΔFGH被直线AD所截交于C点，构成熟知的经典几何图形。

采用类似上述证明1中椭圆切线问题处理方法，易证AQ调和分割GH。

由射影几何知识可得，以F点为射影点，分析A、B、C、D四点连线，可知AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

由射影几何知识可得，以D点为射影点分析B、E、Q、F四点共线，BQ调和分割EF。

推理1：

当有心圆锥曲线内接四边形的其中一条对角线通过有心圆锥曲线圆心时，则另一条对角线的极点必定平分有心圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点的连线。

推理1是新定理1的一种特殊情况，如图1、2中，对于椭圆和双曲线，当有心圆锥曲线内接四边形KLMN的对角线LN通过有心圆锥曲线圆心时，对角线LN的极点D在无穷远处，调和点列只剩下A、B、C三点，则对角线KM的极点C必定平分有心圆锥曲线内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB的连线，即AC＝CB。

推理2：

当抛物线内接四边形的其中一条对角线与抛物线对称轴平行时，则另一条对角线的极点必定平分抛物线内接四边形的对边延伸线两交点的连线。

推理2也是新定理1的一种特殊情况，如果抛物线内接四边形KLMN的对角线LN与抛物线对称轴平行的竖向直线，N点在无穷远处，抛物线内接四边形KLMN中的对边线KN退化为过K点的竖向直线，抛物线内接四边形KLMN中的对边线MN退化为过M点的竖向直线。

对角线LN的极点D在无穷远处，调和点列只剩下A、B、C三点，对角线KM的极点C必定平分抛物线内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB的连线，即AC＝CB。

命题1：

已知椭圆的斜向割线AB，点J、K是椭圆的顶点，

JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，

连线NA、NB就是椭圆的切线。

命题2：

已知双曲线的斜向割线AB，点J、K是双曲线的顶点，

JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，

连线NA、NB就是双曲线的切线。

  命题3：

已知抛物线的斜向割线AB，点J是抛物线的顶点，

JA与B点竖垂线交于F点，JB与A点竖垂线交于E点，确定EF的中点N点，

连线NA、NB就是抛物线的切线。

命题4（高斯方法）：

已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，

AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，

PS、PT就是椭圆的切线。

命题5：

已知双曲线外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意双曲线割线，

AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与双曲线交于S、T两点，

PS、PT就是双曲线的切线。

   命题6：

已知抛物线外一点P,过P点作PAB与PCD二条任意抛物线割线，

AD、CB交于Q点，在y轴上确定一点R，连线QR与抛物线交于S、T两点，

PS、PT就是抛物线的切线

命题7：

已知抛物线外一点P，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，

过P点作竖向垂线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作竖向垂线与AC交于Q点。

在y轴上确定一点R，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点

，PS、PT就是抛物线的切线。

命题8：

已知抛物线外一点P，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，

过P点作水平线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作水平线与AC交于Q点。

在x轴上确定一点R，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，

PS、PT就是抛物线的切线。