无锡初三几何.docx

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无锡初三几何

初三几何2

一．解答题（共24小题）

1．如图，已知∠XOY＝90°，正△PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一顶点B在∠XOY的内部．

（1）当顶点P在射线OY上移动到点P1时，连接AP1，请用尺规作图∠XOY内部作出以AP1为边的正三角形（要求：

保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）设AP1交OB于点C，AB的延长线交B1P1于点D．求证：

△ABC∽△AP1D；

（3）连接BB1，求∠ABB1的度数．

2．在△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tanC＝3，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD．

（1）如图1，将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B、D分别与点E、F对应），连接AE，当点F落在AC上时（F不与C重合），求AE的长；

（2）如图2，△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到的，射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．

3．有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9．

（1）如图1，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如图2，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK＝3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中有A、B两点，请在x轴上找一点C，将△ABC沿AC翻折，使点B的对应点D恰好落在x轴上．

（1）利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点C；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（5，2），请求出点C的坐标．

5．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：

若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．

特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．

（1）当⊙O的半径为1时．

①分别判断点M（2，1），N（

，0），T（1，

）关于⊙O的反称点是否存在？

若存在，求其坐标；

②点P在直线y＝﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣

x+2

与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

6．某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．

（1）求AB、BC的长；

（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2＝7，求t1、t2的值．

7．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．

（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　　．

8．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．

（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）

（2）问：

（1）中这样的直线AC是否唯一？

若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．

9．操作：

小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

说明：

方案一：

图形中的圆过点A、B、C；

方案二：

直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点

纸片利用率＝

×100%

发现：

（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．

（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．

探究：

（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

说明：

方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．

10．已知如图1，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，A＝30°，BC＝2cm，射线CK平分∠BCA，点O从C出发，以

cm/秒的速度沿射线CK运动，在运动过程中，过O作OD⊥AC，交AC边于D，当D到A时，点O停止运动，以O为圆心，OD为半径画圆O．

（1）经过　　秒，⊙O过点A，经过　　秒⊙O与AB边相切；

（2）求经过几秒钟，点O运动到AB边上；

（3）如图2，当⊙O在Rt△ABC内部时，在O出发的同一时刻，若有一点P从B出发，沿线段BC以0.5cm/秒的速度向点C运动，过P作PQ∥AB，交CD于Q，问经过几秒时，线段PQ与⊙O相切？

11．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作

、

、

，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点I为对称轴的交点．

（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为　　；

（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE＝2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；

（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为　　（请用含n的式子表示）

12．如图

（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．

（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；

（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；

（3）如图

（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．

13．

（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK交于点F，连接CF．求证：

∠AFE＝∠CFD．

（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点．

①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②在①的条件下，如果∠G＝60°，GM＝3，P为MN中点，求MQ的长度．

14．如图，在平面直角坐标系中，一直线y＝

m（m＞0）分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A、点D关于原点对称，过点A的抛物线y＝﹣

mx

m2与射线AB交于另一点C，若将△ACO沿着CO所在的直线翻折得到△A′CO，△A′CO与△COD重叠部分的面积为△COD的

．

（1）求B、D两点的坐标（用m的代数式表示）．

（2）当A′落在抛物线上时，求二次函数的解析式．

15．定义：

只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．

（1）识图：

如图

（1），损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径线段为　　．

（2）探究：

在上述损矩形ABCD内，是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？

如果有，请指出点O的具体位置；若不存在，请说明理由．

（3）实践：

已知如图三条线段a、b、c，求作相邻三边长顺次为a、b、c的损矩形ABCD（尺规作图，保留作图痕迹）．

16．如图1，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．

（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？

若能，求出此时BD的长；若不能，请说明理由；

（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作▱ADEF．

①▱ADEF的面积是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．

17．如图①，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CAB＝30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5

），AB＝10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为　　；

（2）求

（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的最大值及S取最大值时点P的坐标；

（3）如果点P，Q保持

（1）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有　　个．

18．如图，已知线段AB．

（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB为腰、底角等于30°的等腰△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）在

（1）的前提下，若AB＝2cm，则等腰△ABC的外接圆的半径为　　cm．

19．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC

画图操作：

（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）

理解应用：

（2）在

（1）的条件下，

①若tan∠APB＝

，求点P的坐标；

②当点P的坐标为　　时，∠APB最大

拓展延伸：

（3）若在直线y＝

x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．

20．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．

（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　；

（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．

请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择　　题．

A：

①求线段AD的长；

②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？

若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

B：

①求线段DE的长；

②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．问题提出

（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：

当点A位于　　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　　（用含a，b的式子表示）．

问题探究

（2）点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．

问题解决：

（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

②如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4

，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．

22．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝10，请用直尺和圆规按下列步骤作图

（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；

（1）在BC边上作出点E，使得cos∠BAE＝

（2）在

（1）作出的图形中

①在CD上作出一点F，使得点D、E关于AF对称；

②四边形AEFD的面积＝　　．

23．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：

在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．

（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

（2）线段OC的最大值为　　．

【灵活运用】

（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

【迁移拓展】

（4）如图③，BC＝4

，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．

24．已知：

矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上．

（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；

（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；

（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．

二．填空题（共3小题）

25．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是　　．

26．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C．当△PAB是以AP为腰的等腰三角形时，线段BC的长为　　．

27．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段

PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是　　．

三．选择题（共4小题）

28．已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝7

，BC＝17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为（　　）

A．25

B．

C．

D．

29．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝

（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为

，则k的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

30．如图，正方形ABCD中，AB＝2

，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值（　　）

A．2

B．

+2C．2

﹣2D．5

31．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（　　）

A．

+3B．2

﹣2C．2

﹣

D．2

+3