三元一次方程及其解法.docx

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三元一次方程及其解法

三元一次方程组及其解法

1.三元一次方程的定义：

含有三个未知数的一次整式方程

2.三元一次方程组：

由三个一次方程（一元、二元或三元）组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组

3.三元一次方程组的解：

能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值

解题思路：

利用消元思想使三元变二元，再变一元

4.三元一次方程组的解法：

用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．

例题解析

一、三元一次方程组之特殊型

例1：

解方程组

分析：

方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。

解法1：

代入法，消x.

把③分别代入①、②得

解得

把y=2代入③，得x=8.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：

类型一：

有表达式，用代入法型.

针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。

解法2：

消z.

①×5得5x+5y+5z=60④

④-②得4x+3y=38⑤

由③、⑤得

解得

把x=8,y=2代入①得z=2.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：

类型二：

缺某元，消某元型.

例2：

解方程组

分析：

通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。

具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。

解：

由①+②+③得4x+4y+4z=48，

即x+y+z=12.④

①-④得x=3，

②-④得y=4，

③-④得z=5，

∴

是原方程组的解.

典型例题举例：

解方程组

解：

由①+②+③得2（x+y+z）=60，

即x+y+z=30.④

④-①得z=10，

④-②得y=11，

④-③得x=9，

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型三：

轮换方程组，求和作差型.

例3：

解方程组

分析1：

观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:

y=1:

2得y=2x；由x:

z=1:

7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即

，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。

解法1：

由①得y=2x，z=7x，并代入②，得x=1.

把x=1，代入y=2x，得y=2；

把x=1，代入z=7x，得z=7.

∴

是原方程组的解.

分析2：

由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:

y:

z=1：

2：

7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。

解法2：

由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.

把k=1，代入x=k，得x=1；

把k=1，代入y=2k，得y=2；

把k=1，代入z=7k，得z=7.

∴

是原方程组的解.

典型例题举例：

解方程组

分析1：

观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x=

y；由③得z=

.从而利用代入法求解。

解法1：

略.

分析2：

受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:

y:

z的形式呢？

通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:

x=15:

10，由③×3得y:

z=15:

12,于是得到x:

y:

z=10:

15:

12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。

解法2：

由②、③得x:

y:

z=10:

15:

12.

设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.

把k=3，代入x=10k，得x=30；

把k=3，代入y=15k，得y=45；

把k=3，代入z=12k，得z=36.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型四：

遇比例式找关系式，遇比设元型.

二、三元一次方程组之一般型

例4：

解方程组

分析：

对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：

一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：

（一）消元的选择

1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；

2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。

（二）方程式的选择

采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。

解：

（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）

①+③得5x+2y=16，④（体现第一次使用在①③后做记号√）

②+③得3x+4y=18，⑤（体现第二次使用在②③后做不同记号△）

由④、⑤得

解得

把x=2，y=3代人②，得z=1.

∴

是原方程组的解.

典型例题举例：

解方程组

分析：

通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。

以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。

解：

②×2得6x－4y+10z=22，④

2x+4y+3z=9，①

①+④得8x+13z=31.⑤

②×3得9x－6y+15z=33，⑥

5x－6y+7z=13，③

⑥－③得4x+8z=20.

x+2z=5.⑦

由⑤、⑦得

解得

把x=-1，z=3代人①，得

.

∴

是原方程组的解.

在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。

课堂练习

1.解下列方程组

（1）

（2）