工程力学第六章答案梁的变形.docx
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工程力学第六章答案梁的变形
第五章梁的变形
测试练习
1.判断改错题
5-1-1梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角亦为零.
（）
5-1-2两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（）
5-1-3悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在AB段上作等效平移，则A截面的转角及挠度都不变。
（）
题5-1-3图
5-1-4图示均质等直杆（总重量为W,放置在水平刚性平面上，若A端有一集中力P作用，使AC部分被提起，CB部分仍与刚性平面贴合，则在截面C上剪力和弯矩均为零。
（）
///f//////f//
CB
题5-1-4图
5-1-5挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。
（）
5-1-6等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（）5-1-7两简支梁的抗刚度曰及跨长2a均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。
（）
5-1-8简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一个集中力偶M作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变。
（）
题5-1-7图
22
题5-1-8图
5-1-9一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。
（）5-1-10图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。
（）
2.填空题
M（x）
5-2-1挠曲线近似微分方程y（x）］丿的近似性表现在和。
Pi
5-2-2已知图示二梁的抗弯度曰相同，若使二者自由端的挠度相等，则二
P2
2a
5-2-3应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：
。
5-2-4在梁的变形中挠度和转角之间的关系是。
5-2-5用积分法求图示的外伸梁（BD为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是，连续条件是。
5-2-6用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是，
连续条件是。
5-2-7图示结构为次超静定梁。
5-2-8纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的关系为，其变形曲线为曲线。
5-2-9两根日值相同、跨度之比为1：
2的简支梁，当承受相同的均布荷载q作用时，它们的挠度之比为。
5-2-10当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的次方程。
梁上作用有集中力
时，挠曲线方程是x的_次方程。
梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的_次方程。
5-2-11图示外伸梁，若AB段作用有均布荷载，BC段上无荷载，则AB段挠曲线方程是x的次方程；BC段挠曲线方程是x的次方程。
5-2-12减小梁变形的王要途径有:
Px
5-2-13已知梁的挠度曲线方程为y（x）（3lx），则该梁的弯矩方程为。
6EI
5-2-14梁的变形中，挠度和截面弯矩M的关系是,挠度和截面剪力Q的关系是
5-2-15为使图示AB段的挠曲线为一直线，则x=。
5-2-16要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端l/3处，则MM。
5-2-17图示静定梁，其BD上无荷载作用，若已知B截面的挠度Yb,则C截面的挠度Yc=_d截面的转角ed=。
3.选择题
5-3-1简支梁长为I，跨度中点作用有集中力P,则梁的最大挠度f=（）（曰=常量）
5-3-2悬臂梁长为I,梁上作用有均布荷载q,则自由端截面的挠度为。
5-3-3两梁尺寸及材料均相同，而受力如图示，则两梁的
A.弯矩相同，挠曲线形状不相同
B.弯矩相同，挠曲线形状相同
C.弯矩不相同，挠曲线形状不相同
D.弯矩不相同，挠曲线形状相同
5-3-4图示（a）、（b）两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图（a）梁的外力偶矩作用在C截面，图（b）梁的外力偶矩作用在B支座的右作侧，则两梁AB段的内力和弯曲变形的比较是
（）。
A.内力相同，变形不相同
B.内力及变形均相同
C.
内力及变形均不相同
D.内力不相同，变形相同
5-3-5当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0,
0a=0;x=0,yA=0外，另两个条件是（）。
A.（yc）左=（yc）右，（0c）左=（0c）右
B.（yc）左=（yc）右,yB=O
C.yc=O,yB=O
D.yB=O,0c=O
5-3-6图示简支梁在分布荷载q（x）=f（x）作用下，梁的挠度曲线方程为
O,D
O,D
题5-3-5图
B.CO,D
DCO,D
y题5-3-6图
5-3-7挠曲线方程中的积分常梁主要反映了
A.对近似微分方程误差的修正
B.剪力对变形的影响
C.约束条件对变形的影响
D.梁的轴向位移对变形的影响
5-3-8图示悬臂梁在B、C两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反,使梁产生弯曲变形。
B截面的变形为（）。
a.yO,
O
b.yO,
O
J
MBZ
c
C.yO,
O
D=yO,
O
¥
i
I
题5-3-8图
5-3-9图示简支梁受集中力作用，
其最大挠度f发生在（
）。
A.集中力作用处
Bo跨中截面
C.转角为零处Db转角最大处
5-3-1O两简支梁日及I均相同，作用荷载如图所示。
跨中截面C分别产生挠度yC和转角0c,则两梁C点的挠度及两梁C点的转角有（）。
A.0C相等，yc不相等Bo0C不相等，yc相等
C.0c和都不相等Db0c和yc都相等
题5-3-1O图
4.计算题
5-4-1试画出图示各梁挠曲线的大致形状。
I
22
（f
）
5-4-2一简支梁承受图示分布荷载q=Kx2（K为已知），试求此梁的挠曲线方程（设日=常量）。
5-4-3已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为
试求方程中的积分常量。
5-4-4试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。
（日=常量）
5-4-5外伸梁受图示荷载作用，试求C截面的挠度和A截面的转角。
（日=常量。
）
5-4-6矩形截面梁AB的抗弯刚度为曰，受力如图示。
试问B端支座向上抬高△为多少时,
梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。
（材料的抗拉与抗压性能相同）
5-4-7图示弯曲的钢板梁AB,截面为矩形，宽度为b,高度为h,钢板放在刚硬地面上时原有曲率半径为p,在两端受力P作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面C-C上。
已知刚梁E（弹性模量），试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。
5-4-8长度为I、抗弯刚度为曰的悬臂梁AB,受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为r的刚性圆柱面接触，如图所示。
试求当梁上某一段AC与刚性圆柱面在C点接触（假设C点与梁左端A的距离为x）时，B点的挠度。
5-4-9单位长度重量为q、抗弯刚度为曰的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的一端伸出水平面一小段CD,如图所示。
若伸出长度为a,试求刚条翘起而不与水平面接触的CD段的长度b。
试求梁的反力。
5-4-11矩形截面悬臂梁如图所示，梁长为l,在沿其截面高度h承受非均匀加热，设梁顶部温度改变为t1,底部温度改变为t2,且t2>t1。
温度沿截面高度呈线形改变。
材料的线膨胀系数为a,弹性模量为E由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂端施加偶矩M时，能使梁展直。
问应施加多大的外力偶矩？
题5-4-11图
5-4-12悬臂梁AB和CD的自由端处用拉杆BC相连,受力如图所示,若AB梁和CD梁的抗弯刚度日相等，试求在下列两种情况下C点的挠度•
（1）当BC杆为刚性杆,即EA=8时；
（2）当BC杆长为丄，EI
2
耳时。
l2
题5-4-12
图
5-4-13AB与BC两梁铰接于B如图所示。
已知两梁的抗弯度相等，P=40kNm，试求B点的约束力。
5-4-14悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。
已知E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之间的间隙△（垂直距离），如图所示，当受P力后AB梁在B点的挠度大于△，试求各梁的支座反力。
5-4-15具有初始挠度的AB梁如图所示，梁的日和I均为已知。
当梁上作用有三角形分布荷载时（qo已知），梁便呈直线形状。
试求梁的初始挠曲线方程。
5-4-16试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。
曰=常量
5-4-17两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩M,如图所示。
欲使在固定端A的反力偶矩MA为零，则力偶矩M应作用在梁上何位置？
（即x=?
）
惯性矩Iz是相等的。
而应力不仅与Iz有关而且还与ymx（上下边缘到中性轴的距离）有关,〒这种方法的最大拉应力比丄这种方法的最大拉应力要大。
5-1-10X弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。
2.填空题
5-2-1忽略剪力Q的影响；1（y'）1
5-2-28。
因叵沖，所以旦尊
3EIa3F2a3
5-2-3小变形及材料为线弹性
5-2-4y（x）（x）
5-2-5
x0,yA0
xl,
yB
lBD
5-2-
6
y0,yB
0;
（1）A
（2）A,
（%）A
y2）A
5-2-
7
二次
5-2-8—M;圆弧线
El
44
5-2-91:
16。
因5q（l）/5q（2l）1/16
384El384EI
5-2-104;3;2
5-2-114;1
5-2-12合理安排受力，减小M;减小I;加大EI
5-2-13M（x）P（lx）
Q（x）
EI
B5-3-5B
M（x）
5-2-14y（x）計y（x）
5-2-15l-a
5-2-161/2
1
5-2-17yc-yB/2a
2
3.选择题5-3-1A5-3-2C5-3-3A5-3-45-3-6D5-3-7C5-3-8D5-3-9C5-3-10B
4计算题
5-4-2梁的挠曲线方程为
（1）求分布荷载的合力
t
0q（x）dx
Kl
（2）
求反力：
RA4
KI3
i2
Ri
3
3PKI
B44
（3）
列M（x）
RaX
Kx3
3
X
4
（4）
代入y"
M（x）
EI
中并积分，
由边界条件确定C
所以
y（x）
Kx
360EI
p（5I3
x2x54I5）
5-4-3
（1）边界条件：
Xi0,
y'1i
0,解出Ci
0
Xi
0,yi
0,，解出Di
0
（2）连续光滑条件：
Xi
1
X2,
2
1
（yi）c
1
（y2
）C,解出C20
Xi
1
X2,
2
（yJc
）C,，
解出D20
5-4-4
（i）只有q作用时，（
B）q
13|4
qi、、qi6EIq8EI
（2）只有F=ql作用时：
（B）F
c）F
p
（2）2
2EI,
（yB）P
（yc）P
（C）P
I3
IP（?
‘p
（2）21
2
3EI
2EI2
P
（3）然后两者叠加:
KI5
D0
90
B（B）q（
7ql3
24EI
yB（B）q（B）P
11ql4
48EI
5-4-5
（1）只有M0
12
-ql作用时，（a）m0
M°l
3EI
）,yCM0（B）M0~（）
（2）只有q作用时,
A）q
（討2）l
6EI
（.）
（3）叠加:
yc
5-4-6
（1）
（2）由A
（yc）q
（A）M0
（yC）M0
（jql2）l
3EI
|_
2
l4
q（-）
启（・）
（A）q
（yc）q
7ql3
48EI,
5ql4
384EI
将B约束解除，用反力Rb代替。
C两截面的弯拒绝对值相等可列方程丄RBI
2
1P
PRBl，解出RB（）
23
P
⑶在P和rb3作用下，求B点的挠度。
5-4-7
（1）
这是一个求变形和应力的综合题。
求压力P:
依题意，当两端加上力P后使其平直且在C-C面上产生均布压力q,因此
2P
可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为P,GC面上的均布压力q
l
4
（2）
简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等于3,旦，解出P^E^（-）3
384EI5l
当q=0时，AB梁上没有外力，梁轴线平直，A端曲率为零。
当荷载q由0增加，到
当qqo时，梁上某一段AC与刚性面接触，C点端曲率为丄1
（x）rEl
yb（yB）i（yB）2（yB）3
'2EI
1（2EI
5）2为C点的转角引起B点的挠度（yB）2丄（1竺
r、
（yB）3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度
（yB）38EL（1x）4器
1EI
④以上三种挠度叠加，即为点B的挠度yB—（——12）
2rqr
5-4-9由于AB段平直，所以B点的弯矩、转角及挠度均等于零。
B点和C点与刚性平面接
触，简化为铰支座，则BCD端简化为外伸臂梁。
在该梁上作用有均布荷载q（自重）但要满足
B0的条件，如图（a）所示。
求Bb时，可取BC为简支梁，而CD上的均布力向C点平
解出
b、2a
B_
△IPD
Bqa/2
5-4-10这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。
将C约束解除，用约束力
5-4-11梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于t2>t1,所以轴线以上伸长
少，而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度，设为（△b）tO在梁的自由端上作用力偶矩M后，能使变形展直，B点又回到原水平位置，设M作用下B点
的挠度为（b）m0o由（△b）t=（b）m0,变形条件可以解出M值。
其中
5-4-13这是一个二次超静定问题。
若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问题简化为B铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。
在B铰处切断，用约束力FB代替，取出基本结构，并根据B点的变形协调条件建立补充方程（yB）A=（yB）Bc
代入变形协调方程求出R=
5-4-14因为AB梁点的挠度大于厶，因此在P作用下AB梁与CD梁共同受力，成了一次超静定问题。
若将两梁拆开，约束反力R分别作用在梁上，则成为基本结构。
变形协调方程为
（yB）AB（yB）CD代入变形协调方程解出R16P彳洱，并由平衡条件求个梁的约束反力,
171713
R
RcRd-,RaPR,Ma（PR）l.
5-4-15
（1）将A端的约束反力用MA、RA表示；
1213
（2）列出弯矩方程M（x）MARAxq0x2q0x3
26l
（3）代入挠曲线近似微分方程并积分；
（4）根据A端的位移边界条件求出
C=0,D=0;
（5）根据B端的边界条件，
即
x=l时，
M=0（即y”
=0）;x=l时，yB=0解出
122
Maq0l,Raq0l
155
;
（6）最后的出初始挠度曲线方程
y
2
q°x
120lEI
（4l38l2x
5lx2x3）。
5-4-16结构为对称，而外力M为反对称。
若将结构取出一半（如取左边一半），则成为A
端为固定端、C端为铰支座的单跨超静定梁。
在C截面上作用有力偶矩匹，AC段的长度
2
为丄。
只要解出AC梁的挠度方程即可，CB段的挠度曲线与AC段组成反对称的挠度曲线,
2
5-4-17若不计梁AB的轴向变形，这是一个二超静定问题。
将A固定端解除用约束反力FA、
M=0，代替，并由A点的0a=0、y=0的变形条件建立两个补充方程，并令M=0,求出x-。
3
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