XX届高考数学备考复习教案转化与化归思想.docx
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XX届高考数学备考复习教案转化与化归思想
XX届高考数学备考复习教案：
转化与化归思想
专题七：
思想方法专题
第四讲转化与化归思想
【思想方法诠释】
数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的最重要的思想方法．在高中数学的学习中，它无个不在，比如：
处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．
．转化与化归的原则
目标简单化原则：
将复杂的问题向简单的问题转化．
和谐统一性原则：
即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当．
具体化原则：
即化归言论自由应由抽象到具体．
低层次原则：
即将高维空间问题化归成低维空间问题．
正难则反原则：
即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．
．转化与化归常用到的方法
直接转化法：
把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
换元法：
运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
数形结合法：
研究原问题中数量关系与空间形式关系，通过互相变换获得转化途径．
构造法：
“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
坐标法：
以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．
类比法：
运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．
特殊化方法：
把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．
等价问题法：
把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．
加强命题法：
在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：
原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．
补集法：
如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集使原问题得以解决．
【核心要点突破】
要点考向1：
函数、方程、不等式之间的转化
例1：
已知函数f=x2+2x+alnx．或函数f在区间在区间≥0在在在区间为定义在实数R上的奇函数，且f在[0,+∞）上是增函数．当时，是否存在这样的实数，使对所有的均成立？
若存在，求出所有适合条件的实数；若不存在，请说明理由．
思路精析：
由奇偶性及单调性→f单调性→关于的不等式→一元二次不等式恒成立→函数最值→的范围．
解析：
由f是R上的奇函数可得f=0．又在[0,+∞）上是增函数，故f在R上为增函数．由题设条件可得又由f为奇函数，
可得∵f在R上为增函数，∴即
．令于是问题转化为对一切0≤t≤1,不等式t2-t+2-2＞0恒成立．
又
∴存在实数满足题设的条件，
注：
根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，常见的有：
在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式化的“三用”、角度的转化、函数的转化等．
换元法：
是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要方法．
在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数，平面几何、解析几何语言进行转化．
在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．
在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值、切线问题，转化为其导函数f’构成的方程、不等问题求解．
在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．
实际问题与数学模型之间的转化．
【跟踪模拟训练】
一、选择题
．若复数是纯虚数，则
A．B．c．D．2
．已知是定义在上的增函数，函数的图像关于点对称，若满足，则当时，的取值范围是
A．B．c．D．
．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于、两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是.jb1000.4．将一个正方体截去四个角得到一个四面体BDA1c1，这个四面体的体积是正方体体积的
对于抛物线y2=4x上任意一点Q，如果点P满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是
A．2B．c．4D．
二、填空题
．，当A∩B有且只有一个元素时，a、b满足的关系式是
当x∈时，不等式x2+x+4＜0恒成立，则的取值范围是_______.
如图,三棱锥P—ABc中,各条棱的长都是2,E是侧棱Pc的中点,D是侧棱PB上任一点,则△ADE的最小周长为_____.
三、解答题
0．已知向量=，向量与向量夹角为，且•=-1，
求向量；
若向量与向量=的夹角为，向量=，其中A、c为ABc的内角，且A、B、c依次成等差数列，试求+的取值范围。
1．已知可行域的外接圆c与轴交于点A1、A2，椭圆c1以线段A1A2为短轴，离心率
求圆c及椭圆c1的方程；
过椭圆c1上一点P向圆c引两条切线PA、PB、A、B为切点，直线AB分别与x轴、y轴交于点、N．求△oN面积的最小值．．
．设函数
当曲线处的切线斜率
求函数的单调区间与极值；
已知函数有三个互不相同的零点0，，且。
若对任意的，恒成立，求的取值范围。
参考答案
．A
．c
．A
．解析：
选B．设正方体棱长为a，则
．
．A
．解析：
A∩B有且只有一个元素可转化为直线与圆相切，故
．【解析】不等式x2+x+4＜0在恒成立，又x∈∴g′＞0,
∴g在为单调增函数，∴≤-5.
答案：
≤-5
．【解析】把空间问题化归成平面问题,是立体几何中化归思想最重要的内容.有这种思想作指导,结合题干图,由于AE是定长:
故只要把侧面PAB、PBc展平,那么当A、D、E三点共线时的AE长,即AD+DE的值最小.
在如图所示的△AEP中,PA=2,PE=1,∠APE=120°,故依余弦定理有AE2=22+12-2•2•1•cos120°=7,所以AE=,于是得△AED的最小周长为.
答案：
0．解析：
设=
则由=得：
cos==①
由•=-1得x+y=-1②
联立①②两式得或
∴=或
∵=
得•=0
若=则•=-10
故∴=
∵2B=A+c，A+B+c=
B=∴c=
+=
=
∴+===
=
=
∵0 ∴0<2A<
∴-1 ∴+
1．解析：
由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，∵，∴为直角三角形，┅┅┅┅┅┅┅2分
∴外接圆c以原点o为圆心，线段A1A2为直径，故其方程为．
∵2b=4，∴b=2．又，可得．
∴所求椭圆c1的方程是．┅┅┅┅┅┅┅4分
设A，B，，oA的斜率为，则PA的斜率为，则PA的方程为：
化简为：
，
同理PB的方程为┅┅┅┅┅┅┅6分
又PA、PB同时过P点，则x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
∴AB的直线方程为：
x0x+y0y=4┅┅┅┅┅┅┅8分
从而得到、所以┅┅8分当且仅当.┅┅┅┅┅┅┅12分
．解析：
当
所以曲线处的切线斜率为1.
令，得到
因为
当x变化时，的变化情况如下表：
极小值
极大值
在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得
综上，的取值范围是
【备课资源】
．设椭圆的半径焦距为c，直线过和，已知原点到的距离等于，则椭圆的离心率为
解析：
选B．由已知得：
．某小组共10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为
解析：
选B．利用正难则反转化：
．从双曲线的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线l,切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点是线段FP的中点，o为坐标原点，则|o|-|T|等于4.已知a＞0，f=ax2-2x+1+ln，l是曲线y=f在点P）处的切线.
求l的方程；
若切线l与曲线y=f有且只有一个公共点，求a的值；
证明：
对于任意的a=n,函数y=f总有单调递减区间，并求出f的单调递减区间的长度的取值范围.（区间［x1,x2］的长度=x2-x1）
【解析】∵f=ax2-2x+1+ln,f=1.
∴f′=-1,
即切点P，l斜率为-1，
∴切线l的方程：
y=-x+1.
切线l与曲线y=f有且只有一个公共点等价于方程ax2-2x+1+ln=-x+1，
即ax2-x+ln=0有且只有一个实数解.
令h=ax2-x+ln,
则方程h=0有且只有一个实数解.
∵h=0,∴方程h=0有一解x=0.5.设函数f=x2-lnx,h=x2-x+a.
当a=0时，f≥h在（1，+∞）上恒成立，求实数的取值范围；
当=2时，若函数=f-h在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
是否存在实数,使函数f和函数h在公共定义域上具有相同的单调性？
若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
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