李永乐线性代数冲刺笔记打印版.docx

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李永乐线性代数冲刺笔记打印版

线性代数冲刺笔记

【例题1】B＝，A2－2AB＝E，r（AB－2BA＋3A）＝（）

（A）1（B）2（C）3（D）与a有关

【解】∵A（A－2B）＝E

∴A可逆，且A－1＝A－2B

A（A－2B）＝（A－2B）A（AA－1＝A－1A）

AB＝BA

那么，AB－2BA＋3A＝3A－AB＝A（3E－B）

又，A可逆，知

r（AB－2BA＋3A）＝r（A（3E－B））＝r（3E－B）

a有|3E－B|＝0，又3E－B有二阶子式不得零，从而r（3E－B）＝2.

【评注】

本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法.

设矩阵A－n阶，B－n阶，若AB＝BA＝E，则称矩阵A可逆，且B为A的逆矩阵.由此有AA－1＝A－1A.

【例题2】Am×n，η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，α是Ax＝b的一个解.

（I）证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.

（II）证明Ax＝b的任意一个解都可以由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性表出.

【分析】η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必定线性无关，从而证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关可以用定义法。

【证】（I）（用定义，重组，同乘）

设k0α＋k1（α＋η1）＋k2（α＋η2）＋…＋kT（α＋ηt）＝0

（1）

即（k0＋k1＋k2＋…＋kT）α＋k1η1＋k2η2＋…＋kTηt＝0

（2）

由Aα＝b，Aηi＝0（i＝1，…，t），用A左乘

（2），有

（k0＋k1＋k2＋…＋kt）Aα＋k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ktAηt＝0

即（k0＋k1＋k2＋…＋kt）b＝0

又b≠0，有k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0（3）

带入

（2）有k1η1＋k2η2＋…＋ktηt＝0，

而η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必定线性无关，

从而k1＝k2＝…＝kt＝0，带入（3）有k0＝0.

所以k0＝k1＝k2＝…＝kt＝0α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.

（或用秩）

∵η1，η2，…，ηt线性无关，α是Ax＝b的解α不能由η1，η2，…，ηt线性表出.

x1η1＋x2η2＋…＋xtηt＝α无解r（η1，η2，…，ηt）≠r（η1，η2，…，ηt，α）

∵r（η1，η2，…，ηt）＝tr（η1，η2，…，ηT，α）＝t＋1

r（α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt）＝t＋1α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.

（II）设β是Ax＝b的任意一个解，则β－α是Ax＝0的解.

从而β－α＝l1η1＋l2η2＋…＋ltηt.

β＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋ltηtβ＝（1－l1－l2－…－lt）α＋l1η1＋l2η2＋…＋ltηt

即β可由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt表出.

【评注】

本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的概念：

设有向量小组η1，η2，…，ηt满足：

（1）Aηi＝0（i=1，…，t），即ηi是Ax＝0的解.

（2）Ax＝0的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt表出.

（3）η1，η2，…，ηt线性无关.

那么称η1，η2，…，ηt为Ax＝0的基础解系.

也就是说若η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必满足上述3条。

【例题3】Am×n，r（A）＝n，α1，α2，…，αs是n维列向量.

证明：

α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关.

【证】必要性（用定义）

设k1Aα1＋k2Aα2＋…＋ksAαs＝0，即A（k1α1＋k2α2＋…＋ksαs）＝0.

由Am×n，r（A）＝nAx＝0只有零解.

故k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0，又α1，α2，…，αs线性无关k0＝k1＝k2＝…＝ks＝0.

从而Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关.

充分性（用秩）

因为Aα1，Aα2，…，Aαs＝A（α1，α2，…，αs），所以

r（Aα1，Aα2，…，Aαs）＝r（A（α1，α2，…，αs））≤r（α1，α2，…，αs）

由Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关知r（Aα1，Aα2，…，Aαs）＝s.

而r（α1，α2，…，αs）≤s，从而r（α1，α2，…，αs）＝sα1，α2，…，αs线性无关.

【例题4】设A＝[α1，α2，α3，α4]，Ax＝β的通解是[1，－2，1，－1]T＋k[1，3，2，0]T，B＝[α3，α2，α1，β＋α4]，γ＝α1－3α2＋5α3，

（I）α1能否由α2，α3线性表出？

（II）α4能否由α1，α2，α3线性表出？

（III）Bx＝γ求的通解.

【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的.

【证】（I）Ax＝β解的结构知r（A）＝3.

由A＝0α1＋3α2＋2α3＝0α1能由α2，α3线性表出.

（II）设x1α1＋x2α2＋x3α3＝α4

由（I）知r（α1，α2，α3）＜3，而r（α1，α2，α3，α4）＝4，知方程组无解，故α4不能由α1，α2，α3线性表出.

（III）由A＝βα1－2α2＋α3－α4＝β，

那么B＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]r（B）＝4.

从而n－r（B）＝2.

因为[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]＝α1－3α2＋5α3

所以[5，－3，1，0]T是Bx＝γ的一个解.

由（I）知α1＋3α2＋2α3＝0，从而[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]＝0，用观察法，取另一个向量使得它与[2，3，1，0]T线性无关，即

[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]＝0，所以Bx＝γ的通解是

[5，－3，1，0]T＋k1[2，3，1，0]T＋k2[－1，－2，1，－1]T，其中k1，k2为任意常数.

【评注】

本题考查了方程组解的结构以及在方程组矩阵未具体给出的时候如何求解方程组的通解.根据题目信息求出系数矩阵的秩后，会用方程组解的理论拼出解得基本形式，要会用观察法得到特解，和线性无关的解向量.

例如本题在选取齐次方程组基础解系时，先由已知条件得到一个解向量[2，3，1，0]T，然后只要另一个解向量的形式为[□，□，1，－1]T，那么这两个向量必定线性无关，从而可以作为基础解系.

【例题5】A＝[α1，α2，α3]，α1≠0满足AB＝0.其中B＝，求α1，α2，α3的一个极大线性无关组,并用它表出其他向量.

【分析】从AB＝0要得想到两方面的信息：

（I）r（A）＋r（B）≤n（II）B的列向量均是Ax＝0的解.

【解】由AB＝0r（A）＋r（B）≤3.

因为A≠0，B≠0知1≤r（A）≤2，1≤r（A）≤2

当k≠9时，r（B）＝2，从而r（A）＝1，此时极大无关组为α1.由AB＝0得

（k－9）α3＝0

又k≠9，故α3＝0，α3＝0α1.

当k＝9时，r（B）＝1，从而r（A）＝1或2.

若r（A）＝1，则极大无关组为α1，

由α1＋2α2＋3α3－α4＝0

若r（A）＝2，则极大无关组为α1，α2（α1，α2必定线性无关，否则r（A）＝1）

【例题6】设A＝，r（A）＝2，则A*x＝0的通解是______.

【分析】若A为n阶方阵，则，从而由r（A）＝2知r（A*）＝1，又|A|＝0，得A*A＝AA*＝|A|E＝0A的列向量是A*x＝0解.由解的结构知应填k1[□，□，□]T＋k2[□，□，□]T的形式.

【解】而由r（A）＝2知r（A*）＝1，所以通解由n－r（B）＝3－1＝2个解向量构成.

又|A|＝0，得A*A＝AA*＝|A|E＝0A的列向量是A*x＝0解.

即[1，0，－1]T，[2，1，a]T，[3，2，4－a]T.

又[2，1，a]T＋[3，2，4－a]T＝[5，4，3]T，显然[1，0，－1]T与[5，4，3]T线性无关，故k1[1，0，－1]T＋k2[5，4，3]T是A*x＝0的通解，其中k1，k2为任意常数.

【例题7】设α1，α2，α3是Ax＝b的解，r（A）＝3，若α1＋α2＝[1，2，3，4]T，α2＋2α3＝[2，3，4，5]T，则Ax＝b的通解是______.

【解】由r（A）＝3知Ax＝0的通解由n－r（B）＝4－3＝1个解向量构成.从而

3（α1＋α2）－2（α2＋2α3）是Ax＝0的解，即[－1，0，1，2]T

（α2＋2α3）－（α1＋α2）是Ax＝b的解，即[1，1，1，1]T

从而，[1，1，1，1]T＋k[－1，0，1，2]T是Ax＝b的通解，其中k为任意常数.

【评注】

由非齐次方程组和齐次方程组解的性质知：

若α1，α2是Ax＝b的解，那么α1－α2是Ax＝0的解.而若α1，α2分别是几个解向量的线性组合时，相减时用最小公倍数的方式选择系数做减法.即若α1，α2分别是2个和3个解向量的线性组合（即α1＝η1＋η2，α2＝η3＋η4＋η5，这里η1，η2，η3，η4，η5也是Ax＝b的解）时，那么3α1－2α2也是Ax＝0的解.另外，在这种情况下求Ax＝b的特解，用除法：

若η1，η2，η3是Ax＝b的解，又已知β＝k1η1＋k2η2＋k3η3，那么β是Ax＝b的解.即用β中解向量的个数

去除.因为A（k1η1＋k2η2＋k3η3）＝k1Aη1＋k2Aη2＋k2Aη3＝（k1＋k2＋k3）b，所以

A（k1η1＋k2η2＋k3η3）＝b

即β是Ax＝b的解.

也可以用减法，设η1，η2，…，ηs是Ax＝b的解，又已知β1＝k1η1＋k2η2＋…＋krηr，β2＝k1η1＋k2η2＋…＋ks－rηs－r，那么β1－β2是Ax＝b的解.即由s和s－r个解向量构成的s－（s－r）个解向量是Ax＝b的解.这里得到r个新的解向量，用上面的除法就可以得到解.特别的，若r＝1，例如得到3－2＝1个解向量就可以直接使用.

【例题8】设A＝只有2个线性无关的特征向量.求A的特征值与特征向量.

【解】3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，则特征值必有重根.

|λE－A|＝＝＝λ（λ－a）（λ－4）＝0.

（1）若a＝0，则λ1＝λ2＝0.

对[0E－A]x＝0，有

，从而α1＝[1，0，1]T，k1α1，其中k1为任意常数.

对[4E－A]x＝0，有

，从而α2＝[－5，4，－11]T，k2α2，其中k2为任意常数.

（2）若a＝4，则λ1＝λ2＝4.

对[0E－A]x＝0，有

，从而α3＝[1，0，1]T，k3α3，其中k3为任意常数.

对[4E－A]x＝0，有

，从而α4＝[1，4，1]T，k4α4，其中k4为任意常数.

【例题9】设A是3阶矩阵，且αTβ＝，A＝αβT＋βαT.

（I）证明0是A的特征值.

（II）证明α＋β，α－β是A的特征向量.

（III）求二次型xTAx的正负惯性指数.

【证】（I）∵αTβ＝βTα＝.

∴βαT，βαT是秩为1的矩阵.

从而r（A）＝r（αβT＋βαT）≤r（αβT）＋r（βαT）＝2＜3.即|A|＝00是A的特征值.

（II）A（α＋β）＝（αβT＋βαT）（α＋β）＝αβTα＋βαTα＋αβ