高二数学上册知识点.docx

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高二数学上册知识点

高二数学知识点总结

《不等等式》

解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。

求差与０比大小，作商和１争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。

非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。

图形函数来帮助，画图建模构造法。

《立体几何》

点线面三位一体，柱锥台球为代表。

距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。

线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。

计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。

射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。

公理性质三垂线，解决问题一大片。

《平面解析几何》

有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。

两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。

三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。

四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。

解析几何是几何，得意忘形学不活。

图形直观数入微，数学本是数形学

《排列、组合、二项式定理》

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。

与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。

归纳出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一起，先选后排是常理。

特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。

排列组合恒等式，定义证明建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。

两条性质两公式，函数赋值变换式。

《复数》

虚数单位ｉ一出，数集扩大到复数。

一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应复平面上点，原点与它连成箭。

箭杆与Ｘ轴正向，所成便是辐角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。

代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，有ｉ多项式运算。

ｉ的正整数次慕，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。

虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想解，注意整体代换术。

几何运算图上看，加法平行四边形，

减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。

利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。

四条性质离不得，相等和模与共轭，

两个不会为实数，比较大小要不得。

复数实数很密切，须注意本质区别。

一、不等式的性质

1．两个实数a与b之间的大小关系

2．不等式的性质

（4）（乘法单调性）

3．绝对值不等式的性质

（2）如果a＞0，那么

（3）|a•b|＝|a|•|b|．

（5）|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

（6）|a1＋a2＋……＋an|≤|a1|＋|a2|＋……＋|an|．

二、不等式的证明

1．不等式证明的依据

（2）不等式的性质（略）

（3）重要不等式：

①|a|≥0；a2≥0；（a－b）2≥0（a、b∈R）

②a2＋b2≥2ab（a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号）

2．不等式的证明方法

（1）比较法：

要证明a＞b（a＜b），只要证明a－b＞0（a－b＜0），这种证明不等式的方法叫做比较法．

用比较法证明不等式的步骤是：

作差——变形——判断符号．

（2）综合法：

从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．

（3）分析法：

从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．

证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．

三、解不等式

1．解不等式问题的分类

（1）解一元一次不等式．

（2）解一元二次不等式．

（3）可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式；

⑦解不等式组．

2．解不等式时应特别注意下列几点：

（1）正确应用不等式的基本性质．

（2）正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．

（3）注意代数式中未知数的取值范围．

3．不等式的同解性

（5）|f（x）|＜g（x）与－g（x）＜f（x）＜g（x）同解．（g（x）＞0）

（6）|f（x）|＞g（x）①与f（x）＞g（x）或f（x）＜－g（x）（其中g（x）≥0）同解；②与g（x）＜0同解．

（9）当a＞1时，af（x）＞ag（x）与f（x）＞g（x）同解，当0＜a＜1时，af（x）＞ag（x）与f（x）＜g（x）同

 平方关系：

 sin^2α＋cos^2α＝1

 1＋tan^2α＝sec^2α

 1＋cot^2α＝csc^2α

 ·积的关系：

 sinα=tanα×cosα

 cosα=cotα×sinα

 tanα=sinα×secα

 cotα=cosα×cscα

 secα=tanα×cscα

 cscα=secα×cotα

 ·倒数关系：

 tanα·cotα＝1

 sinα·cscα＝1

 cosα·secα＝1

 商的关系：

 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

 cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

 直角三角形ABC中,

 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

 余弦等于角A的邻边比斜边

 正切等于对边比邻边,

 ·[1]三角函数恒等变形公式

 ·两角和与差的三角函数：

 cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

 cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

 sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ

 tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）

 tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

 ·三角和的三角函数：

 sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

 cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

 tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）

 ·辅助角公式：

 Asinα+Bcosα=（A²+B²）^（1/2）sin（α+t），其中

 sint=B/（A²+B²）^（1/2）

 cost=A/（A²+B²）^（1/2）

 tant=B/A

 Asinα-Bcosα=（A²+B²）^（1/2）cos（α-t），tant=A/B

 ·倍角公式：

 sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）

 cos（2α）=cos²（α）-sin²（α）=2cos²（α）-1=1-2sin²（α）

 tan（2α）=2tanα/[1-tan²（α）]

 ·三倍角公式：

 sin（3α）=3sinα-4sin³（α）=4sinα·sin（60+α）sin（60-α）

 cos（3α）=4cos³（α）-3cosα=4cosα·cos（60+α）cos（60-α）

 tan（3α）=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

 ·半角公式：

 sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）

 cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）

 tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

 ·降幂公式

 sin²（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2

 cos²（α）=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2

 tan²（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））

 ·万能公式：

 sinα=2tan（α/2）/[1+tan²（α/2）]

 cosα=[1-tan²（α/2）]/[1+tan²（α/2）]

 tanα=2tan（α/2）/[1-tan²（α/2）]

 ·积化和差公式：

 sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

 cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

 cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

 sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]

 ·和差化积公式：

 sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

 sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

 cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

 cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

 ·推导公式

 tanα+cotα=2/sin2α

 tanα-cotα=-2cot2α

 1+cos2α=2cos²α

 1-cos2α=2sin²α

 1+sinα=（sinα/2+cosα/2）²

 ·其他：

 sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

 cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及

 sin²（α）+sin²（α-2π/3）+sin²（α+2π/3）=3/2

 tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

 cosx+cos2x+...+cosnx=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx

 证明：

 左边=2sinx（cosx+cos2x+...+cosnx）/2sinx

 =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin（n-2）x+sin（n+1）x-sin（n-1）x]/2sinx（积化和差）

 =[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

 等式得证

 sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx

 证明:

 左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/（-2sinx）

 =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos（n-2）x+cos（n+1）x-cos（n-1）x]/（-2sinx）

 =-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边

 等式得证

[编辑本段]三角函数的诱导公式

 公式一：

 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

 sin（2kπ＋α）＝sinα

 cos（2kπ＋α）＝cosα

 tan（2kπ＋α）＝tanα

 cot（2kπ＋α）＝cotα

 公式二：

 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

 sin（π＋α）＝－sinα

 cos（π＋α）＝－cosα

 tan（π＋α）＝tanα

 cot（π＋α）＝cotα

 公式三：

 任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

 sin（－α）＝－sinα

 cos（－α）＝cosα

 tan（－α）＝－tanα

 cot（－α）＝－cotα

 公式四：

 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

 sin（π－α）＝sinα

 cos（π－α）＝－cosα

 tan（π－α）＝－tanα

 cot（π－α）＝－cotα

 公式五：

 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

 sin（2π－α）＝－sinα

 cos（2π－α）＝cosα

 tan（2π－α）＝－tanα

 cot（2π－α）＝－cotα

 公式六：

 π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

 sin（π/2＋α）＝cosα

 cos（π/2＋α）＝－sinα

 tan（π/2＋α）＝－cotα

 cot（π/2＋α）＝－tanα

 sin（π/2－α）＝cosα

 cos（π/2－α）＝sinα

 tan（π/2－α）＝cotα

 cot（π/2－α）＝tanα

 sin（3π/2＋α）＝－cosα

 cos（3π/2＋α）＝sinα

 tan（3π/2＋α）＝－cotα

 cot（3π/2＋α）＝－tanα

 sin（3π/2－α）＝－cosα

 cos（3π/2－α）＝－sinα

 tan（3π/2－α）＝cotα

 cot（3π/2－α）＝tanα

 （以上k∈Z）

 对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

 证明:

 已知（A+B）=（π-C）

 所以tan（A+B）=tan（π-C）

 则（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）

 整理可得

 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

 类似地,我们同样也可以求证:

当α+β+γ=nπ（n∈Z）时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

 设a=（x，y），b=（x'，y'）。

1、向量的加法

 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

 AB+BC=AC。

 a+b=（x+x'，y+y'）。

 a+0=0+a=a。

 向量加法的运算律：

 交换律：

a+b=b+a；

 结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）。

2、向量的减法

 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”

 a=（x,y）b=（x',y'）则a-b=（x-x',y-y'）.

4、数乘向量

 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

 当λ＞0时，λa与a同方向；

 当λ＜0时，λa与a反方向；

 当λ=0时，λa=0，方向任意。

 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

 注：

按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

 数与向量的乘法满足下面的运算律

 结合律：

（λa）·b=λ（a·b）=（a·λb）。

 向量对于数的分配律（第一分配律）：

（λ+μ）a=λa+μa.

 数对于向量的分配律（第二分配律）：

λ（a+b）=λa+λb.

 数乘向量的消去律：

①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积

 定义：

两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

 定义：

两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

 向量的数量积的坐标表示：

a·b=x·x'+y·y'。

 向量的数量积的运算率

 a·b=b·a（交换率）；

 （a+b）·c=a·c+b·c（分配率）；

 向量的数量积的性质

 a·a=|a|的平方。

 a⊥b〈=〉a·b=0。

 |a·b|≤|a|·|b|。

 向量的数量积与实数运算的主要不同点

 1、向量的数量积不满足结合律，即：

（a·b）·c≠a·（b·c）；例如：

（a·b）^2≠a^2·b^2。

 2、向量的数量积不满足消去律，即：

由a·b=a·c（a≠0），推不出b=c。

 3、|a·b|≠|a|·|b|

 4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

4、向量的向量积

 定义：

两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。

若a、b不共线，则a×b的模是：

∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：

垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。

若a、b共线，则a×b=0。

 向量的向量积性质：

 ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

 a×a=0。

 a‖b〈=〉a×b=0。

 向量的向量积运算律

 a×b=-b×a；

 （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

 （a+b）×c=a×c+b×c.

 注：

向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式

 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

 ①当且仅当a、b反向时，左边取等号；

 ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号；

 ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。

定比分点

 定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）

 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一个实数λ，使向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

 若P1（x1,y1），P2（x2,y2），P（x,y），则有

 OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式）

 x=（x1+λx2）/（1+λ）,

 y=（y1+λy2）/（1+λ）。

（定比分点坐标公式）

 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

 三点共线定理

 若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线

 三角形重心判断式

 在△ABC中，若GA+GB+GC=0,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

 a//b的重要条件是xy'-x'y=0。

 零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

 a⊥b的充要条件是a·b=0。

 a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。

 零向量0垂直于任何向量.

还有注意一点,不要把点写成叉

圆锥曲线里的弦长公式

d=根号（1+k^2）|x1-x2|=根号（1+k^2）根号[（x1+x2）^2-4x1x2]=根号[（x1-x2）^2+（y1-y2）^2]

圆里相交直线所构成的弦长m,与圆的半径r,圆心到直线的距离d的关系为

（m/2）^2+d^2=r^2

直线

A1x+B1y+C1=0

A2x+B2y+C2=0

平行的充要条件是A1B2+A2B1=0且B1C2+B2C1不等于0

点到直线的距离公式

d=|Ax0+By0+C|/根号（A^2+B^2）

若平行

则d=|c2-c1|/根号（A^2+B^2）

A和B上下两个式子必须相等