初一数学上册知识点及例题.docx
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初一数学上册知识点及例题
丰富的图形世界
（一）
一、重点知识归纳及讲解
1、常见几何体的特征及分类
几何体是从实物中抽象出来的数学模型，常见的几何体有圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球体等，它们各有自身的特征，既有共同点，又有不同点，可以根据其共同点进行分类，可以根据其不同点进行区分.
2、点、线、面、体之间的关系
点动成线、线动成面、面动成体.几何图形是由点、线、面构成的；组成体的面可以是平的，也可以是曲的；面与面相交得到线、线可以是直的，也可以是曲的；线与线相交得到点.
3、棱柱的特性
在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形，侧面都是长方形.
根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等，它们的底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形，长方体和正方体都是四棱柱.
底面多边形的边数为n的棱柱有2n个顶点、3n条棱、n条侧棱、（n＋2）个面、2个底面、n个侧面.
4、棱柱、圆柱、圆锥的表面展开图
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形连成的，沿棱柱表面不同的棱剪开，可以得到不同组合方式的平面展开图.
圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成的.
圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成的.
二、难点知识剖析
1、棱柱与圆柱的异同点
相同点：
圆柱和棱柱都有两个底面.
不同点：
圆柱的底面是圆形，而棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是一个曲面，而棱柱的侧面是四边形.
2、圆柱、圆锥的侧面展开图
圆柱的侧面展开图是一个长方形，一边长是底面的圆周长，相邻一边的长是圆柱的高.
圆锥的侧面展开图是扇形，其半径为圆锥母线长，弧长是圆锥的底面周长.
三、典型例题解析
例1、将如图所示的几何体进行分类，并说明理由.
分析：
几何体的分类不是惟一的，可根据其共同点来进行适当的分类，可按柱体、锥体、球体来分，也可按组成几何体的面的平或曲来分.
答案：
若按柱体、锥体、球体来分类：
（2）（3）（5）（6）是柱体，（4）是锥体，
（1）是球体.
若按几何体的面是平还是曲来分类：
（1）（4）（6）是一类，组成它们的面中至少有一个面是曲面；
（2）（3）（5）是一类，组成它们的各个面都是平面.
例2、将图1所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形？
分析：
通过观察和想象可知，三角形绕直线l旋转一周后，A图得到圆锥，C图得到圆锥，D图得到的几何体是圆柱里挖掉一个圆锥，B图得到图2所示的几何体.
答案：
图1中B图所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到图2所示的几何体.
例3、如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题：
（1）这个八棱柱一共有多少面？
它们的形状分别是什么图形？
哪些面的形状、面积完全相同？
（2）这个八棱柱一共有多少条棱？
它们的长度分别是多少？
（3）沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？
面积是多少？
答案：
（1）这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面，上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同.
（2）这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其它棱长是5厘米.
（3）将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为5×8=40（厘米），宽为6厘米，所以面积是40×6=240（平方厘米）.
例4、如图所示是一多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：
（1）如果面A在多面体的底部，那么哪一面会在上面？
（2）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？
（3）如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？
答案：
（1）面F；
（2）面C； （3）面A
例5、如图所示，哪些图形可以折成一个棱柱？
分析：
由图形可知围成的应为四棱柱（正方体），由四棱柱的特征可知只能有
（1）、（3）、（4），而
（2）的底面重合在一起了.
答案：
由四棱柱的特征可知
（1）、（3）、（4）可折成一个棱柱.
例6、把半径为10cm的半圆折成一个圆锥，则这个圆锥的底面积是多少平方厘米？
分析：
如图所示，把半圆折成圆锥时发现，半圆的弧长就是圆锥底面圆的周长.
解：
设底面圆的半径为r，则有
丰富的图形世界
（二）
一、重点知识归纳及讲解
1、用平面截几何体所得截面的形状
用一个平面从不同的方向去截同一个几何体，所得到的截面形状可能是不同的．在用一个平面去截几何体时，注意观察几何体在切截过程中的变化，充分想像截面可能的形状，可以先找出平面和几何体的面相交而成的线，然后再判断这些线围成的截面形状.
2、从不同方向观察物体
从不同方向观察同一物体时，可能看到不一样的结果．当观察画在纸上面的立体图形时，只能通过想像，推出从其他方向观察这个物体所可能得到的结果.
3、物体的主视图、左视图、俯视图
从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，其中，把正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，合称三视图.
这里所说的主视图、俯视图、左视图是相对于观察者而言的，位于物体不同方向的观察者，他们所画出的主视图、俯视图、左视图可能是不同的.
4、多边形
多边形是由一些线段首尾顺次相连围成的封闭图形，多边形根据它的边数可以分为三角形（即三边形）、四边形、五边形等，多边形的边数为n（n≥3）的叫做n边形．在多边形中，三角形是最基本的图形.
从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，n边形可以分割成（n－2）个三角形，这样，多边形可以化归为三角形来研究．
5、圆、弧及扇形
一条线段绕着它的一端旋转一周形成的图形叫做圆.
圆上两点之间的部分叫做弧，弧是一条曲线.
由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，扇形是由一条曲线和两条线段组成的封闭图形.
一个圆可以被它的半径分割成若干个扇形.
二、难点知识剖析
1、物体三视图的画法及识别
对于简单物体的三视图，要能识别观察方向，能够想像出物体的原形.
对于简单物体以及立方体的简单组合，画它的三视图的关键是确定它们有几列，以及每列方块的个数.
由俯视图画主视图和左视图的方法有二：
一是先摆出几何体，再画出主视图和左视图；二是先由俯视图确定主视图，左视图的列及每列方块的个数，主视图与俯视图列数相同，其每列方块数是俯视图该列中最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，其每列的方块数是俯视图该行中的最大数字.
2、平面图形的组合和分割
再复杂的平面图形都是由若干简单的基本图形组合而成的，生活中许多美丽的图案，就是由三角形、正方形、长方形、多边形、圆、扇形等基本图形组成．对于平面图形能进行简单的分割和组合.
三、典型例题解析
例1、一正方体截去一角后，剩下的几何体有多少条棱？
多少个面？
多少个顶点？
分析：
因为截去一角有多种截法，所以应分情况讨论.
解：
（1）如图
（1），剩下的几何体有15条棱，7个面，10个顶点．
（2）如图
（2），剩下的几何体有14条棱，7个面，9个顶点．
（3）如图（3），剩下的几何体有13条棱，7个面，8个顶点．
（4）如图（4），剩下的几何体有12条棱，7个面，7个顶点．
例2、一几何体被一平面所截后，得一圆形截面，则原几何体是什么形状？
分析：
要使截面是一个圆形，则必须使原几何体有一个曲面，这样的几何体可能是圆锥、圆柱、圆台或球.
解：
如图所示，原几何体可能是：
（1）圆锥；
（2）圆柱；（3）圆台，（4）球.
例3、分别画出如图所示由五块方块摆成两种不同形状的三视图.
分析：
在画三视图前，要仔细观察物体形状，充分发挥空间想像能力，分析它的三视图的可能形状.
解：
（1）的三视图如图
（1）所示.
（2）的三视图如图
（2）所示.
例4、如图所示是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图.
分析：
从正面看，它有三列，每列的方块数依次是2、3、2；从左面看，它有两列，每列的方块数分别是3、2.
解：
这个几何体的主视图、左视图如图所示.
例5、从一个七边形的某个顶点出发，分别连结这个点和其余各顶点，可以把这个七边形分割成多少个三角形？
先想一想，再画一画.
分析：
按这种方式分割，四边形可分成两个三角形；五边形可分成三个三角形；六边形可分成四个三角形；七边形可分成五个三角形，一般地，n边形可分成（n－2）个三角形.
解：
七边形可被分割成五个三角形，如图所示.
正数与负数
一、定义
1、正数：
像，3，2，1.8%这样大于0的数叫做正数．
2、负数：
像－3，－2，－2.7%这样在正数前面加上负号“－”的数叫做负数．
3、0：
0既不是正数，也不是负数．
一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.
对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：
带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.
学会用正、负数表示具有相反意义的量．相反意义的量包含两个要素：
一是意义相反.如向东的反向是向西，上升与下降，收入与支出．二是他们都是数量．
数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准．
二、例题讲解
例1、下列四组数中，都是正数或都是负数的是（ ）
①4，1，
，0.3 ②2，－3，0 ③－1，－0.1，
④－2009，－2，0
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③
分析：
根据正数和负数的特征判断．
答案：
C
例2、将下列各数填入相应的括号内：
－2.5，3.14，－2，＋72，－0.6，0，
．
分析：
要想判断一个数是正数还是负数，首先看它是否为零，如果不是零，就看它前面有没有负号，如果有负号那么它就是负数．
答案：
正数
，负数
注意：
正数前面的“＋”号通常省略.正负数形式上的区别是符号不同，与已学的数的联系是在以前学习的非0整数和分数前加上符号．
例3、下列说法中不正确的是（ ）
A．0是自然数 B．0是正数
C．0是整数 D．0表示没有
答案：
B
例4、一个物体沿着南北方向在运动，若规定向南记作正，向北记作负，则该物体：
（1）向南运动20米记作__________，向北运动50米记作__________；
（2）＋25表示向____运动__________米，－26表示向__________运动__________米；（3）原地不动记作__________．
答案：
（1）＋20米，－50米；
（2）南，25，北，26；
（3）0
注意：
如果没有规定哪种意义的量用正数表示，所以先要指明哪种意义的量用正数表示，其相反意义的量用负数表示.负数表示的是与其具有相反关系的量.
例5、学校篮球队选拔男队员，按规定队员的标准身高为175cm，高于标准身高记录为正，低于标准身高记录为负，现有参选队员5人，量得他们的身高后，分别记录为－6cm，－4cm，＋1cm，＋2cm，－7cm，若实际选拔的男队员的身高为170cm～180cm，那么上述五人中有几人可入选？
答案：
3人可入选．
例6、数学考试成绩以96分以上为优秀，以96分为标准，老师将某组的八名同学的成绩简记为：
＋4，－3，＋10，－10，＋16，－17，0，＋7.5．
（1）分别写出这八名同学的实际成绩；
（2）求出这八名同学的平均分．
答案：
（1）100，93，106，86，112，79，96，103.5．
（2）96.9375．
例7、小虫从某点O出发在同一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次记为（单位：
厘米）：
＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）小虫离开出发点O最远时是多少厘米？
（2）小虫从出发到最后停下来回共爬行多少厘米？
答案：
（1）5，5＋（－3）＝2，2＋10＝12，12＋（－8）＝4，4＋（－6）＝－2，－2＋12＝10，10＋（－10）＝0，最远时是12cm．
（2）5＋3＋10＋8＋6＋12＋10=54cm．
例8、观察下列一列数：
1，－2，－3，4，－5，－6，7，－8，－9，……
（1）请写出这一列数中的第100个数和第2009个数．
（2）在前2010个数中，正数和负数分别有多少个？
（3）2011和－2011是否在这一列数中，若在，请写出它们分别是第几个数？
若不存在，请说明理由．
答案：
（1）100，－2009．
（2）670个正数，1340个负数．
（3）因为第2011个数是正数，所以存在2011，而不存在－2011．
有理数
一、有理数的分类
整数：
正整数、0、负整数统称为整数；
分数：
正分数和负分数统称为分数；
有理数：
整数和分数统称为有理数；
二、例题讲解
例1、下列说法正确的是（ ）
A．有理数是正数
B．有理数包括正数和负数
C．零不是有理数
D．有理数包括正有理数、0和负有理数
答案：
D
例2、下列关于有理数分类正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数和负有理数；
B．有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；
C．有理数分为正有理数，0，分数；
D．有理数分为自然数，负整数，分数．
答案：
D
例3、把下列各数填在相应的大括号里：
－5，2，
，－2，0，2008，－25，6.3，－3.7
答案：
负数{－5，
，－2，－25，－3.7}；
整数{－5，2，－2，0，2008，－25}；
自然数{2，0，2008}；
分数{
，6.3，－3.7}．
例4、在数6.4，－π，－0.6，
，10.1，－2010中（ ）
A．有理数有6个 B．－π是负数
C．非正数有3个 D．以上都不对
答案：
BC
例5、下列各数：
3，－5，
，0.2，0.97，－0.21，－6，3009，
，1．其中正数有________个，负数________个，正分数有________个，负分数有________个，非负整数有________个．
答案：
6；4；3；2；3
例6、按规律填空：
（1）－1，－2，3，－4，－5，6，________，________，________；
（2）
________，________，________；
（3）－1，－3，－5，－7，________，________，________．
答案：
（1）－7，－8，9；
（2）
（3）－9，－11，－13．
例7、将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
（1）在A处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？
（3）第2010个数是正数还是负数？
排在对应于A、B、C、D中的什么位置？
解：
（1）在A处的数是正数；
（2）B和D位置是负数；
（3）第2010个数是正数，排在C的位置．
例8、已知A、B、C三个集合，每个集合中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填在下图圈内的相应位置．
A={－2，－3，－8，6，7}；
B={－3，－5，1，2，6}；
C={－1，－3，－8，2，5}．
答案：
数轴
一、数轴三要素：
原点、正方向、单位长度．
1、包含三个内容：
第一是数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；
第二是数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，缺一不可；
第三是原点的选定、正方向的取向、单位长度的确定都是规定的，通常取向右为正方向．
所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数．
2、数轴的画法
（1）画直线（一般画水平的）；
（2）在直线上取一点定为原点“0”（在原点下方标上“0”）；
（3）取原点向右的方向为正方向，并用箭头表示出来；
（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，4，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点依次表示为－1，－2，－3，…零用原点表示．如图：
二、例题讲解
例1、下列各图中，是数轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：
数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，缺一不可．
答案：
D
例2、数轴上原点及原点左边的点表示__________．
分析：
0和负数叫做非正数，所以数轴上原点及原点左边的点表示的是非正数.
答案：
非正数
例3、如图，指出数轴上A、B、C、D、E分别表示什么数．
A点表示__________；B点表示__________；C点表示__________；D点表示__________；E点表示__________．
答案：
A：
1；B：
－3；C：
2.5；D：
－1；E：
－5．
例4、在数轴上距原点2010个单位长度的点表示的数是（ ）
A．2010 B．－2010
C．2010或－2010 D．以上都不对
答案：
C
例5、2008年8月第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间（单位：
时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（ ）
A．伦敦时间2008年8月8日11时
B．巴黎时间2008年8月8日13时
C．纽约时间2008年8月8日5时
D．首尔时间2008年8月8日19时
答案：
B
例6、数轴上点A和点B表示的数分别是－1.2和2.2，点C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数是（ ）
A．1 B．0.5
C．0.6 D．0.8
答案：
B
例7、已知数轴上有三个点A、B、C，点A表示的数是2，点B在点A的左侧5个单位长度，点C在点B的右侧4个单位长度，则点B表示的数是__________，点C表示的数是__________．
答案：
－3；1
例8、在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C．
（1）写出A、B、C三点表示的数；
（2）根据点C在数轴上的位置，C点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？
解：
（1）A表示4，B表示6，C表示－4：
（2）C点可以看作是蚂蚁从原点出发向左爬了4个单位长度．
例9、已知在一条只有正方向的不完整的数轴上有A，B，C，D四个点，如图所示，
（1）若点C是原点，单位长度是1，则A，B，C，D四点分别表示什么数？
（2）若点B是原点，点C表示的数为10，则A，D两点所表示的数分别是什么数？
（3）若D点表示的数是6，A点表示的数是－12，则在图中标出原点的位置，并写出B，C两点各表示什么数？
解：
（1）A，B，C，D四点分别表示－3，－1，0，3；
（2）A，D两点分别表示－20，40；
（3）原点在点C右边的一点，B，C两点分别表示－6，－3．
例10、
（1）一只蝈蝈在数轴上跳动，先从A处向左跳1个单位长度到B，然后由B向右跳2个单位长度到C，若C表示的数为－3，则点A所表示的数为__________．
（2）若蝈蝈第一步从P0向左跳1个单位长度到P1，第二步从P1向右跳2个单位长度到P2，第三步由P2向左跳3个单位长度到P3，第四步由P3向右跳4个单位长度到P4，……，按以上规律跳了100步，蝈蛔落在数轴上的点P100所表示的数是2010，则这只蝈蝈初始位置P0所表示的数是__________．
答案：
（1）－4
（2）1960
相反数
一、相反数：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（1）代数意义：
只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．零的相反数是零．
（2）几何意义：
在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.
（3）性质：
互为相反数的和为0，即a＋b＝0
a、b两数互为相反数.
（4）符号：
在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数，如数a的相反数是－a.
强调：
“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数．
二、除零外的两个相反数在数轴上，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即一个正数的相反数是一个负数；一个负数的相反数是一个正数；0的相反数仍是0．
三、例题讲解
例1、如图，表示互为相反数的两个数的点是（ ）
A．A和C B．A和D
C．B和C D．B和D
答案：
C
例2、化简下列各数的符号：
（1）－（＋5）
（2）＋（－3）
（3）－[－（＋6）] （4）－[－（－8）]
答案：
（1）－
（2）－ （3）＋ （4）－
例3、下列各对数中，互为相反数的有（ ）
①（－1）与＋（－1）
②＋（＋2）与－2
③－（－3）与＋（－3）
④
⑤＋[－（＋4）]与[＋（－4）]
⑥－[－（＋2）]与＋[＋（－2）]
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
答案：
C
例4、点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示－2的相反数的点是__________．
答案：
B
例5、如图所示，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为（ ）
A．1，－2，0 B．0，－2，1
C．－2，0，1 D．－2，1，0
答案：
A
例6、数轴上的点A向右移5个单位长度后到点A′，若A与A′表示的数恰好互为相反数，那么点A表示的数是（ ）
A．2.5 B．－2.5
C．5 D．－5
答案：
B
例7、已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示：
（1）在数轴上表示出－a、－b；
（2）比较a、b、－a、－b的大小（用“＞”连接）．
答案：
－a＞b＞-b＞a．
例8、如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上，
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为__________；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为__________；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，在数轴上表示出原点的位置．
解：
（1）B
（2）C
（3）在点B和点C正中间的点即为原点，如图．
例9、数轴上到原点的距离小于2的整数点的个数为x，不大于2的整数点的个数为y，等于2的整数点的个数为z，求x＋y＋z的值．
解：
在数轴上到原点的距离小于2的整数点有－1，0，1的对应点，即x=3；不大于2的整数点有－2，－1，0，1，2的对应点
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