导数中的构造函数最全精编1.docx

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导数中的构造函数最全精编1

导数小题中构造函数的技巧

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用f（x）进行抽象函数构造

1、利用f（x）与x构造；常用构造形式有xf（x）,f（x）；这类形式是对u⋅v,u型

xv

数导数计算的推广及应用，我们对u⋅v,u的导函数观察可得知，u⋅v型导函数中

v

体现的是“+”法，u型导函数中体现的是“”法，由此，我们可以猜测，当

v

导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u⋅v型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u，我们根据得出的“优先”原则，看一看

v

例1，例2.

【例1】f（x）是定义在R上的偶函数，当x<0时，f（x）+xf'（x）<0，且

f（-4）=0，则不等式xf（x）>0的解集为

【解析】构造F（x）=xf（x），则F'（x）=f（x）+xf'（x），当x<0时，f（x）+xf'（x）<0，

可以推出x<0，F'（x）<0，F（x）在（-∞,0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，x为奇函数，所以F（x）为奇函数，∴F（x）在（0,+∞）上也单调递减.根据f（-4）=0可得F（-4）=0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知xf（x）>0的解

集为（-∞,-4）⋃（0,4）.

【例2】设f（x）是定义在R上的偶函数，且f

（1）=0，当x<0时，有

xf'（x）-f（x）>0恒成立，则不等式f（x）>0的解集为

❀❀❀思路点拨：

出现“”形式，优先构造F（x）=f（x）然后利用函数的单调

x

性、奇偶性和数形结合求解即可.

f（x）f'（x）⋅x-f（x）

【解析】构造F（x）=，则F'（x）=x2，当x<0时，

x

xf'（x）-f（x）>0，可以推出x<0，F'（x）>0，F（x）在（-∞,0）上单调递增.∵f（x）为偶函数，x为奇函数，所以F（x）为奇函数，∴F（x）在（0,+∞）上也单调递减.根据f

（1）=0可得F

（1）=0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知f（x）>0的解集为（-∞,-1）⋃（1,+∞）.

xf（x）,f（x）是比较简单常见的f（x）与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，

x

不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.

F（x）=xnf（x），F'（x）=nxn-1f（x）+xnf（x）=xn-1[nf（x）+f'（x）]；

'nn-1'

F（x）=f（x），F'（x）=f（x）⋅x-nxf（x）=xf（x）-nf（x）；

xnx2nxn+1

结论：

出现nf（x）+xf'（x）形式，构造函数F（x）=xnf

出现xf'（x）-nf（x）形式，构造函数F（x）=f（x）.

xn

我们根据得出的结论去解决例3题

【例3】已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（-1）=0，当x>0

时，2f（x）>xf'（x），则使得f（x）>0成立的x的取值范围是

❀❀❀思路点拨：

满足“xf'（x）-nf（x）”形式，优先构造F（x）=f（x）然后利用

xn

函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.

f（x）f'（x）⋅x-2f（x）

【解析】构造F（x）=x2，则F'（x）x3，当x>0时，

xf'（x）-2f（x）<0，可以推出x>0，F'（x）<0，F（x）在（0,+∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，x2为偶函数，所以F（x）为偶函数，∴F（x）在（-∞,0）上单调递增.根据f（-1）=0可得F（-1）=0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知

f（x）>0的解集为（-1,0）⋃（0,1）.

【变式提升】设函数f（x）满足x3f'（x）+3x2f（x）=1+lnx，且f（

则x>0时，f（x）（）

A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值

C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值

e）=1，

2e

❀❀❀思路点拨：

满足“xf'（x）+nf（x）”形式，为n=3时情况，优先构造F（x）=f（x），

xn

然后利用积分、函数的性质求解即可.

【例4】设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞,0）上有2xf'（2x）+f（2x）<0，且f（-2）=0，则不等式xf（2x）<0的解集为.

（2）利用f（x）与ex构造；

f（x）与ex构造，一方面是对u⋅v,u函数形式的考察，另外一方面是对

v

（ex）=ex的考察.所以对于f（x）±f'（x）类型，我们可以等同xf（x）,f（x）的类型处

x

理，“+”法优先考虑构造F（x）=f（x）⋅ex，“”法优先考虑构造F（x）=f（x）

ex.

【例5】已知f（x）是定义在（-∞,+∞）上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）

对于x∈R恒成立，则（）

A、f

（2）>e2f（0）,f（2014）>e2014f（0）B、f

（2）e2014f（0）

C、f

（2）>e2f（0）,f（2014）

（2）

❀❀❀思路点拨：

满足“f'（x）-f（x）<0”形式，优先构造F（x）=f（x），然后利用

ex

函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.

f（x）'ef（x）-ef（x）=f（x）-f（x）

x'x'

【解析】构造F（x）=ex形式，则F（x）e2xex，导

函数f'（x）满足f'（x）

同样exf（x）,f（x）是比较简单常见的f（x）与ex之间的函数关系式，如果碰

ex

见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？

【解析】构造F（x）=

e2x形式，则F（x）=

e4x

e2x，

导函数f'（x）满足f'（x）-2f（x）>0，则F'（x）>0，F（x）在R上单调递增.又

f（0）=1，则F（0）=1，f（x）>e2x⇔f（x）>1⇔F（x）>F（0），根据单调性得x>0.

2

x

【变式提升】若定义在R上的函数f（x）满足f'（x）-2f（x）-4>0,f（0）=-1，则不等式f（x）>e2x-2的解集为

e2xe2x

❀❀❀思路点拨：

利用通式构造函数时考虑-4如何转化.构造函数F（x）=f（x）-2

【例7】已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若f（x）满足：

（x-1）[f'（x）-f（x）]>0，f（2-x）=f（x）e2-2x，则下列判断一定正确的是（）

（A）f

（1）

（2）>e2f（0）

（C）f（3）>e3f（0）（D）f（4）

❀❀❀思路点拨：

满足“f'（x）-f（x）”形式，优先构造F（x）=f（x），然后利用函数

ex

的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.

f（x）

exf'（x）-exf（x）=

'

f'（x）-f（x）

【解析】构造F（x）=

ex形式，则F（x）

e2x

ex，导

函数f'（x）满足（x-1）[f'（x）-f（x）]>0，则x≥1时F'（x）≥0，F（x）在[1,+∞）上单调递增.当x<1时F'（x）<0，F（x）在（-∞,1]上单调递减.又由

f（2-x）=f（x）e2-2x⇔F（2-x）=F（x）⇒F（x）关于x=1对称，根据单调性和图像，

可知选C.

5

（3）利用f（x）与sinx,cosx构造.

sinx,cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.

F（x）=f（x）sinx,F'（x）=f'（x）sinx+f（x）cosx；

f（x）f'（x）sinx-f（x）cos

F（x）,F'（x）=x；

sinx

F（x）=f（x）cosx,F'（x）=f'（x）cosx-f（x）sinx；

f（x）f'（x）cosx+f（x）sin

F（x）,F'（x）=x.

cosx

根据得出的关系式，我们来看一下例8

）

【例8】已知函数y=f（x）对于任意的x∈（-ππ满足

22

f'（x）cosx+f（x）sinx>0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式

不成立的是（）

（）（）

A、2fπ

B、2f（-π<）f（-π）

34

C、f（0）<2fπ

34

D、f（0）<π

（）2f（）

43

【变式提升】定义在（0,π

）上的函数，函数f

'（x）是它的导函数，且恒有

2

f（x）

πππ

A、f（）>

4

f（）3

B、f

（1）<2f（）sin1

6

ππππ

C、2f（）>

6

f（）4

D、f（）<

6

f（）3

❀❀❀思路点拨：

满足“f'（x）sinx-f（x）cosx”形式，优先构造F（x）=f（x），然后

sinx

利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.

（二）构造具体函数关系式构造

这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.

【例9】α,β∈[-ππ]αsinα-βsinβ>0，则下列结论正确的是（）

，且

22

A、α>βB、α2>β2C、α<βD、α+β>0

❀❀❀思路点拨：

构造函数f（x）=xsinx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.

【解析】构造f（x）=xsinx形式，则f'（x）=sinx+xcosx，x∈[0,π]时导函数

2

f'（x）≥0，f（x）单调递增；x∈[-π）时导函数f'（x）<0，f（x）单调递减.有∵f（x）

0

2

为偶函数，根据单调性和图像可知选B.

【变式提升】定义在R上的函数f（x）满足f

（1）=1且对∀x∈R,f'（x）<1则

，2

不等式f（logx）>log2x+1的解集为.

22

❀❀❀思路点拨：

构造函数F（x）=f（x）-1x2，令t=logx，然后原不等式等价于

2

t+12

f（t）>，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可.

2

则f'（0）=（）

A、26B、29C、212D、215

❀❀❀思路点拨：

构造函数f（x）=xg（x），然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可.

【解析】令g（x）=（x-a1）（x-a2）...（x-a8）形式，则f（x）=xg（x），

f'（x）=g（x）+xg'（x），∴f'（0）=g（0）=a⋅a⋅...⋅a=（2⨯4）4=212，故选C.

128

【例11】已知实数a,b,c满

a-2ea

b

=1-c=

d-1

1，其中e是自然对数的底数，

那么（a-c）2+（b-d）2的最小值为（）

A、8B、10C、12D、18

❀❀❀思路点拨：

把（a-c）2+（b-d）2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可.

a-2eaa

【解析】由=1⇒b=a-2e进而⇒f（x）=x-2ex；又由

b

1-c=1⇒d=2-c⇒g（x）=2-x；由f'（x）=1-2ex=-1，得x=0，所以切点坐标

d-1

⎛|0-2-2⎫2

为（0,-2），所以（a-c）2+（b-d）2的最小值为⎪=8

ç1+1⎭

【变式提升】已知实数a,b满足2a2-5lna-b=0，c∈R，则（a-c）2+（b+c）2

的最小值为

❀❀❀思路点拨：

构造函数f（x）=2x2-5lnx，g（x）=-x，然后利用两点之间的距离公式和数形结合思想求解即可.

【课后作业】设函数f（x）在R上的导函数f'（x），在（0,+∞）上

f'（x）

正确的是（）

f

5π4ππ

（

A、）

）

B、f（）<

4

）

f（π）

C、f（-5π

f（-4π

D、f（-π>

f（-π）

）<

634

构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。