中考导练讲义第5讲一次方程组.docx
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中考导练讲义第5讲一次方程组
第5讲一次方程(组)
【章节知识清单】
知识点一:
方程及其相关概念
关键点拨及对应举例
1.等式的基本性质
(1)性质1:
等式两边加或减同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.即若a=b,则a±c=b±c.
(2)性质2:
等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.即若a=b,则ac=bc,
(c≠0).
(3)性质3:
(对称性)若a=b,则b=a.
(4)性质4:
(传递性)若a=b,b=c,则a=c.
失分点警示:
在等式的两边同除以一个数时,这个数必须不为0.
例:
判断正误.
(1)若a=b,则a/c=b/c.(×)
(2)若a/c=b/c,则a=b.(√)
2.关于方程的基本概念
(1)一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,且等式两边都是整式的方程.
(2)二元一次方程:
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.
(3)二元一次方程组:
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.
(4)二元一次方程组的解:
二元一次方程组的两个方程的公共解.
在运用一元一次方程的定义解题时,注意一次项系数不等于0.
例:
若(a-2)
是关于x的一元一次方程,则a的值为0.
知识点二:
解一元一次方程和二元一次方程组
3.解一元一次方程的步骤
(1)去分母:
方程两边同乘分母的最小公倍数,不要漏乘常数项;
(2)去括号:
括号外若为负号,去括号后括号内各项均要变号;
(3)移项:
移项要变号;
(4)合并同类项:
把方程化成ax=-b(a≠0);
(5)系数化为1:
方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.
失分点警示:
方程去分母时,应该将分子用括号括起来,然后再去括号,防止出现变号错误.
4.二元一次方程组的解法
思路:
消元,将二元一次方程转化为一元一次方程.
已知方程组,求相关代数式的值时,需注意观察,有时不需解出方程组,利用整体思想解决解方程组.例:
已知
则x-y的值为x-y=4.
方法:
(1)代入消元法:
从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把“它”代入另一个方程,进行求解;
(2)加减消元法:
把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.
知识点三:
一次方程(组)的实际应用
5.列方程(组)
解应用题的一般步骤
(1)审题:
审清题意,分清题中的已知量、未知量;
(2)设未知数;
(3)列方程(组):
找出等量关系,列方程(组);
(4)解方程(组);
(5)检验:
检验所解答案是否正确或是否满足符合题意;
(6)作答:
规范作答,注意单位名称.
(1)设未知数时,一般求什么设什么,但有时为了方便,也可间接设未知数.如题目中涉及到比值,可以设每一份为x.
(2)列方程(组)时,注意抓住题目中的关键词语,如共是、等于、大(多)多少、小(少)多少、几倍、几分之几等.
6.常见题型及关系式
(1)利润问题:
售价=标价×折扣,销售额=售价×销量,利润=售价-进价,利润率=利润/进价×100%.
(2)利息问题:
利息=本金×利率×期数,本息和=本金+利息.
(3)工程问题:
工作量=工作效率×工作时间.
(4)行程问题:
路程=速度×时间.①相遇问题:
全路程=甲走的路程+乙走的路程;
②追及问题:
a.同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程;b.同时不同地出发:
前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.
【章节典例解析】
【例题1】(2017湖北荆州)为配合荆州市“我读书,我快乐”读书节活动,某书店推出一种优惠卡,每张卡售价20元,凭卡购书可享受8折优惠.小慧同学到该书店购书,她先买优惠卡再凭卡付款,结果节省了10元.若此次小慧同学不买卡直接购书,则她需付款多少元?
( )
A.140元B.150元C.160元D.200元
【考点】8A:
一元一次方程的应用.
【分析】此题的关键描述:
“先买优惠卡再凭卡付款,结果节省了人民币10元”,设出未知数,根据题中的关键描述语列出方程求解.
【解答】解:
设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元,
则有:
20+0.8x=x﹣10
解得:
x=150
即:
小慧同学不凭卡购书的书价为150元.
故选:
B.
【例题2】(2017黑龙江佳木斯)“双11”促销活动中,小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品,则可供小芳妈妈选择的购买方案有( )
A.4种B.5种C.6种D.7种
【考点】95:
二元一次方程的应用.
【分析】设购买80元的商品数量为x,购买120元的商品数量为y,根据总费用是1000元列出方程,求得正整数x、y的值即可.
【解答】解:
设购买80元的商品数量为x,购买120元的商品数量为y,
依题意得:
80x+120y=1000,
整理,得
y=
.
因为x是正整数,
所以当x=2时,y=7.
当x=5时,y=5.
当x=8时,y=3.
当x=11时,y=1.
即有4种购买方案.
故选:
A.
【例题3】(2017广西)某次篮球联赛初赛阶段,每队有10场比赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,积分超过15分才能获得参赛资格.
(1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分,求甲队初赛阶段胜、负各多少场;
(2)如果乙队要获得参加决赛资格,那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场?
【考点】C9:
一元一次不等式的应用;8A:
一元一次方程的应用.
【分析】
(1)设甲队胜了x场,则负了(10﹣x)场,根据每队胜一场得2分,负一场得1分,利用甲队在初赛阶段的积分为18分,进而得出等式求出答案;
(2)设乙队在初赛阶段胜a场,根据积分超过15分才能获得参赛资格,进而得出答案.
【解答】解:
(1)设甲队胜了x场,则负了(10﹣x)场,根据题意可得:
2x+10﹣x=18,
解得:
x=8,
则10﹣x=2,
答:
甲队胜了8场,则负了2场;
(2)设乙队在初赛阶段胜a场,根据题意可得:
2a+(10﹣a)≥15,
解得:
a≥5,
答:
乙队在初赛阶段至少要胜5场.
【例题4】(2017毕节)某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学,在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元,且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同.
(1)求这种笔和本子的单价;
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子,计划100元刚好用完,并且笔和本子都买,请列出所有购买方案.
【考点】B7:
分式方程的应用;95:
二元一次方程的应用.
【分析】
(1)首先设这种笔单价为x元,则本子单价为(x﹣4)元,根据题意可得等量关系:
30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量,由等量关系可得方程
=
,再解方程可得答案;
(2)设恰好用完100元,可购买这种笔m支和购买本子n本,根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000,再求出整数解即可.
【解答】解:
(1)设这种笔单价为x元,则本子单价为(x﹣4)元,由题意得:
=
,
解得:
x=10,
经检验:
x=10是原分式方程的解,
则x﹣4=6.
答:
这种笔单价为10元,则本子单价为6元;
(2)设恰好用完100元,可购买这种笔m支和购买本子n本,
由题意得:
10m+6n=100,
整理得:
m=10﹣
n,
∵m、n都是正整数,
∴①n=5时,m=7,②n=10时,m=4,③n=15,m=1;
∴有三种方案:
①购买这种笔7支,购买本子5本;
②购买这种笔4支,购买本子10本;
③购买这种笔1支,购买本子15本.
【章节典例解析】
1.(2017乌鲁木齐)一件衣服售价为200元,六折销售,仍可获利20%,则这件衣服的进价是 100 元.
2.(2017•新疆)一台空调标价2000元,若按6折销售仍可获利20%,则这台空调的进价是 1000 元.
3.(2017四川眉山)已知关于x,y的二元一次方程组
的解为
,则a﹣2b的值是( )
A.﹣2B.2C.3D.﹣3
4.为解决中小学大班额问题,东营市各县区今年将改扩建部分中小学,某县计划对A、B两类学校进行改扩建,根据预算,改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元,改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元.
(1)改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元?
(2)该县计划改扩建A、B两类学校共10所,改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担.若国家财政拨付资金不超过11800万元;地方财政投入资金不少于4000万元,其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元.请问共有哪几种改扩建方案?
5.(2017湖南岳阳)我市某校组织爱心捐书活动,准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区,其中每包书的数目相等.第一次他们领来这批书的
,结果打了16个包还多40本;第二次他们把剩下的书全部取来,连同第一次打包剩下的书一起,刚好又打了9个包,那么这批书共有多少本?
6.(2017•益阳)我市南县大力发展农村旅游事业,全力打造“洞庭之心湿地公园”,其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘,游人如织.去年村民罗南洲抓住机遇,返乡创业,投入20万元创办农家乐(餐饮+住宿),一年时间就收回投资的80%,其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元.
(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元?
(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资,增设了土特产的实体店销售和网上销售项目.他在接受记者采访时说:
“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长,加上土特产销售的利润,到年底除收回所有投资外,还将获得不少于10万元的纯利润.”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润?
【章节典例解析】参考答案
1.(2017乌鲁木齐)一件衣服售价为200元,六折销售,仍可获利20%,则这件衣服的进价是 100 元.
【考点】8A:
一元一次方程的应用.
【分析】此题的等量关系:
实际售价=标价的六折=进价×(1+获利率),设未知数,列方程求解即可.
【解答】解:
设进价是x元,则(1+20%)x=200×0.6,
解得:
x=100.
则这件衬衣的进价是100元.
故答案为100.
2.(2017•新疆)一台空调标价2000元,若按6折销售仍可获利20%,则这台空调的进价是 1000 元.
【考点】8A:
一元一次方程的应用.
【分析】可以设该商品的进价是x元,根据标价×6折﹣进价=进价×20%列出方程,求解即可.
【解答】解:
设该商品的进价为x元,根据题意得:
2000×0.6﹣x=x×20%,
解得:
x=1000.
故该商品的进价是1000元.
故答案为:
1000.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是要明确6折及利润率的含义.
3.(2017四川眉山)已知关于x,y的二元一次方程组
的解为
,则a﹣2b的值是( )
A.﹣2B.2C.3D.﹣3
【考点】97:
二元一次方程组的解.
【分析】把
代入方程组,得出关于a、b的方程组,求出方程组的解即可.
【解答】解:
把
代入方程组
得:
,
解得:
,
所以a﹣2b=
﹣2×(﹣
)=2,
故选B.
4.为解决中小学大班额问题,东营市各县区今年将改扩建部分中小学,某县计划对A、B两类学校进行改扩建,根据预算,改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元,改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元.
(1)改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元?
(2)该县计划改扩建A、B两类学校共10所,改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担.若国家财政拨付资金不超过11800万元;地方财政投入资金不少于4000万元,其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元.请问共有哪几种改扩建方案?
【分析】
(1)可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元,改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”,列出方程组求出答案;
(2)要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元;地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组,判断出不同的改造方案.
【解答】解:
(1)设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得
,
解得
,
答:
改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元.
(2)设今年改扩建A类学校a所,则改扩建B类学校(10﹣a)所,
由题意得:
,
解得
,
∴3≤a≤5,
∵x取整数,
∴x=3,4,5.
即共有3种方案:
方案一:
改扩建A类学校3所,B类学校7所;
方案二:
改扩建A类学校4所,B类学校6所;
方案三:
改扩建A类学校5所,B类学校5所.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用,二元一次方程组的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的数量关系.
5.(2017湖南岳阳)我市某校组织爱心捐书活动,准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区,其中每包书的数目相等.第一次他们领来这批书的
,结果打了16个包还多40本;第二次他们把剩下的书全部取来,连同第一次打包剩下的书一起,刚好又打了9个包,那么这批书共有多少本?
【分析】设这批书共有3x本,根据每包书的数目相等.即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:
设这批书共有3x本,
根据题意得:
=
,
解得:
x=500,
∴3x=1500.
答:
这批书共有500本.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用,根据每包书的数目相等.列出关于x的一元一次方程是解题的关键.
6.(2017•益阳)我市南县大力发展农村旅游事业,全力打造“洞庭之心湿地公园”,其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘,游人如织.去年村民罗南洲抓住机遇,返乡创业,投入20万元创办农家乐(餐饮+住宿),一年时间就收回投资的80%,其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元.
(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元?
(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资,增设了土特产的实体店销售和网上销售项目.他在接受记者采访时说:
“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长,加上土特产销售的利润,到年底除收回所有投资外,还将获得不少于10万元的纯利润.”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润?
【考点】C9:
一元一次不等式的应用;9A:
二元一次方程组的应用.
【专题】12:
应用题;524:
一元一次不等式(组)及应用.
【分析】
(1)设去年餐饮利润为x万元,住宿利润为y万元,根据题意列出方程组,求出方程组的解即可得到结果;
(2)设今年土特产的利润为m万元,根据题意列出不等式,求出不等式的解集即可得到结果.
【解答】解:
(1)设去年餐饮利润x万元,住宿利润y万元,
依题意得:
,
解得:
,
答:
去年餐饮利润11万元,住宿利润5万元;
(2)设今年土特产利润m万元,
依题意得:
16+16×(1+10%)+m﹣20﹣11≥10,
解之得,m≥7.4,
答:
今年土特产销售至少有7.4万元的利润.
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用,以及二元一次方程组的应用,弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键.