三角形等高模型与鸟头模型知识例题精讲.docx
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三角形等高模型与鸟头模型知识例题精讲
板块一三角形等高模型
我们已经知道三角形面枳的计算公式：
三角形面积=底X高+2
从这个公式我们可以发现：
三角形面积的大小，取决于三角形展和高的乘积.
如果三角形的庶不变，高趙大（小），三角形面积也就越大（小）：
如果三角形的高不变，底越大（小片三角形面积也就越大（小）：
这说明当三角形的面积变化吋，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的展和髙同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的3,則三角形面积与原来的一样.这就是说：
一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:
1等底等高的两个三角形面积相等；
2
两个三角形高相等，面枳比等于它们的底之比；两个三角形底相等，如左图5:
St
3央在一组平行线之间的等积变形，如右上图Sg-SzD；反之，如果Sgm-Sg、则可知直线AB平行于CD.
4等展等鬲的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
5三角形面积等于与它等底等髙的平行四边形面积的一半；
6两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比：
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的髙之比.
【例1］你有多少种方法将任童一个三角形分成：
⑴3个面积相等的三角形,⑵4个面积相等的三角形;⑶6个面积相等的三角形•
【例2】如图，BD长12厘米，QC长4厘米，B.C和D在同一条直线上.
（1）求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?
【例3】
如右图，ABFE和CDEF都是矩形.M的长是4厘米，的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是—平方厘米.
A
如图，长方形的面积是56平方厘米，点几G分别是长方形ABCD边上的中点，H为Q边上的任意一点，求阴影部分的面积•
【例7】
如右图，£在AD上，AD垂直BC,AD=\2厘米，加=3厘米.求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC,连结BE.AE.CF、肿那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
【例9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形的面积为1,其中AE=3AB^BD=2BC,三角形bde的面积是多少？
【例10】（2008年四中考题）如右图，AD=DB^AE=EF=FC.已知阴影部分面积为5平方厘米,
的面积是__平方厘米-
【例11】
如图ABCQ是一个长方形，点以F和G分别是它们所在边的中点-如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.
【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成.求阴影部分的面积•
【例141
（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE^三角形
ME.三角形BCD的面积分别是89,28.26.那么三角形D处的面积是■
【例15】（第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米,它们的差是5分米•求梯形ABCD的面积•
【例16】
图中"OB的面积为线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积•
【解析】在aMD中，因为$*厂1501「，且OB=3OD、所以有SwD*3=5cm・
因为bABD和aACQ等底等高，所以有■
从而Sgi5cnr,在“BCD中，匚＜尺=3二心=45cm-,所以梯形面积；
15+5+15+45=80（cn?
）
【例18】
（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，緑色三角形面积占长方
形面积的15%,黄色三角形面积是2k亦.问，长方形的面积是多少平方厘米?
【例19】°是长方形佔CD内一点，己知SBC的面积是5cn匚△如的面积是Zcm?
求MBD的
面积是多少？
【例20】如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线GH,若的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？
【例22】在长方形AB3内部有一点形成等腰4^08的面积为16.等腰2OC的面积占长方形
面积的18%,那么阴影MOC的面积是多少？
【例24】
如图所示，四边形MCD与MGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.
【例25】
如图，正方形ABCD的边长为6,胚=1・5,CF=2・长方形£FGH的面积为_•
【例26】
如图，ABCD为平行四边形，W平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米・求三角形CDF的面积•
【例27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘
【例28】如图，有三个正方形的顶点D.G.K恰好在同一条直线上，其中正方形GF£B的边长为10厘米，求阴影部分的面积•
p
K
【例29】（2008年”华杯赛鮮决赛）右图中，和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于已
知CH等于CF的三分之一，三角形咖的面积等于6平方厘米，求五边形MGEF的面积.
【例30】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E.F分别悬梯形ABCD的下底和腰CD上
的点，DF=FC,并且甲.乙.丙3个三角形面积相等.已知梯形ABCD的面积是32平方厘米・求图中阴影部分的面积-
C
【例31】如图，已知长方形QEF的面积16,三角形仙的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形的面积是多少？
F
C
【例32】如图，在平行四边形ABCD中，BE=EC,CF=2FD.求阴影面积与空白面积的比.
【例33J（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形中，D是M边的中点,
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E是AC边上的一点，且肚=3EC,0为DC与BE的交点.若△CEO的面积为“平方厘米，的面积为b平方厘米.且是2.5平方厘米，那么三角形MC的面积是平方厘
米・
【例34】如图，在梯形中，BE:
EC=2:
3,且45OE的面积比MOD的面积小10平方厘米.梯形的面积是平方厘米-
【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，己知边上有三块面积分别是13,35,49•那么图
中阴影部分的面积是多少？
【例36】图中是一个各条边分别为5厘米.12厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到
斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？
【例37】如图，长方形MCD的面积平方厘米，EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？
【例38】（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路胚和CF,交叉处为D,
张大伯常走这两条小路，他知道DF=DC,且Q=2D£・则两块地ACF和CFB的面积比是
【例39】（2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，BC=45,AC=21,A4BC
被分成9个面积相等的小三角形，那么DZFK=•
【例40】（2007年人大附中分班考试题）已知MC为等边三角形.面积为400,D、E、F分别为三
边的中点，S知甲.乙.丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）
【例41】（2009年四中入学测试题）如图，已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6,线段初将图
形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形遊的面积是-
G
【例42】（2008年仁华考题）如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的
面积是.
【例43】（2008年走美六年级初赛）如图所示，长方形MCD内的阴影部分的面积之和为70,朋=8
AM15,四边形EFGO的面积为•
【例44】（清华附中分班考试题）如图，如果长方形M3的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ
的面积是多少平方厘米?
【例45】（2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长
为IXm的正方形，则阴影部分四边形的面积是cn<
【例46】如图，三角形佔尸的面积是17,DE.处的长度分别为11、3.求长方形的面积.
【例47】（2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛）如图，长方形中，M=67,
BC=30・E.F分别是AB、BC边上的两点，BE+BF=49.那么，三角形DEF面积的最小值是.
【例48】（2007首届全国资优生思维能力测试）是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任
意一点，BL=DM=4.
【例49】如图所示，在四边形ABCD中，£,F,G,H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与
四边形PQRS的面积之比.
【例50】如图，四边形ABCD中，DE:
EF:
FC=3:
2:
1,BG;GH:
AH=3:
2:
\,AD:
BC=\:
2已知四边形ABCD的面积等于4,则四边形MHG的面积二•
【例51】（2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛）有正三角形ABC,在边AB、BJC4的正中间
分别取点L、M、N,在边AL、、3上分别取点P、0、R,使LPrQ=NR,当加和他、PM和QN、QN和甩的相交点分别是X、y、Z时，使XY=XL,这时，三角形XM的面积是三角形的面积的几分之几？
请写出思考过程.
2
【例52】如圏：
已知在梯形MCD中，上底是下底的匚其中F是BC边上任意一点，三角形泌、三角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12.求三角形NDE的面积.
【例53】如图，已知MCD長梯形，小“BC、AD:
BC=1:
2,Sw：
Sse・I：
3,=24cnr
求A4OF的面积.
【例54】（2009年迎春杯决赛高年级组）如图，是一个四边形，M、N分别是初、CD的中
点.如果4咖、MB与ADSN的面积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为•
板块二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形-共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比•如图在sc中，DE分别是AEAC上的点如图⑴（或D在刚的延长线上，^在"上）,则S/:
SzE=（ABXAC}:
{ADXAE）
【例59】如图，三角形的面积为3平方厘米，其中佔：
BE=2:
5,BC:
CD=3:
2^三角形BDE的面积是多少？
【例60】
AE=—AC
（2007年”走美”五年级初赛试题）如图所示.正方形边长为6厘米，"3
【例61】如图，已知三角形面积为1,延长M至"使延长处至E,使CE=2BC；延长C4至F,使AF=3AC^求三角形QE厂的面积.
【例62】
【例63】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，LA=AB,CB=BF,DC=CGHD=DA,求四边形ABCD的面积.
【例64】如图，将四边形ABCQ的四条边CB.CD.Q分别延长两倍至点E、F.G.H,若四边形佔CD的面积为5.则四边形EFGH的面积是•
CE=-BC
【例65】如图，在30中，延长M至D,使BD=AB,延长BC至£,使2,F是AC
的中点，若gc的面积是2,则△DM的面积是多少？
【例66】
如图，Swi,BC=5BD,AC=4EC^DG=GS=SE,AF=FG.求丄口
【例67】如图所示，正方形边长为8厘米，E是初的中点，F是CE的中点，G是以•的中
点，三角形的面积是多少平方厘米？
【例68】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.
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