离散数学屈婉玲版第一章部分习题汇总完整资料doc.docx
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第一章习题
1.1&1.2判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.
(1)√2是无理数.
是命题,简单命题.p:
√2是无理数.真值:
1
(2)5能被2整除.
是命题,简单命题.p:
5能被2整除.真值:
0
(3)现在在开会吗?
不是命题.
(4)x+5>0.
不是命题.
(5)这朵花真好看呀!
不是命题.
(6)2是素数当且仅当三角形有3条边.
是命题,复合命题.p:
2是素数.q:
三角形有3条边.p↔q真值:
1
(7)雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.
是命题,复合命题.p:
雪是黑色的.q:
太阳从东方升起.p↔q真值:
0
(8)2008年10月1日天气晴好.
是命题,简单命题.p:
2008年10月1日天气晴好.真值唯一.
(9)太阳系以外的星球上有生物.
是命题,简单命题.p:
太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.
(10)小李在宿舍里.
是命题,简单命题.P:
小李在宿舍里.真值唯一.
(11)全体起立!
不是命题.
(12)4是2的倍数或是3的倍数.
是命题,复合命题.p:
4是2的倍数.q:
4是3的倍数.p∨q真值:
1
(13)4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:
4是偶数.q:
4是奇数.p∧q真值:
0
(14)李明与王华是同学.
是命题,简单命题.p:
李明与王华是同学.真值唯一.
(15)蓝色和黄色可以调配成绿色.
是命题,简单命题.p:
蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:
1
1.3判断下列各命题的真值.
(1)若2+2=4,则3+3=6.
(2)若2+2=4,则3+3≠6.
(3)若2+2≠4,则3+3=6.
(4)若2+2≠4,则3+3≠6.
(5)2+2=4当且仅当3+3=6.
(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.
(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.
(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.
答案:
设p:
2+2=4,q:
3+3=6,则p,q都是真命题.
(1)p→q,真值为1.
(2)p→┐q,真值为0.
(3)┐p→q,真值为1.
(4)┐p→┐q,真值为1.
(5)p↔q,真值为1.
(6)p↔┐q,真值为0.
(7)┐p↔q,真值为0.
(8)┐p↔┐q,真值为1.
1.4将下列命题符号化,并讨论其真值。
(1)如果今天是1号,则明天是2号。
p:
今天是1号。
q:
明天是2号。
符号化为:
p→q
真值为:
1
(2)如果今天是1号,则明天是3号。
p:
今天是1号。
q:
明天是3号。
符号化为:
p→q
真值为:
0
1.5将下列命题符号化。
(1)2是偶数又是素数。
(2)小王不但聪明而且用功。
(3)虽然天气很冷,老王还是来了。
(4)他一边吃饭,一边看电视。
(5)如果天下雨,他就乘公共汽车上班。
(6)只有天下雨,他才乘公共汽车上班。
(7)除非天下雨,否则他不乘公共汽车上班。
(意思为:
如果他乘公共汽车上班,则天下雨或如果不是天下雨,那么他就不乘公共汽车上班)
(8)不经一事,不长一智。
答案:
(1)设p:
2是偶数,q:
2是素数。
符号化为:
p∧q
(2)设p:
小王聪明,q:
小王用功。
符号化为:
p∧q
(3)设p:
天气很冷,q:
老王来了。
符号化为:
p∧q
(4)设p:
他吃饭,q:
他看电视。
符号化为:
p∧q
(5)设p:
天下雨,q:
他乘公共汽车。
符号化为:
p→q
(6)设p:
天下雨,q:
他乘公共汽上班。
符号化为:
q→p
(7)设p:
天下雨,q:
他乘公共汽车上班。
符号化为:
q→p或⌝q→⌝p
(8)设p:
经一事,q:
长一智。
符号化为:
⌝p→⌝q
1.6设p,q的真值为0;r,s的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1)p∨(q∧r)
(2)(p↔r)∧(¬p∨s)
(3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
(4)¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)
解:
(1)p∨(q∧r)
p
q
r
q∧r
p∨(q∧r)
0
0
1
0
0
(2)(p↔r)∧(¬p∨s)
p
q
r
s
p↔r
¬p
¬p∨s
(p↔r)∧(¬p∨s)
0
0
1
1
0
1
1
0
(3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
p
q
r
s
q∨r
p∧(q∨r)
p∨q
r∧s
(p∨q)∧(r∧s)
(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
(4)¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)
p
q
r
s
¬p
r∧¬p
q→(r∧¬p)
(p∨(q→(r∧¬p))
(r∨¬s)
¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1.7判断下列命题公式的类型。
(1)p→(p∨q∨r)
解:
p
q
r
p∨q
p∨q∨r
p→(p∨q∨r)
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
由真值表可知,该命题公式为重言式。
(2)(p→┑p)→┑p
p
┑p
p→┑p
(p→┑p)→┑p
0
1
1
1
1
0
0
1
由真值知命题公式的类型是:
重言式
(3)┐(q→p)∧p
p
q
q→p
┐(q→p)
┐(q→p)∧p
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
此命题公式是矛盾式。
(4)(p→q)→(﹁q→﹁p)
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁q
p→q
﹁q→﹁p
(p→q)→(﹁q→﹁p)
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
由真值表观察,此命题为重言式.
(5)(﹁p→q)→(q→﹁p)
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁p→q
q→﹁p
(﹁p→q)→(q→﹁p)
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.
(7)(p∨
p)→((q∧
q)∧
r)
解:
p
q
r
p∨
p
q∧
q
r
(q∧
q)∧
r
(p∨
p)→((q∧
q)∧
r)
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
结论:
此命题为矛盾式
1.7(8)
(p↔q)→﹁(p∨q).
pq
(p↔q)
(p∨q)
﹁(p∨q)
(p↔q)→﹁(p∨q)
00
1
0
1
1
01
0
1
0
1
10
0
1
0
1
11
1
1
0
0
由此可以知道,上式为非重言式的可满足式.
(9)((p→q)∧(q→r))→(p→r)
解:
p
q
r
p→q
q→r
(p→q)∧(q→r)
p→r
A
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
该命题为永真式
(10)((p∨q)→r)
s
解:
p
q
r
s
p∨q
(p∨q)→r
(p∨q)→r)
s
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
结论:
此命题为非重言式可满足式
1.8用等值演算法证明下列等值式
(1)(p∧q)∨(p∧﹁q)
p
证明:
(p∧q)∨(p∧﹁q)(分配律)
p∧(q∨﹁q)(排中律)
p∧1(同一律)
p
(3)⌝(p↔q)⇔((p∨q)∧⌝(p∧q))
证明:
⌝(p↔q)
⇔⌝((p→q)∧(q→p))
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p))
⇔⌝(⌝p∨q)∨⌝(⌝q∨p)
⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝p)
⇔((p∧⌝q)∨q)∧((p∧⌝q)∨⌝p)
⇔((p∨q)∧(⌝q∨q))∧((p∨⌝p)∧(⌝q∨⌝p))
⇔((p∨q)∧1)∧(1∧(⌝q∨⌝p))
⇔(p∨q)∧(⌝q∨⌝p)
⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)
1.9用等值演算法判断下列公式的类型。
(1)⌝((p∧q)→p).
解:
(1)⌝((p∧q)→p)
⇔⌝(⌝(p∧q)∨p)蕴含等值式
⇔⌝(⌝(p∧q))∧⌝p德·摩根律
⇔p∧q∧⌝p双重否定律
⇔p∧⌝p∧q交换律
⇔0∧q矛盾律
⇔0零律
即原式为矛盾式.
(2)((p→q)∧(q→p))↔(p↔q)
解:
((p→q)∧(q→p))↔(p↔q)
⇔(p↔q)↔(p↔q)
⇔((p↔q)→(p↔q))∧((p↔q)→(p↔q))
⇔(P↔q)→(p↔q)
⇔⌝(p↔q)∨(p↔q))
⇔1
即((p→q)∧(q→p))↔(p↔q)是重言式。
(3)(⌝p→q)→(q→⌝p).
解:
(⌝p→q)→(q→⌝p)
⇔⌝((p∨q))∨(⌝q∨⌝p)
⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨⌝p)
⇔(⌝p∨(⌝p∧⌝q))∧(⌝q∨(⌝q∨⌝p))
⇔((⌝p∨⌝p)∨⌝q)∧((⌝q∨⌝q)∨⌝p]
⇔(⌝p∨⌝q)∧(⌝p∨⌝q)
⇔(⌝p∨⌝q)
或(⌝p→q)→(q→⌝p)
⇔⌝((p∨q))∨(⌝q∨⌝p)
⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨⌝p)
⇔((⌝p∧⌝q)∨⌝q)∨⌝p结合律
⇔⌝p∨⌝q吸收律
结论:
该公式为可满足式。
1.12
(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)
⇔¬(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)
⇔(¬p∧(¬q∨¬r))∨(p∧q∧r)
⇔(¬p∧¬q)∨(¬p∧¬r)∨(p∧q∧r)
⇔((¬p∧¬q)∧(r∨¬r))∨((¬p∧¬r)∧(q∨¬q))∨(p∧q∧r)
⇔(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)
⇔(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)
⇔((¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)
⇔m0∨m1∨m2∨m7
⇔∑(0,1,2,7)
故其主析取范式为
(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)⇔∑(0,1,2,7)
由最小项定义可知道原命题的成真赋值为
(0,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(1,1,1)
成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)
由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为
(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)⇔∏(3,4,5,6)
(3)⌝(p→q)∧q∧r
解:
⌝(p→q)∧q∧r
⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r
⇔p∧⌝q∧q∧r
⇔0
既⌝(p→q)∧q∧r是矛盾式。
⌝(p→q)∧q∧r的主合取范式为M0∧M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6∧M7,成假赋值为:
000,001,010,011,100,101,111.
13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。
∨∨∧
(1)①p→(q→r);②q→(p→r).
解:
p→(q→r)⇔﹁p∨(q→r)
⇔﹁p∨(﹁q∨r)
⇔﹁p∨﹁q∨r
⇔(﹁p∧(q∨﹁q)∧(r∨﹁r))∨((p∨﹁p)∧﹁q∧(r∨﹁r))∨((p∨﹁p)∧(q∨﹁q)∧r)
⇔(﹁p∧q∧r)∨(﹁p∧q∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r)∨(﹁p∧﹁q∧﹁r)∨(p∧﹁q∧r)∨(p∧﹁q∧﹁r)∨(﹁p∧q∧r)
⇔∑(0,1,2,3,4,5,7)
q→(p→r)⇔﹁q∨(﹁p∨r)
⇔﹁p∨﹁q∨r
⇔∑(0,1,2,3,4,5,7)
所以两式等值。
(2)①p↑q
⇔¬(p∧q)
⇔(p∧(q∨¬q))∨(q∧(p∨¬p))
⇔(p∧q)∨(¬p∧¬q)∨(¬q∧p)∨(¬p∧¬q)
⇔(¬p∧q)∨(¬p∧¬q)∨(p∧¬q)
⇔m1∨m0∨m2
⇔∑(0,1,2)
(p∧¬q)处原为(¬q∧p),不是极小项
②令A=p↑q
B=¬(p∧q)
C=(¬p∧q)∨(¬p∧¬q)∨(p∧¬q)
D=p↓q
则B*=¬(p∨q)?
p↓q=D
且A?
B?
C
所以D?
A*?
C*
C*=(¬p∨q)∧(¬p∨¬q)∧(p∨¬q)
?
∏(0,1,2)?
∑(3)
所以①!
?
②
1.15某勘探队有3名队员,有一天取得一块矿样,3人判断如下:
甲说:
这不是铁,也不是铜;
乙说:
这不是铁,是锡;
丙说:
这不是锡,是铁;
经实验室鉴定后发现,其中一人两个判断都正确,一个人判对一半,另一个人全错了。
根据以上情况判断矿样的种类。
解:
p:
是铁q:
是铜r:
是锡
由题意可得共有6种情况:
1)甲全对,乙对一半,丙全错:
(﹁p∧﹁q)∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r))∧(r∧﹁p)①
2)甲全对,丙对一半,乙全错:
(﹁p∧﹁q)∧((﹁r∧﹁p)∨(r∧p))∧(p∧﹁r)②
3)乙全对,甲对一半,丙全错:
(﹁p∧r)∧((﹁p∧q)∨(﹁q∧p))∧(r∧﹁p)③
4)乙全对,丙对一半,甲全错:
(﹁p∧r)∧((﹁r∧﹁p)∨(r∧p))∧(p∧q)④
5)丙全对,甲对一半,乙全错:
(﹁r∧p)∧((﹁p∧q)∨(p∧﹁q))∧(p∧﹁r)⑤
6)丙全对,乙对一半,甲全错:
(﹁r∧p)∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r))∧(p∧q)⑥
则①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥⇔1
①⇔(﹁p∧﹁q∧﹁p∧﹁r∧r∧﹁p)∨(﹁p∧﹁q∧p∧r∧r∧﹁p)⇔0∨0⇔0
②⇔(﹁p∧﹁q∧﹁r∧﹁p∧p∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r∧p∧p∧﹁r)⇔0∨0⇔0
③⇔(﹁p∧r∧﹁p∧q∧r∧﹁p)∨(﹁p∧r∧﹁q∧p∧r∧﹁p)⇔(﹁p∧q∧r)∨0⇔﹁p∧q∧r
④⇔(﹁p∧r∧﹁r∧﹁p∧p∧q)∨(﹁p∧r∧r∧p∧p∧q)⇔0∨0⇔0
⑤⇔(﹁r∧p∧﹁p∧q∧p∧﹁r)∨(﹁r∧p∧p∧﹁q∧p∧﹁r)⇔0∨(p∧﹁q∧﹁r)⇔p∧﹁q∧﹁r
⑥⇔(﹁r∧p∧﹁p∧﹁r∧p∧q)∨(﹁r∧p∧p∧r∧p∧q)⇔0∨0⇔0
所以①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥⇔(﹁p∧q∧r)∨(p∧﹁q∧﹁r)
而这块矿石不可能既是铜又是锡,所以只能是
1.16判断下列推理是否正确,先将命题符号化,再写出前提和结论,让后进行判断。
3如果今天是1号,则明天是5号。
今天是1号,所以明天是5号。
p:
今天是1号q:
明天是5号
解:
前提:
p→q,p
结论:
q
推理的形式结构为:
((p→q)∧p)→q
证明:
① p→q前提引入
② p前提引入
③q假言推理
此命题是正确命题
1.16
(2)
判断下列推理是否正确,先将命题符号化再写出前提和结论,然后进行判断
如果今天是1号,则明天是5号。
明天是5号,所以今天是1号。
解设p:
今天是1号,q:
明天是5号,则该推理可以写为
((p→q)∧q)→p
前提p→q,q
结论p
判断
证明
((p→q)∧q)→p⇔¬((p→q)∧q)∨p
⇔¬(p→q)∨¬q∨p
⇔¬(¬p∨q)∨¬q∨p
⇔(p∧¬q)∨¬q∨p
⇔¬q∨p
此式子为非重言式的可满足式,故不可以判断其正确性
所以此推理不正确
1.16(3)如果今天是1号,则明天是5号,明天不是5号,所以今天不是1号。
解:
p:
今天1号.
q:
明天是5号.
((p→q)∧¬q)→¬p
前提:
p→q,¬q.
结论:
¬p.
证明:
①p→q前提引入
②¬q前提引入
③¬p①②拒取式
推理正确
1.17
(1)前提:
﹁(p∧﹁q),﹁q∨r,﹁r
结论:
﹁p.
证明:
①﹁q∨r前提引入
②﹁r前提引入
③﹁q①②析取三段论
④﹁(p∧﹁q)前提引入
⑤﹁p∨q④置换
⑥﹁p③⑤析取三段论
即推理正确。
(2)前提:
p→(q→s),q,p∨﹁r
结论:
r→s.
证明:
①p∨﹁r前提引入
②r附加前提引入
③p析取三段论
④p→(q→s)前提引入
⑤q→s假言推理
⑥q前提引入
⑦s假言推理
由附加前提证明法可知,结论正确。
(3):
前提:
p→q.
结论:
p→(p∧q).
证明:
①p→q.前提引入
②p附加前提引入
③q①②假言推理
④p∧q②③合取引入规则
(4)前提:
q→p,q↔s,s↔t,t∧r.
结论:
p∧q∧s∧r.
证明:
1)t∧r;前提引入
2)t;1)的化简
3)s↔t;前提引入
4)(s→t)∧(t→s);3)的置换
5)t→s4)的化简
6)s;2),5)的假言推理
7)q↔s;前提引入
8)(q→s)∧(s→q);7)置换
9)s→q8)的化简
10)q;6),9)的假言推理
11)q→p;前提引入
12)p;10),11)的假言推理
13)r1)的化简
14)p∧q∧s∧r6),10),12),13)的合取
所以推理正确。
1.18如果他是理科学生,他必学好数学。
如果他不是文科学生,他必是理科学生。
他没学好数学。
所以它是文科学生。
判断上面推理是否正确,并证明你的结论。
解:
p:
他是理科学生q:
他学好数学r:
他是文科学生
前提:
p→q,┐r→p,┐q
结论:
r
①┐p前提引入
②p→q前提引入
③┐p①②拒取式
④┐r→p前提引入
⑤r③④拒取式
1.19给定命题公式如下:
p∨(q∧⌝r)。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
解:
p∨(q∧⌝r)
⇔((p∧(q∨⌝q))∧(r∨⌝r))∨((q∧⌝r)∧(p∨⌝p))
⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧⌝r)
⇔m7∨m6∨m5vm4∨m6∨m2
⇔m7∨m6∨m5vm4∨m2
⇔∑(2、4、5、6、7)
∴p∨(q∧⌝r)⇔∏(0、1、3)
既010、100、101、110、111是成真赋值,
000、001、011是成假赋值
1.20给定命题公式如下:
⌝(p∧q)→r。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
解:
⌝(p∧q)→r
⇔(p∧q)∨r
⇔((p∧q)∧(r∨⌝r))∨((p∨⌝p)∧(q∨⌝q)∧r)
⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)
⇔m7∨m6∨m7∨m5∨m3∨m1
⇔m7∨m6∨m5∨m3∨m1
⇔∑(1、3、5、6、7)
∴⌝(p∧q)→r⇔∏(0、2、4)
既001、011、101、110、111是成真赋值,
000、010、100是成假赋值。
例题
例1.25给定命题公式如下,用等值演算判断公式类型
(1)(p∧q)→(p∨q)
解:
⇔﹁(p∧q)∨(p∨q)
⇔﹁p∨﹁q∨p∨q
⇔(﹁p∨p)∨(﹁q∨q)
⇔1∨1
⇔1
所以为重言式
(2)(p↔q)↔((p→q)∧(q→p))
解:
(p↔q)↔((p→q)∧(q→p))
⇔(p↔q)↔(↔q)
⇔((p↔q)→(p↔q))∧((p↔q)→(p↔q))
⇔(p↔q)→(p↔q)
⇔¬(p↔q)∨(p↔q)
⇔¬((p→q)∧(q→p))∨((p→q)∧(q→p))
⇔((¬(p→q)∨¬(q→p))∨(p→q))∧(¬(p→q)∨¬(q→p))∨(q→p))
⇔(1∨¬(q→p))∧(1