寿险精算习题及答案.docx
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寿险精算习题及答案
习题
第一章人寿保险
一、n年定期寿险
【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险,死亡赔付在死亡年年末,利率为3%。
I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人,计算赔付支出;
II、根据93男女混合表,计算赔付支出。
解:
I
表4-死亡赔付现值计算表
年份
年内死亡人数
赔付支出
折现因子
赔付支出现值
(1)
(2)
(3)=1000*
(2)
(4)
(5)=(3)*(4)
1
1
1000
1.03J
970.87
2
2
2000
1.03工
1885.19
3
3
3000
1.03」
2745.43
4
4
4000
1.03虫
3553.95
5
5
5000
1.03,
4313.04
合计
---
15000
---
13468.48
根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为:
1000(11.0321.03^31.03’41.0351.03冷=13468.48(元)
则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元,同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
解:
II
表4乞死亡赔付现值计算表
年份
年内死亡人数
赔付支出
折现因子
赔付支出现值
(1)
(2)
(3)=1000*
(2)
(4)
(5)=(3)*(4)
1
1000*q40=1.650
1650
1.03,
1601.94
2
1000*1|q40=1.809
1809
1.03,
1705.16
3
1000*2^40=1.986
1986
1.03’
1817.47
4
1000*^q40=2.181
2181
1.03-
1937.79
5
1000*4〔q40=2.391
2391
1.03-
2062.50
合计
---
10017
---
9124.86
根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为:
2J_2J3_4_5
1000^(q4^<1.03+1|q4^<1.03+2|q4^<1.03+3^4^1.03+4|q4^1.03)=912486
(元)
则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元,同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险,死亡赔付在死亡年年末,利率为5%。
根据93男女混合表计算:
I、单位趸缴纯保费;II、单位赔付现值期望的方差;III、(总)趸缴纯保费;
解:
I、单位趸缴纯保费为,
2
Ai0:
3|二"V■k〔q40=(vq40v1|q40■v2040)=(vq40■vP40q41v2P40q42)
k=0
0.00165丄(1—0.00165)x0.001812丄(1—0.00165)x(1—0.001812)x0.001993"[1.051.0521.053
=0.00492793(元)。
II、单位赔付现值期望的方差为,
2
A40:
3|-(A40:
3|)v")k|q40-(A40:
3|)=(vq40v1|q40v2|q40)〜(Al0:
3)=°.00444265
k=0
III、趸缴纯保费为,10000a4°3=49.28(元)
【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险,利率为8%假设
x
lx=1000
(1),计算趸缴纯保费。
105
29
=100000'1.08"1)kP50q50k
k=0
2955_k
故,100000a50:
30|=100000、1.08«k1—-
心5555-k
=20468.70(元)
10000011—(1/1.08)30
xx
551.081-(1/1.08)
二、终身寿险
【例4.4】某人在40岁时投保了10000元终身寿险,死亡赔付在死亡年年末,利率为5%根据93男女混合表计算:
I、单位趸缴纯保费;II、单位赔付现值期望的方差;III、(总)趸缴纯保费;
解:
I、单位趸缴纯保费为,
64
k-12365
A40=為V山40=Vq40v1040v2^40…V64^40=0.18853(元)。
k=0
II、单位赔付现值期望的方差为,
64
2A40-(A40)2八v2(k°^40-(人。
)2=0.00191979
k=0
III、趸缴纯保费为,10000At0=1885.29(元)
三、n年定期生存寿险
【例4.5】某人在40岁时投保了10000元20年定期生存寿险,死亡赔付在死亡年年末,利率为
5%根据93男女混合表计算:
I、单位趸缴纯保费;II、单位赔付现值期望的方差;III、(总)趸缴纯保费;
解:
I、单位趸缴纯保费为,a40:
20广V2020p40=0.342332(元)
II、单位赔付现值期望的方差为,v22020p4020q40=0.0313891
III、趸缴纯保费为,10000江氐為=342332(元)
纯保费+风险附加费用=100(E(z)R)=100(0.34233170.0213183)=36.365(元)
四、n年定期两全保险
【例4.6】某人在40岁时投保了10000元20年两全寿险,死亡赔付在死亡年年末,利率为5%根据93男女混合表计算:
I、单位趸缴纯保费;II、单位赔付现值期望的方差;III、(总)趸缴纯保费;
解:
I、单位趸缴纯保费为,俭远严人:
词+人如晶=0.391722(元)
II、单位赔付现值期望的方差为,Var(z)二Var(z))•Var(z2)-2E(zJE(Z2)=0.004261
III、趸缴纯保费为,10000At0:
20|=391722(元)
六、延期寿险
【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单,死亡年年末赔付,如果在40-60岁死亡,赔付
50000元;65-75岁死亡,赔付100000元;在75岁后死亡,保险金为30000元。
利用生命表93U、利率6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。
解、这份保单可以分解为一份50000元的25年定期寿险、一份100000元延期25年的10年定期寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合,即,
50000(M40-M65)100000(M65-M75)30000M7550000(M4°M65)-70000M
E(z)=
D40D40D40D40
_50000(13451.43+7800.72)-70000汉4432.388QQ8487一
-9394295-元
这份保单还可以分解为一份30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000元延期25年的10年定期寿险的组合,即,
七、变额寿险
【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元趸缴纯保费和方差,
死亡年度末给付,年利率6%参照生命表(U,93,1000000):
I、终身寿险;II、20年定期寿险;III、20年定期两全保险;IV、延期10年终身寿险;V、延期10年的20年定期寿险;VI、延期10年的20年定期两全保险。
解、I、终身寿险:
Aso=M50'D50=11729.04‘51090.53=0.229574
DA50二DM50/DD50-M50/d50=225.6235/2773.6211-(11729.04「51090.53)2=0.028642
II、20年定期寿险:
AL20|=(M50-M70)/D50=(11729.04-6149.05)/51090.53=0.109218
DA10:
20|=(DM50-DM70)/DD50-(M50-M70)2/D;0
2
二(225.6235-60.4193)/2773.6211-((11729.04-6149.05)/51090.53)二0.047634
III、20年定期两全保险:
A50:
20|=(M50-M70D70)/D50=(11729.04-6149.0512374.69)/51090.53=0.351429
22
DA50:
20|=(DM50-DM70DD70)/DD5^_(M5^_M70D70)/D50
2
0.011583
=(225.6235-60.4193209.471)/2773.6211-((11729.04-6149.0512374.69)/51090.53)2二
IV、延期10年终身寿险:
10|As0=M60/D50=9301.66/51090.53=0.182062
222
elDA50=DM60/DD50-M6o/D50=130.1094/2773.6211-(9301.66/51090.53)=0.013763
V、延期10年的20年定期寿险:
10|A50:
20|=(M60-M80)/D50=(9301.66-2802.27)/51090.53=0.127213
122
10|DA50:
20|=(DM60-DM80)/DD50_(M60_M80)/D50
2
^(130.1094-18.522)/2773.6211-((9301.66-2802.27)/51090.53)2=0.024048
VI、延期10年的20年定期两全保险:
10|人0:
20|訥60的。
D80)/D50=(9301.66-2802.274312.51)/51090.53=0.211622
=10|DA50:
20|=(DM60一DM80■DD80)/DD50-(M601M80'D80)/D50
2
=(130.1094-18.52240.7625)/2773.6211-((9301.66-2802.274312.51)/51090.53)=0.010144
第三节连续型(死亡即刻赔付)寿险趸缴纯保费
求A40和DA40。
当x=40,fx(t)二丄,0Et^100-40=60。
60
DA40=2A40-(A40)^0.06593;
【例4.10】(x)投保终身寿险,死亡即刻赔付1元。
假设余命服从常数死亡率分布,亠-0.06,
利息力6=0.03。
计算,I、Ax、DAx;II、Pr(w兰J.9)=0.9,求J.9;III、假设有100
个(x)独立同分布的个体购买了该保险,每人世纪缴纳保费为(VR)Ax。
在正态分布条件下
X~ftt
二二,则,
解、在常数死亡力下,tPx=exp(—fAds)=e」,4X*
2”e」y
p
解得,09■0.9;
Zagg二100_E(z)100RE(z)
III、Zagg二z■Z2■...■Z100>N{100E(z),100Var(z)},根据题意,
Pr{zagg=100(1R)E(Z)}和亏00—Var(z)_100—Vag}"95
二、延期定额寿险
利息力为、:
=0.06,生存函数S(x)=e°04x,(x_0)。
求赔付现值zt趸缴净保费、方差和
中位数-0.05。
趸缴净保费:
方差:
22
ioiDA<=doAx-(io|Ax)0.028820484
中位数005:
当事件乙=0时,意味着被保险人一直处于延期范围,在这段时间会有一个累积死亡概率,
也称为重点概率。
在本例中延期范围m=10,则,
10
P(Zt=0)=R(t:
:
10)=°O.O4ed04tdt=0.32968
也就是说有32.968%的死亡事件发生在延期范围内。
由于0.32968<0.5,说明中位数不在重点
概率上。
则,
r
10O.O4e4.04tdt=0.5—0.32968=0.17032二土」。
4"10=0.17032弋r=17.32867721中位数=17.33。
第五章生存年金
第一节离散型年金
1、终身生存年金
【例5.1】某人今年45岁,花费10000元购买了一份期末付终身生存年金产品,利率5%根据
93U生命表计算单位元精算现值的期望和方差,并计算每年可领取的金额。
1.052r922.7917“24700.0312各
2[()]=10.6076
0.0511849.2184106465.3200
每年可领取金额=10000/a45=10000/15.128=661.026(元)
2、定期生存年金
【例5.2】某人在40岁购买了一份20年定期生存年金产品,如果存活可在每年年初领取1000
元的给付,利率6%,根据93U生命表计算精算现值。
(元)
3、延期终身生存年金
【例5.3】对于(30)从60岁起每年年初6000元的终身生存年金,利率为6%试用93U生命表
求趸缴净保费。
4、延期定期生存年金
【例5.4】某人在30岁时投保养老金保险,保险契约规定,如果被保险人存活到60岁,则确
定给付10年年金,如果被保险人到70岁依然存活,则从70岁起获得生存年金。
如果年金每年年初支付一次,每次支付6000元,利率6%根据93U生命表计算趸缴净保费。
解、趸缴净保费=6000(希V3030P30•40030)=6000(帝30E30•40©30)
=11205.45
10
或者,趸缴净保费
1_V=6000(a和「10|360)30E30=6000(■
dD60
三、年付一次变额生存年金
1、一般变额生存年金
【例5.5】某人30岁购买从60岁起支付的生存年金,契约规定:
被保险人60-69岁每年付给6000元,70-79岁每年付给7000元,80岁后每年付给8000元。
在预定利率6%条件下,根据93U表计算趸缴净保费。
解、保费二600030E30a60:
10|700040E30a7010|800050E30a8010|
-(6000N601000N701000N80-8000N90)“D30=11455.98(元)
2、等额递增生存年金
【例5.6】某人在50岁时购买了一份终身生存年金,给付从51岁开始每年一次,给付额第一
年为5000元、第二年5500元、第三年6000元。
计算这笔年金的精算现值。
解、可以理解为一个每年支付4500元的3年期等额生存年金加上一个每年递增500元的3年期
等额递增生存年金,贝
精算现值=4500a50500(la)50=(4500N51500S51)/D50=75416.67(元)
五、年付多次生存年金
1、年付r次终身生存年金
【例5.7】在例5.3中,若年金每月支付一次,求趸缴净保费。
解、净保费简算法:
6000汉30a302)茫6000汉(30点30—汉30E30)=6000汉24"60一11。
60=1035708(元)
2x1224D30
净保费简算法:
=94035.82(元)
6000过12斛.叫12-1)^06"4730.1^1]0037.79
12x(1.06;—1)x(1—1.06)
【例5.8】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金,如果被保险人在60岁前死亡,则在死亡年年末获赔10000元。
如果利率6%根据93U表计算精算现值。
解、这张保单由定期寿险和延期终身生存年金构成,精算现值为,
10000心30|600030冃302)=10000凹20阪6000竺昱11D6^=10676.33(元)
:
|D3024D30
第六章均衡净保费
第一节离散型均衡净保费
一、全期缴纳的均衡净保费
【例6.1】某人60岁购买了一份1000元的终身人寿保险,每年初缴付保费,终身缴付。
已知利率6%按93U表计算死亡年年末赔付的年缴均衡净保费。
解、1000P60=1000皿9301.663530.4264(元)
N60305710.3817
【例6.2】某人40岁购买了3年期1000元定期寿险,保险金在死亡年年末赔付,保险费每年初
缴付保费,已知利率6%按93U表分别计算2和3年内的缴均衡净保费。
解、
【例6.3】张某今年30岁购买了生存年金,从60岁起每年年初获6000元生存年金,利率6%
如果保费在30和10年内均衡缴付,根据93U表分别计算年均衡净保费。
解、张某30岁购买的是一份延期30年的终身生存年金,如果30内均衡缴付,则有,
如果10内均衡缴付,则有,
【例6.4】某人在45岁时购买寿险,契约规定若在第一年内死亡,给付保险金8000元,以后
多存活一年后死亡,保险金减少500元,保险金额减少到零时,合同终止。
若保险金额在死
亡年末付,保费5年内缴清。
利率为4%根据03M表计算年缴净保费。
解、该人购买的是定期16年递减寿险,每年递减额为500元。
均衡方程式为,
5Pa45:
5|=50°(。
人冶词,
第二节连续型均衡净保费
【例6.5】设生存函数J1-丄(x_0),-=0.05,试求40岁的人投保终身寿险的连续
100
型均衡净保费。
解、tPx二
lxt
100—x—t
lx
100-x'
1
,当"40时,fxf
60
则有,A=
*0
fx(t)dt二丄
60
60.t
0edt"3167
所以,陽二A40
a40
A40=0.0232
1-A40
第四节一年多次缴的均衡净保费
【例6.6】(25)投保35年期的定期寿险,保险金额为10000元,保费在每月月初缴纳,保险金
在死亡年末付给,利率4%根据93U表计算I、全期缴纳月保费;II、10年限期缴纳的月保费。
解、I、年缴12次的年净保费:
1
(12),"1、A25:
35|M25-M60
p()(A25:
35|)L10000
a25:
35iN_N—12T(D_D)
54683.2936-39801.6626
n25n60212(D25D60)
10000石21・65
8138148.1240-1134383.2491(367688.9906-83431.7875)
月保费为,P(12)(a25:
35)/12=1.8042
【例6.7】对于(40)的20年定期寿险,如果被保险人在保险期内死亡,除了赔付100000元
外,还退还过去已缴净保费的累积。
假设利率5%保险赔付在死亡年末,保险费每年初缴付
一次、20年付清,根据93U表计算以下几种情况的年缴均衡净保费。
I、退换保费部分不计利息;
II、退换保费部分按3%十复利;
解、设年缴均衡净保费为P,则,
I、不计利息;已缴净保费的累积虽然不计息,但给付以保险人在保险期内死亡为条件,这
就构成定期递增的寿险,其收支平衡式为,P汉a40页|=100000汉A;0页|+卩汇(IA);0:
勿,解
得,
1
P=100000江A40勿=100000540-M60)=74629
a40:
20|—(IA)40:
20|(N40-N60)—(民0-R60+20汇M60)
II、按3%十复利:
如果退还保费以利息率j计息,退还保费部分的给付是一个随被保险人死亡时间变动的年金终值,即,b心=P^s刊j,其现值变量为,W=vk*汇,
(0_k_n)
n-1
E(W)二P'vk15口仃k|qx,
k=0
收支平衡式为,Pa40:
20|=100000A:
0:
羽PS,解得,
二409.2965
1
100000〃40画P二
a__S
40:
20|
1000000.0493905
12.773834-0.706665
第二章责任准备金
第一节离散型责任准备金
一、将来法全期缴费责任准备金
【例7.1】设有1000个40岁的人同时投保1000元5年定期寿险,保费在5年内均衡缴付。
当利率为6%根据93U生命表分析未来5年预期净保费收入和预期赔付支出。
解、每人年缴净保费为,
1000P4o,5|=1000^A40^=1000M4^M45=100013451.43-12667.171.876062
1-““1422016.88-1003984.10
a40:
5|
N40—■N45
1终身寿险
【例7.2】(35)投保1单位元终身寿险,保险金在死亡年末给付,保费在每年年初缴纳。
在
利率6%条件下,运用93U表计算5V35、1(y35、
2“35。
解、5V3「M1_M5山=13451.43_14116・121422016.89=0.03558
D40N35D4093942.951985692.0293942.95
10V35-
M45M35N4512667.17
—\=
D45N35D4569496.46
14116・121003984.11=0.07957
1985692.0269496.46
20V35
M55M35N5510611.87
—-■■■■.
D55N35D5537176.27
14116.12469304-4^0.19571
1985692.0237176.27
6%
【例7.3】某人40岁投保1000元死亡年末付终身寿险,保费在每年初均衡缴付,利率为
试用93U表米用将来法计算未来各年责任准备金。
1000汉A40*
10005P40汉a40*:
5Zk|
kV40
0
143.19
143.19
0.00
1
150.38
117.71
32.67
2
157.87
90.93
66.94
3
165.68
62.45
103.23
4
173.81
32.18
141.63
5
182.27
0.00
182.27
10
229.57
0.00
229.57
20
349.61
0.00
349.61
30
496.91
0.00
496.91
注:
由于保费在5年内缴付,5年后的责任准备金正好等于