届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题后附详尽解析及答案.docx

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届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题后附详尽解析及答案

2016—2017学年度第一学期期末检测试题

高三数学2017.01

试题Ⅰ

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）

1．已知集合，，则▲．

2．设（为虚数单位，，），则▲．

3．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是▲．

4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的的值为5，

则输出的的值为▲．

5．已知直线与圆交于两点，

则弦的长度为▲．

6．已知且，则直线的斜率

小于0的概率为▲．

7．若实数满足，则的最大值为▲．

8．若正四棱锥的底面边长为（单位：

），侧面积为（单位：

），

则它的体积为▲（单位：

）.

9．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为▲．

10．已知，则▲．

11．已知是函数两个相邻的极值点，且在处的导数，则▲．

12．在正项等比数列中，若，则的最小值为▲．

13．已知是边长为的等边三角形，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值是▲．

14．已知一个长方体的表面积为48（单位：

），12条棱长度之和为36（单位：

），

则这个长方体的体积的取值范围是▲（单位：

）．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

在中，，，．

（1）求的长；

（2）求的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点.

（1）求证：

EF∥平面PAB；

（2）若AP=AD，且平面PAD平面ABCD，证明：

AF平面PCD.

17．（本小题满分14分）

如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方.经测量得知：

AD=6米，AE=6米，AP=2米，.记（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米．

（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据：

）

（2）求的最小值.

18．（本小题满分16分）

如图，椭圆，圆，过椭圆的上顶点的直线:

分别交圆、椭圆于不同的两点、，设．

（1）若点点求椭圆的方程；

（2）若，求椭圆的离心率的取值范围．

19．（本小题满分16分）

已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立．

（1）若，求；

（2）若对任意，都有及成立，求正实数的取值范围；

（3）若，是否存在两个互不相等的整数，使成等差数列？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数，其中函数，．

（1）求函数在处的切线方程；

（2）当时，求函数在上的最大值；

（3）当时，对于给定的正整数，问函数是否有零点？

请说明理由．（参考数据）

2016—2017学年度第一学期期末检测试题

高三数学2017.01

试题Ⅱ

（全卷满分40分，考试时间30分钟）

21．（本小题满分10分）

已知，若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求矩阵的特征值.

22．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，

试求直线与曲线C的交点的直角坐标.

23．（本小题满分10分）

为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.

（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

（2）设为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求的分布列和数学期望.

24．（本小题满分10分）

已知，

其中是关于的函数.

（1）若，求，的值；

（2）若，求证：

.

2016-2017学年度高三第一学期期末测试

数学试题Ⅰ参考答案2017．1

一、填空题

1．2．3．4．5．

6．7．8．9．10．

11．12．13．14．

15.⑴因为，且，，

.---------------6分

⑵方法一：

在中，，，，

，--------------------9分

又，所以，所以，-------------11分

所以.---------------------14分

方法二：

由，，可得，

又，所以.--------------------8分

在中，，所以，------10分

又，所以，所以，

所以.-------------------14分

16.

（1）证明：

因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，-----------------3分

又AB面PAB，EF面PAB，所以EF∥平面PAB.---------------------6分

⑵证明：

在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD面ABCD，所以CD平面PAD，---------------------10分

又AF面PAD，所以CDAF.①

因为PA=AD且F是PD的中点，所以AFPD，②

由①②及PD面PCD，CD面PCD，PD∩CD=D，所以AF平面PCD.---------------14分

17.⑴方法一：

在PME中，，PE=AE-AP=4米，，，

由正弦定理得，

所以，---------------------2分

同理在PNE中，由正弦定理得，

所以，---------------------4分

所以PMN的面积S

，------------------8分

当M与E重合时，；当N与D重合时，,即，，

所以.

综上可得：

.---------------------10分

方法二：

在PME中，，PE=AE-AP=4米，，，由正弦定理可知：

，

所以，---------------------2分

在PNE中，由正弦定理可知：

，

所以，---------------------4分

所以,

又点P到DE的距离为，---------------------6分

所以PMN的面积S=

，---------------------8分

当M与E重合时，；当N与D重合时，,即，，

所以.

综上可得：

.---------------------10分

⑵当即时，取得最小值为.------13分

所以可视区域PMN面积的最小值为平方米.---------------------14分

18.

（1）由在圆上得

又点在椭圆上得解得

椭圆的方程是--------------------------------------5分

（2）由得或--------------------------------------7分

由得或--------------------------------------9分

，，，

即

，即，又,----16分

19.

（1）因为，所以

即--------------------------------------2分

故，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以--------------------------------------4分

（2）依题意，即，即，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，

所以--------------------------5分

因为--------------------------8分

所以，所以恒成立，

即，所以。

--------------------------------------10分

（3）由得：

，

所以当时，

，

当时，上式也成立，

所以，又，

所以，------------------------------------12分

假设存在两个互不相等的整数，使成等差数列，

等价于成等差数列，即---------------------13分

即，因为，所以，即------------14分

令，则，所以递增，

若，则，不满足，所以，

代入得，

当时，显然不符合要求；

当时，令，则同理可证递增，所以，

所以不符合要求.

所以，不存在正整数，使成等差数列.----------------------16分

20.解：

（1），故，

所以切线方程为，即---------------------3分

（2），故，

令，得或.

①当,即时，在上递减，在上递增，

所以,由于，，故，所以;--------------------5分

②当,即时，在上递增，上递减，在上递增，

所以，

由于，，故，---------------------7分

所以;

综上得，----------8分

（3）结论：

当时，函数无零点；当时，函数有零点------------9分

理由如下：

①当时，实际上可以证明：

．

方法一：

直接证明的最小值大于0，可以借助虚零点处理．

，显然可证在上递增，

因为，，

所以存在，使得，

所以当时，递减；当时，递增，

所以，其中，

而递减，所以，

所以，所以命题得证。

---------------------14分

方法二：

转化为证明，下面分别研究左右两个函数．

令，则可求得，

令，则可求得，所以命题得证。

----------14分

方法三：

先放缩，再证明．

可先证明不等式（参考第1小题，过程略），所以只要证，

令，则可求得，

所以命题得证．--------------14分

②当时，，

此时，，

下面证明，可借助结论处理，首先证明结论：

令，则，故，

所以在上递增，所以，

所以在上递增，所以，得证。

借助结论得，

所以，又因为函数连续，所以在上有零点--------------16分

数学试题Ⅱ参考答案

21.解：

由题意得,即,解得,

所以,--------------------5分

所以矩阵的特征多项式为，

令，解得或，即矩阵的特征值为5和3.---------------------10分

22.解：

将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为--------------------2分

将曲线C的参数方程化为普通方程可得：

--------------------5分

由得，解得或，又，所以，

所以直线与曲线C的交点的直角坐标为（1,1）.--------------------10分

注：

结果多一解的扣2分

23.解：

⑴甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件，事件共包含个基本事件，则，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概