小学奥数时钟问题-主要题型.doc

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   小学奥数时钟问题

 钟表是我们生活中重要的计时工具.钟面上的分针，时针都在连续不断的按规律转动着.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.是特殊的、在圆周上的行程问题；如求分针与时针重合、成角等有趣的问题.研究此类问题对提高思维能力很有益处。

为解好这类问题应掌握以下基础知识.即常用关系式.

    1．钟面的一周分为60格,每格为6°.每个数字间隔为5个格为30°.分针每分钟走一格,为6°.时针每分钟走格.为0.5°.分针速度是时针速度的12倍，时针是分针速度的.

    2．时针和分针在重合状态时，分针每再走60÷（1－）=65（分）,再与时针重合一次.

    3.若在初始时刻两针相差的格数为a,分针在后，则后者赶上前者的时间为:

  a÷（1－）（分）

    4. 两针垂直,表示它们所成最小角是90°.

5. 两针在一直线上，它们成的角是180或0

显示标准时间:

就是时针和分针重合,每隔12小时.它的整数倍.

快或慢多少

距一处左右相等

时钟问题的公式解法- 角度

怎样计算某一时刻时针与分针所夹角的度数问题呢？

下面介绍一个非常简易的公式，供参考。

根据钟表的构造我们知道，一个圆周被分为12个大格，每一个大格代表1小时；同时每一个大格又分为5个小格，即一个圆周被分为60个小格，每一个小格代表1分钟。

这样对应到角度问题上即为一个大格对应360°/12=30°；一个小格对应360°/60=6°。

现在我们把12点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则m时n分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。

若用α表示此时两指针夹的度数，则α=30（m+n/60）-6n。

考虑到两针的相对位置有前有后，为保证所求的角恒为正且不失解，我们给出下面的关系式：

α=|30（m+n/60）-6n|=|30m-11n/2|。

这就是计算某一时刻两指针所夹角的公式，例如：

求5时40分两指针所夹的角。

把m=5，n=4代入上式，得α=|150-220|=70（度）

利用这个公式还可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。

因为两指针重合时，他们所夹的角为0，即公式中的α为0，再把时数代入就可求出n。

例如：

求3时多少分两指针重合。

解：

把α=0，m=3代入公式得：

0=|30*3-11n/2|，解得n=180/11，即3时180/11分两指针重合。

又如：

求1点多少分两指针成直角。

解：

把α=90°，m=1代入公式得：

90=|30*1-11n/2|解得n=240/11。

（另一解为n=600/11）

现举几例阐述解题方法与思路.

    例1、现在是4时,什么时候,时针和分针第一次相遇？

    解：

由20÷（1-）=21（分）,在4点21分.

    例2、在10时与11时之间,钟面上时针和分针在什么时刻垂直?

    解：

第一次垂直需走 5÷（1-）=5（分）,在10点5分.

      第二次垂直需走 5×7÷（1-）=38（分）,在10点38.

    例3、在10时和11时之间的什么时刻,分针与时针在一条直线上?

    解：

若两针反向需走 5×4÷（1-）=21（分）,在10点21分.

      若两针重合时需走 5×10÷（1-）=54（分）,在10点54.

    例4. 在7时到8时之间（包括7时与8时）的什么时刻分针与时针之间的夹角为120度?

    解：

按顺时针方向，时针在前，分针在后成120度，此时分针要多走15小格，

所以要走15÷（1-）=16分。

此时是7时16分

若按顺时针方向，分针在前，时针在后成120度，此时分针要多走55小格，

所以要走55÷（1-）=60（分）此时是8时。

    例5. 一只钟的时针与分针均指在2与4之间,且距钟面上数字3的距离相等.这时是什么时刻?

    解:

第一种情况时针在3上面。

设时针在3上面与3距离为x，分针在3下面与3距离为x。

列方程 5×3+x=12×（5-x）

解得x=3。

所以此时是2点18分

    第二种情况时针在3下面，与3距离为x；分针在3上面与3距离为x。

因为从3点到此时，时针走了x，分针走了15-x。

列方程得

12x=15-x解出 x=1，15-x=13。

所以此时是3点13分

    例6. 有一个闹钟每天快1.5分种,现在将它的时间对准,这个钟下次显示准确的时间需要多少天?

    解：

此钟下次显示准确的时间，是在快了12小时的时候。

所以需要经过的天数60×12÷1.5=480（天）

    例7. 有一台老钟，比走时准确的钟每小时快12分钟.如果这台老钟走过2小时,那么准确的钟走了多少小时?

    解：

由（60+12）：

60=6：

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    则准确的钟走了 2×=1小时

    例8. 小丽家的钟比标准时间每小时慢2分钟.小丽早上7点上学把钟对准,中午回家时钟正好指着12点.此时的标准时间是多少?

    解：

7点到12点，小丽家的钟走了12-7=5小时

小丽家的钟走的时间：

标准钟走的时间=58：

60。

所以标准钟走的时间为 5×=5=5小时10分

则此时标准时间是12时10分

    例9. 小张的手表是走时准确的,小李的表比小张的表每小时慢2分钟;小赵的表比小张的表每小时快2分钟.8点时三只表对准,那么当小李的表12点时,小赵的表指示几点几分？

    解：

因为,小张的手表走时：

小李的表走时：

小赵的表走时=60：

58：

62。

当小李的表指示12点时，小李的表走了4小时，

小赵的表走了4×=4小时。

由小时=16（分）小赵的表指示的是12点16（分）

    例10. 小明家有一个老时钟,它的时针与分针每隔66分钟重合一次.如果早晨8点将钟对准,到第二天早晨时钟再次指示8点时,实际时间是几点几分?

    解：

标准钟的时针与分针重合一次需60÷（1-）=65（分）。

设此老时钟实际走了x小时，则

65：

66=24：

x

解出 x=24（时）=24时12分。

实际时间是8点12分。

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