几何五大模型之五燕尾定理.docx
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几何五大模型之五燕尾定理
几何五大模型之五燕尾
定理
燕尾定理
目tMiig-
燕尾定理:
在三角形ABC中，AD9BE,CF相交于同一点O,
那么，
'wo:
S^co=BD:
DC
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为A43O和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多儿何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明燕尾定理:
如右图，D是3C上任意一点，请你说明：
S「S严S2：
S严BD.DC
DC为底，所以有
【解析】三角形化Q与三角形C£D同高，分别以血
S\：
Sq=BD:
DC;
三角形ABE与三角形劭Q同高，S\；S严ED.EA;
三角形ACE与三角形C££＞同高，Sj.S产ED.EA,
综上可得，S、:
S产SjS3=BD:
DC・
【例1]（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是
1,E是AC的中点，点D在BC上,且BD:
DC=1:
2,AD与BE交于点F•贝
四边形DFEC的面积等于.
【巩固】如图，已知BD=DC,EC=2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面
积.
A
BD
【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cnr,E在AC上,点D在BC上,且
AE:
EC=3:
5fBD:
DC=2:
3fAD与BE交于点F・则四边形DFEC的面积等
于・
【巩固】如图，已知BD=3DC,EC=2AE,处与CD相交于点O,则AABC被分成的4
部分面积各占WC面积的几分之几
【巩固】（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在AABC中，CP气CB,
CQ=\cAtBQ与处相交于点X,若MBC的面积为6,则厶倔的面积等
于.
B
【巩固】如图，三角形ABC的面积是1,BD=2DC,CE=2AE,AP与处相交于点
F,请写出这4部分的面积各是多少
【巩固】如图，E在AC上，D在3C上，且AE:
EC=2:
39BD.DC=\.2,AD与BE交于
点F•四边形DFEC的面积等于22cnf,则三角形A3C的面积
【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那么
三角形AMV（阴影部分）的面积为多少
【巩固】如图，长方形A3CQ的面积是2平方厘米，EC=2DE,F是DG的中点•阴
影部分的面积是多少平方厘米
【例2]如图所示，在四边形ABCD中，AB=3BE9AD=3AF,四边形A£OF的面
积是12,那么平行四边形BODC的面积为•
E
【例3]A3CQ是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、边的中点，AF
与CE交于G,则四边形AGCD的面积是平方厘米.
【例4]如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，£是的中点，尸是BC的
中点，四边形BGHF的面积是平方厘米.
【例5]如图所示，在△ABC中，BE:
EC=3",D是AE的中点，那么
AF:
FC=•
【巩固】在MBC中，BD:
DC=2:
\9AE:
EC=1:
3,求OB:
OE=
【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形A3CQ是矩形，E、F分
别是加.BC上的点，且AE=^-AB,CF=；BC,AF与C£相交于G,若矩形
34
ABCD的面积为120,则AAEG与ACGF的面积之和为•
【例7]如右图，三角形A3C中，BD:
DC=4:
9,CE:
E4=4:
3,求AF.FB•
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:
DC=3:
4,AE:
CE=5:
6,求
【巩固】如图，BD:
DC=2:
3,AE:
CE=5:
39则AF:
BF=
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:
DC=2:
3,£A:
CE=5:
4,求
【例8]（2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABC中，
AF:
FB=BD:
DC=CE:
AE=3:
2,且三角形ABC的面积是1,则三角形ABE的面
积为,三角形AGE的面积为,三角形GM的面积为•
面积是1,求三角形ABC的面积•
【巩固】（2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）如图，“sc中
BD=2DA9CE=2EB,AF=2FC9那么MBC的面积是阴影三角形面积的倍.
课后作业
1、如图，已知BD=3DC,EC=2AE,施与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占面积的儿分之儿
2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面
积分别是3,7,7,则阴影四边形的面积是多少
3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积己经标在图中，那么,阴影三角形的面积是.
4、如图，三角形ABC的面积是1,BD=2DC,CE=2AE,2与BE相交于点F,请
写出这4部分的面积各是多少
5、如右图，三角形ABC中，BD:
DC=4:
9fCE:
E4=4:
3,求AF:
FB.
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