高考数学江苏专版专题复习教学案专题二 立体几何 含答案.docx

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高考数学江苏专版专题复习教学案专题二立体几何含答案

江苏新高考

高考对本专题内容的考查一般是“一小一大”，小题主要考查体积和表面积的计算问题，而大题主要证明线线、线面、面面的平行与垂直问题，其考查形式单一，难度一般.

第1课时立体几何中的计算（基础课）

[常考题型突破]

空间几何体的表面积与体积

[必备知识]

空间几何体的几组常用公式

（1）柱体、锥体、台体的侧面积公式：

①S柱侧＝ch（c为底面周长，h为高）；

②S锥侧＝ch′（c为底面周长，h′为斜高）；

③S台侧＝（c＋c′）h′（c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高）．

（2）柱体、锥体、台体的体积公式：

①V柱体＝Sh（S为底面面积，h为高）；

②V锥体＝Sh（S为底面面积，h为高）；

③V台＝（S＋＋S′）h（不要求记忆）．

（3）球的表面积和体积公式：

①S球＝4πR2（R为球的半径）；

②V球＝πR3（R为球的半径）．

[题组练透]

1．现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径为________cm.

解析：

因为圆锥底面半径为3cm，母线长为5cm，所以圆锥的高为＝4cm，其体积为π×32×4＝12πcm3，设铁球的半径为r，则πr3＝12π，所以该铁球的半径是cm.

答案：

2．（2017·苏锡常镇二模）已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2，则该直四棱柱的侧面积为________．

解析：

由题意得，直四棱柱的侧棱长为＝2，所以该直四棱柱的侧面积为S＝cl＝4×2×2＝16.

答案：

16

3．（2017·南通、泰州一调）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，则三棱锥D1A1BD的体积为_______cm3.

解析：

三棱锥D1A1BD的体积等于三棱锥BA1D1D的体积，因为三棱锥BA1D1D的高等于AB，△A1D1D的面积为矩形AA1D1D的面积的，所以三棱锥BA1D1D的体积是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积的，所以三棱锥D1A1BD的体积等于×32×1＝.

答案：

4.如图所示是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一个平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，A1A＝4，B1B＝2，C1C＝3，则此几何体的体积为________．

解析：

在A1A上取点A2，在C1C上取点C2，使A1A2＝C1C2＝BB1，连结A2B，BC2，A2C2，

∴V＝V＋V

＝×1×1×2＋×××＝.

答案：

5．设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等且＝，则的值是________．解析：

设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，又＝，∴＝，∴＝，则＝2＝.

答案：

[方法归纳]

求几何体的表面积及体积的解题技巧

（1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．

（2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．

多面体与球的切接问题

[必备知识]

解决球与其他几何体的切、接问题

（1）解题的关键：

仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系．

（2）选准最佳角度作出截面：

要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，达到空间问题平面化的目的．

（3）认识球与正方体组合的3种特殊截面：

（4）熟记2个结论：

①设小圆O1半径为r，OO1＝d，则d2＋r2＝R2；

②若A，B是圆O1上两点，则AB＝2rsin＝2Rsin.

[题组练透]

1．（2017·江苏高考）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

解析：

设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.

答案：

2．（2017·全国卷Ⅲ改编）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．

解析：

设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－2＝，所以圆柱的体积V＝×π×1＝.

答案：

3．已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥EABCD的体积为________．

解析：

如图所示，BE过球心O，

∴DE＝＝2，

∴VEABCD＝×3××2＝2.

答案：

2

4．（2017·南京、盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG体积的最大值是________．

解析：

因为将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，

圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，

所以三棱锥OEFG的高为圆柱的高，即高为AB，

所以当三棱锥OEFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，

当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max＝×4×2＝4,

所以三棱锥OEFG体积的最大值（VOEFG）max＝×（S△EFG）max×AB＝×4×3＝4.

答案：

4

[方法归纳]

多面体与球的切接问题的解题技巧

方法

解读

适合题型

截面法

解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作

球内切多面体或旋转体

构造直角三角形法

首先确定球心位置，借助外接的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径

正棱锥、正棱柱的外接球

补形法

因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解

三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等

平面图形的翻折问题

[必备知识]

将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是化解翻折问题难点的主要方法．

[题组练透]

1．（2017·南通三模）已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为________．

解析：

因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以圆锥的母线长l＝3，设圆锥的底面半径为r，则底面周长2πr＝3×，所以r＝1，所以圆锥的高为＝2.

答案：

2

2．（2017·南京考前模拟）如图，正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别为边AC与BC的中点，现将△ABC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面DCB，则棱锥EDFC的体积为________．

解析：

S△DFC＝S△ABC＝×＝，E到平面DFC的距离h等于AD＝.

VEDFC＝×S△DFC×h＝.

答案：

3.（2017·全国卷Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为________．

解析：

法一：

由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC的边长变化时，

设△ABC的边长为a（a>0）cm，

则△ABC的面积为a2，△DBC的高为5－a，

则正三棱锥的高为＝，

∴25－a>0，

∴0

∴所得三棱锥的体积V＝×a2×＝×.

令t＝25a4－a5，

则t′＝100a3－a4，

由t′＝0，得a＝4，

此时所得三棱锥的体积最大，为4cm3.

法二：

如图，连接OD交BC于点G，由题意知，OD⊥BC.易得OG＝BC，

设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，S△ABC＝×2x×3x＝3x2，

故所得三棱锥的体积V＝×3x2×＝x2×＝×.

令f（x）＝25x4－10x5，x∈，

则f′（x）＝100x3－50x4，

令f′（x）>0，即x4－2x3<0，得0

则当x∈时，f（x）≤f

（2）＝80，

∴V≤×＝4.

∴所求三棱锥的体积的最大值为4.

答案：

4

[方法归纳]

解决翻折问题需要把握的两个关键点

（1）解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧的，线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”．

①与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；

②与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变．

（2）解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．

[课时达标训练]

1．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1ADE的体积为________．

解析：

VB1ADE＝VDAEB1＝S△AEB1·DA＝×××1×1＝.

答案：

2．若两球表面积之比是4∶9，则其体积之比为________．

解析：

设两球半径分别为r1，r2，因为4πr∶4πr＝4∶9，

所以r1∶r2＝2∶3，所以两球体积之比为πr∶πr＝3＝3＝8∶27.

答案：

8∶27

3．（2017·天津高考）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．

解析：

设正方体的棱长为a，则6a2＝18，得a＝，设该正方体外接球的半径为R，则2R＝a＝3，得R＝，所以该球的体积为πR3＝×＝π.

答案：

π

4．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.

解析：

设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则侧面积为πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，则圆锥的高h＝＝8，则此圆锥的体积为πr2h＝π×36×8＝96π.

答案：

96π

5．（2017·扬州期末）若正四棱锥的底面边长为2（单位：

cm），侧面积为8（单位：

cm2），则它的体积为________（单位：

cm3）．解析：

因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c＝8，ch′＝8，所以斜高h′＝2，正四棱锥的高为h＝，所以正四棱锥的体积为×22×＝.

答案：

6．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．

解析：

由题意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝πr3，S2＝πr2，由＝得，＝，得a＝r，从而＝＝.

答案：

7.（2017·苏北三市三模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．

解析：

三棱锥的底面积S△ABA1＝×3×3＝，点P到底面的距离为△