初二数学最新教案第五节三角形内角和定理的证明.docx
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初二数学最新教案第五节三角形内角和定理的证明
第五节三角形内角和定理的证明
第六课时
●课题
§6.5三角形内角和定理的证明
●教学目标
（一）教学知识点
三角形的内角和定理的证明.
（二）能力训练要求
掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.
（三）情感与价值观要求
通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.
●教学重点
三角形内角和定理的证明.
●教学难点
三角形内角和定理的证明方法.
●教学方法
实验、讨论法.
●教具准备
三角形纸片数张.
投影片三张
第一张：
问题（记作投影片§6.5A）
第二张：
实验（记作投影片§6.5B）
第三张：
小明的想法（记作投影片§6.5C）
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课
［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5A）
工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：
将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角.
图6－34 图6－35 图6－36
为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？
Ⅱ.讲授新课
［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）
用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：
△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？
图6－37
［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.
［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.
［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？
［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.
［师］很好.看实验：
当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.
请同学们猜一猜：
三角形的内角和可能是多少？
［生齐声］180°
［师］180°，这一猜测是否准确呢？
我们曾做过如下实验：
（出示投影片§6.5B）
实验1：
先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38
（1））然后把另外两角相向对折，
使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图
（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.
（1）
（2）（3）（4）
图6－38
实验2：
将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
［师］由实验可知：
我们猜对了！
三角形的内角之和正好为一个平角.
但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？
请同学们再来看实验.
图6－39
这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.
这时，∠A与∠ACE能重合吗？
［生齐声］能重合.
［师］为什么能重合呢？
［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥BA.
［师］很好，这样我们就可以证明了：
三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：
三角形的内角和等于180°这个真命题.
这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？
［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.
［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？
图6－40
［生甲］已知，如图6－40，△ABC.
求证：
∠A+∠B+∠C=180°
证明：
作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
即：
∠A+∠B+∠C=180°.
［生乙］老师，我的证明过程是这样的：
证明：
作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.
则：
EC∥AB（同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）
［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
我们通过推理的过程，得证了命题：
三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：
三角形的内角和定理.
小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？
（出示投影片§6.5C）
图6－41
在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？
你有没有其他的证法.
［生甲］小明的想法可行.因为：
∵PQ∥BC（已作）
∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）
∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）
图6－42
［生乙］也可以这样作辅助线.即：
作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.
［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.
图6－43
即：
如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.
∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）
∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）
∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）
∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.
Ⅲ.课堂练习
（一）课本P196随堂练习1、2.
图6－44
1.直角三角形的两锐角之和是多少度？
等边三角形的一个内角是多少度？
请证明你的结论.
答案：
90°60°
如图6－44，在△ABC中，∠C=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B=90°.
图6－45
如图6－45，△ABC是等边三角形，则：
∠A=∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=60°
图6－46
2.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：
∠ADE=50°.
证明：
∵DE∥BC（已知）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=70°（已知）
∴∠AED=70°（等量代换）
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）
∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）
∵∠A=60°（已知）
∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）
（二）读一读P197.
（三）看课本P195~196，然后小结.
Ⅳ.课时小结
这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：
运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P198习题6.61、2
（二）1.预习内容P199~200
2.预习提纲
（1）三角形内角和定理的推论是什么？
（2）三角形内角和定理的推论的应用.
Ⅵ.活动与探究
1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？
（如图6－47
（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？
（如图6－47
（2））“凑”到三角形外一点呢？
（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？
（1）
（2）（3）
图6－47
［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.
［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.
证明略.
●板书设计
§6.5三角形内角和定理的证明
一、三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°
图6－48
已知，如图6－48，△ABC.
求证：
∠A+∠B+∠C=180°
证明：
作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：
∠A=∠ACE（）
∠ECD=∠B（）
∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）
二、议一议
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
巧添平行线－6.5三角形内角和定理的证明
证三角形内角和定理
贵州省剑河二中杨通刚
课本给出了三角形内角和定理的一种证明方法，其证明思路是作∠ECA=∠A，然后利用平行线的判定与性质证明∠ECD=∠B.这样就将三个内角转移成平角∠BCD使定理获证.其实，巧添平行线转移角度也能很快地得到证明.
图6－49
证法一：
如图6－49，延长BC至D，过C点作CE∥AB.
∵CE∥AB，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACB+∠2+∠1=180°（平角定义）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
图6－50
证法二：
如图6－50，过点A作EF∥BC，则∠1=∠B，∠2=∠C.
∵∠1+∠BAC+∠2=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°.
图6－51
证法三：
如图6－51，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F.
∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4，
∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠A=∠4，
∴∠2=∠A，
又∠1+∠2+∠3=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°.
图6－52
证法四：
过点A作AD∥BC（如图6－52）
∵AD∥BC
∴∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°.
图6－53
证法五：
如图6－53，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.
∵BE∥AD∥CF
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∠EBC+∠BCF=180°
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°.
参考练习－6.5三角形内角和定理的证明
图6－54
1.已知，△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F（如图6－54），∠ABC=45°,∠BAC=75°,∠AFB=120°.
求证：
BE⊥AC.
证明：
∵AD是高（已知）
∴∠ADB=90°（垂直的定义）
∵∠ABC+∠ADB+∠BAD=180°（三角形内角和定理）
∠ABC=45°（已知）
∴∠BAD=45°（等式的性质）
∵∠BAC=75°（已知）
∴∠DAC=30°（等式的性质）
∵∠AFB+∠AFE=180°（1平角=180°）
∠AFB=120°（已知）
∴∠AFE=60°（等式性质）
∵∠AFE+∠AEF+∠DAC=180°（三角形内角和定理）
∴∠AEF=90°（等式性质）
∴AC⊥AE（垂直的定义）
2.如图6－55，△ABC中，∠B=∠ACB，CD是高，求证：
∠BCD=
∠A.
图6－55
证明：
∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
∠B=∠ACB（已知）
∴∠B=
=90°－
∠A
∵CD是△ABC的高（已知）
∴∠BDC=90°
∵∠BDC+∠B+∠DCB=180°（三角形内角和定理）
∴∠BCD=180°－∠BDC－∠B
=180°－90°－（90°－
∠A）
=
∠A（等式的性质）
§6.5三角形内角和定理的证明
班级：
_______姓名：
_______
一、填空
请你填一填
（1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______.
（2）在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______.
（3）在△ABC中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______.
（4）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______.
（5）在图6—5—1和6—5—2中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______
（6）已知，如图6—5—3，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______.
图6—5—1图6—5—2图6—5—3
二、选择题
认真选一选
（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）
A.65°B.115°C.80°D.50°
（2）两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线（）
A.相互重合B.互相平行
C.相互垂直D.无法确定相互关系
图6—5—4
（3）如图6—5—4，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）
A.35°B.45°C.55°D.75°
三、
数学眼光看世界
图6—5—5
（1）一块大型模板如图6—5—5，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检查模板是否合格？
（2）小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对知识掌握的程度，她给小白出了一道这样的题目：
图6—5—6
如图6—5—6，证明五边形的内角和等于540°.即：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°.
参考答案
一、
（1）60°
（2）57.5°（3）60°（4）30°60°90°（5）∠1+∠2=∠B+∠C（6）18°
二、
（1）B
（2）C（3）B
三、
（1）测量∠B+∠C是否等于150°，∠C+∠D是否等于160°，若是则合格，否则不合格.
（2）分析：
连结对角线将五边形分割成三个三角形.如连结BD、BE，则五边形ABCDE被分割成三个三角形：
△BCD、△BDE、△ABE，这三个三角形的所有内角和等于180°×3=540°,即为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°
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