一元二次方程根的分布与不等式技巧训练有答案绝对好精品.docx

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一元二次方程根的分布与不等式技巧训练有答案绝对好精品

一元二次函数根的分布（20130924）

姓名

成绩

2

1.设有一元二次方程x+2（m-1）x+（m+2）=0.试问：

（1）m为何值时，有一正根、一负根.

（2）m为何值时，有一根大于1、另一根小于1.

⑶m为何值时，有两正根.

（4）m为何值时，有两负根.

（5）m为何值时，仅有一根在［1,4］内？

2.当m为何值时，方程一二r汇一；"---有两个负数根?

3.m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x+5-m=0的两个实根都大于2?

2

4.

（1）已知关于x方程：

x-2ax+a=0有两个实根a,3,且满足02,求实根a的取值范围.⑵m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x+5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.

5.已知函数

=（P+4t_：

5）开2+4（1_0乂十3

的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围.

6.已知关于x的方程（m-1）x2-2mx+m+m-6=0有两个实根a,3，且满足0VaV1求实数m

的取值范围.

-2,0）,严（1,3）,

C.

心<0如电

7.已知关于x的方程3x2-5x+a=0的有两个实根a,3，满足条件a€（求实数a的取值范围.

8.选择题

（1）已知方程（m1）x2+3x-仁0的两根都是正数，则m的取值范围是（）

--

A.-B.

-—<<1

4

C.

-—

4

D.二

22

（2）方程x+（m-1）x+（m2）=0

的一个根比

1大，另一

'个根比-1

小，则m的取值范围是（）

A.0Vmv2B.-3VmV1C.

-2VnV0

D.

-1vmV1

（3）.已知方程-:

:

:

•有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

-1或庄>-・

B.IM

。

或o<上<1

9.已知关于x的方程3x2+（m-5）x+7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m的取值范围.

10.已知关于x的方程X2+2mx+2m+3=0的两个不等实根都在区间（0,2）内，求实数m的取值范围.

11:

求下列函数的值域

11

门）y=3x2+衣

（2）y=x+x

12:

已知x

5A

，求函数y4x2的取大值。

44x5

13•当■-时，求y

x（82x）的最大值。

14.

（2）求y

X27x10

x1

（x

1）的值域。

（1）若log4xlog4y

2，求丄丄的最小值•并求x,y的值

xy

15.已知x,y为正实数，且

=1,

1

16.已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y=不的最小值.

17、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数W=,3x+2y的最值.

18.正数a,b,c满足a+b+c=1,求证：

（1—a）（1—b）（1—c）>8abc

19.已知a、b、cR，且abc1。

求证：

-1-1-18

abc

19

20：

（1）已知x0,y0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

xy

1ab、

⑵若ab1,Plgalgb,Q—（Igalgb）,Rlg（），则P,Q,R的大小关系是_—

22

作业答案

2

1.设有一元二次方程x+2（m-1）x+（m+2）=0.试问：

（1）m为何值时，有一正根、一负根.

⑵m为何值时，有一根大于1、另一根小于1.

⑶m为何值时，有两正根.

（4）m为何值时，有两负根.

（5）m为何值时，仅有一根在［1,4］内？

解：

（1）设方程一正根X2,—负根Xi,显然xi、X2v0,依违达定理有m+2<0.

mv-2.

反思回顾：

X1、X2V0条件下，acv0,因此能保证△>0.

⑵设X1V1,X2>1,贝UX1-1v0,X2-1>0只要求（x1-1）（x2-1）v0,即X1X2-（x计X2）+1v0.依韦达定理有

（m+2）+2（m-1）+1v0.

解得-+”

（3）若X1>0,X2>0，贝UX1+X2>0且X1,X2>0,故应满足条件

<呵+靭〉

依韦达定理有

4（m-l）a-4（m+2）>0,

*-2（m-1）〉0,

m+2^>0.

k

解得-2

忑.

A>o.

〔4）设0,则k円〉0,衍+勒<0故，应满足心円〉S

■4（tn-1）3-4（tn+2）〉0，

ffc韦达定理有w-2（m-2）<0,

tn+1沁

解得

即

2.

当m为何值时，方程—二」.-［有两个负数根?

解:

负数根首先是实数根，•上上〕，

由根与系数关系：

要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负,由以上分析，有

两根之积为正.

△=（4初-4贰2兀帥T）10

上邑伽CQ

a2

2

m<丄或脚>.1

2

彳啊》0

1

朋〉一即I弓

（^21—<<丄》或锲>1）

:

时,

原方程有两个负数根.

3.m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x+5-m=0的两个实根都大于2?

解：

设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2

ma-16>0,

的充要条件是’一¥>厶解得-5

f⑵>0,

由图象不难知道，方程f（x）=0在[3,4]内仅有

[9+6（m-1）+（m+2）]•[16+8（m-1）+（m+2）]v0.

•••（7m+1）（9m+10）v0.

97

2

4.已知关于x方程：

x-2ax+a=0有两个实根a,3，且满足02，求实根a的取值范围.

2

解：

设f（x）=x-2ax+a,则方程f（x）=0的两个根a,3就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点

的横坐标，如图02的条件是：

f（0）>0,彳F〔l）<0.

f

（2）<（h

解得4牛所以当4售时，方程的两个实根5满足Xa

<1,3>2.

例3.m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x+5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.

解：

设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图，原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件是f

（2）<0,即4+2（m-2）+5-m<0.解得m<-5.所以当m<-5时，方程的一个实根大于2,另一个实

的图象都在x轴上方，求实数

k的取值范围.

解：

（1）当--，则所给函数为二次函数，图象满足:

，即

（2）当T|：

：

「--,时，卜-'J/J

若：

一匚」「」、一「-的图象不可能都在x轴上方，•••：

--

若<=-，则y=3的图象都在x轴上方

由

（1）

（2）得：

--<12

反思回顾：

此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论.

22

6.已知关于x的方程（m-1）x-2mx+m+m-6=0有两个实根a,3，且满足0VaV1求实数m

的取值范围.

解：

设f（x）=x2-2mx+ni+m-6,则方程f（x）=0的两个根a,3，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个

交点的横坐标.

如图，0VaV1V3的条件是

m-1〉0,

F〔0）>0,

Hj）

m-VO,缶F（O）<0,

f（0<0）

解得_-•:

■ii'■■..

7.已知关于x的方程3x2-5x+a=0的有两个实根a,3，满足条件a€（

-2,0）,B€（1,3）,

求实数a的取值范围.

解：

设f（x）=3x2-5x+a,由图象特征可知方程（1,3）的

ffC-2）>0,

f（x）=0的两根a,

B,并且a€

-2,0）,B€

条件;

fCo?

'f

（1）<0,

解得-12Vav0.

8.选择题

（1）已知方程（m1）x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（B）

A.

⑵方程x2+（m-1）x+（m2）=0的一个根比

1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（

A.0vmv2

B.-3vmv1

C.-2vmv0

D.-1vmv1

（3）.已知方程"有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（C）

A.

B.

C.

D.

已知关于x的方程3x2+（m-5）x+7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m的取值范围.

（mW-亍，提示=令f（%）=+（m-5）x+7,由图象特征

可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：

10.已知关于x的方程x2+2mx+2耐3=0的两个不等实根都在区间（

一提下：

令F（呂）=/十+2m+子*

9.

f（4）<0）

0,2）内，求实数m的取值范围.

由图象特

征可知方程f（x）

rA>u,

fCo）>0?

£⑵>0,）

0<-m<2

=0的两根都在（0,2）内的充要条件是

不等式技巧

应用一：

求最值

1求下列函数的值域

1

（1）y=3x2+衣

（2）y=x+x

1

解：

（1）y=3x2+2p

1

22P=.'6•值域为［.；6,+a）

（2）当x>0时，y=x+1>2寸x-x

=2;

1

当x<0时，y=x+1=—（—x—

x

•••值域为（一a,—2]U[2,

解题技巧：

技巧一：

凑项

5

2：

已知x4，求函数y4x

1）<—

x

+m）

1

-=—2

x

解：

因4x

0,所以首先要

2

4x

1-的最大值。

5

“调整”

符号，又（4x

4x0，y

4x2

15

4x5

2）|

4x5

4x13231

54x

—不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项,

1

，即x1时，

54x

评注：

本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：

凑系数

3.当U■…一-■时，求yx（82x）的最大值。

当且仅当

4x

上式等号成立，故当x1时，ymax1。

解析：

由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子

积的形式，但其和不是定值。

注意到2x（82x）8为定值，故只需将yx（82x）凑上一个系数即可。

1-

y^x（8-2x）=-[2r*（E-2r）]<

当」「，即x=2时取等号

评注：

本题无法直接运用基本不等式求解，

x3，求函数y

2

»2丿

当x=2时，yx（82x）的最大值为8。

但凑系数后可得到和为定值，

从而可利用基本不等式求最大值。

变式：

设0

4x（3

2x）的最大值。

解：

•••0

0•••y

4x（32x）22x（32x）

22x32x

2

当且仅当

2x

32x,即x

30,3时等号成立。

42

技巧三：

分离

x27x

10（xx1

解析一：

本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（

4.求y

1）

的值域。

x+1）的项，再将其分离。

当11,即■-1I时，y2（x1）

9（当且仅当x=1时取“=”号）。

技巧四：

换元

解析二：

本题看似无法运用基本不等式，可先换元,

4

t

（t1）27（t1）+10_t25t4丄

—t

t=x+1，化简原式在分离求最值。

当，1,即t=，-1时，y2

t4

评注：

分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最

A

值。

即化为ymg（x）B（A0,B0）,g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

g（x）

（当

t=2即x=1时取“=”号）。

技巧五：

注意：

在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

f（x）x—的单调

x

性。

变式：

若log4xlog4y2，求丄1的最小值并求x,y的值

xy

技巧六：

整体代换：

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

技巧七、

5.已知x,y为正实数，且x2+专=1，求x,1+y2的最大值.

分析：

因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式

I一a2+b2

abw—。

2•2；y-=2X.+专

同时还应化简.1+y2中y2前面的系数为1,x.1+y2=x

X」+扌w巴

技巧八：

即x.1+y2=.2x1+y;w

F面将x，"：

2+^2分别看成两个因式:

（1+专）2X2+专+1

__2=2

，再用单调

因已知条

6.已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y=語分析：

这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值,的途径进行。

的最小值.

一是通过消元，转化为一元函数问题

二是直接用基本不等式，对本题来说，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式

30—2b

ab=^ZT

、出30—2b

法一：

a=

b+1

由a>0得，0vbv15

—2t2+34t—31

1vtv16,ab=

令t=b+1,

—2b2+30bb=

b+1

2（t+辛）+34vt+学>2.t•¥=8

/•ab<18

当且仅当t=4，即b=3,a=6时，等号成立。

法二:

由已知得：

令u=ab

•••abw32,

30—ab=a+2b-u2+22u—30<0,

1abw18,「.y>18

a+2b>22ab•30—ab>22ab

—5*2wuw3』2

点评:

①本题考查不等式

ab—

ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等

2

式ab

a2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等

ab■—

式ab（a,bR）,这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

2

变式：

1.已知a>0,b>0,ab—（a+b）=1,求a+b的最小值。

2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。

技巧九、取平方

7、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数W=,3x+,2y的最值.

解法一：

若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，■a+上w亡严，本题很简单

3x+2yw2（,3x）2+（；2y）2=,2,3x+2y=25

解法二：

条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

=10+（3x+2y）=20

W>0,W2=3x+2y+2>/5x•^y=10+2\/3x^2^w10+）2-^/2y）2

•Ww20=2_5

变式：

求函数y,2x152x（1

5）的最大值。

2

解析：

注意到2x1与52x的和为定值。

y2（、、2x1.52x）242.（2x1）（52x）4（2x1）（52x）8

又y0,所以0y2、2

3

当且仅当2x1=52x，即x时取等号。

故ymax22。

2

评注：

本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

应用二：

利用基本不等式证明不等式

8.正数a，b,c满足a+b+c=1,求证：

（1—a）（1—b）（1—c）>8abc

9.已知a、b、cR，且abc1。

求证：

丄111-18

abc

连乘，又

分析：

不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“

口L_bc，可由此变形入手。

aa

解:

一a、b、

1。

同理-1

b

2、.ac

b

^ab

1-

c

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

111111辽

abca

8。

当且仅当

-时取等号。

3

应用三：

基本不等式与恒成立问题

19

10：

已知x0,y0且一

xy

1，求使不等式

m恒成立的实数

m的取值范围。

解:

yk,x0,y

0,19

xy

xy

kx

9x9y

ky

1.

101kkxky

10

2-。

k16,k

应用四:

k

均值定理在比较大小中的应用:

16

11.若ab1,P

..lgaIgb,Q

1

2（lg

lgb）,R

ab、

lg（），则P,Q,R的大小关系是

2

分析：

•••ab

1/.lga0,lgb

Q1（lga

2

Rlg（专）

2

lgb）.lgalgb

lgabilgab

•••R>Q>P。