完美版圆锥曲线知识点总结.docx
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完美版圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点Fi、F2的距离的和等于常数2a（大于IF1F2I）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆
上）。
表示焦点在y轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
2
①范围：
由标准方程X2
a
2
+：
2
=1知IXI兰a,IyI兰b,说明椭圆位于直线X=±a,y=±b所围成的矩形里;
②对称性：
在曲线方程里，若以
-y代替y方程不变，所以若点（X,y）在曲线上时，点（x,-y）也在曲线上,
所以曲线关于X轴对称，同理，以
-X代替X方程不变，则曲线关于y轴对称。
若同时以-X代替X，-y代替y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于X轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心
叫椭圆的中心;
3顶点：
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与
X轴、y轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令
半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：
椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在R^OB2F2中，IOB2|=b,|OF2|=c,|B2F2|=a,
且|OF2I2=|B2F212-|OB2I2，即C2=a2—b2；
c
④离心率：
椭圆的焦距与长轴的比e=—叫椭圆的离心率。
・.・a>c〉0,•••Ocecl，且e越接近1,c就
a
越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a，这时椭
圆越接近于圆。
当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆,
方程为X2+y2=a2。
2.双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（
IIPFiI-1PF242a）。
注意：
①式中是差的绝对值，在0<:
2&<|吒卩2|条件下；
|PFiI—IPF21=2a时为双曲线的一支；
|PF21TPFiI=2a时为双曲线的另一支（含Fi的一支）；②当2aHF1F21时，IIPRITPF2II=2a表示两条射
线；③当2a>）F1F21时,
IIPFiITPF2||=2a不表示任何图形；④两定点Fi,F2叫做双曲线的焦点，IF1F2I叫做
焦距。
（2）双曲线的性质
①范围：
从标准方程
22
笃-与=1，看出曲线在坐标系中的范围：
双曲线在两条直线
a2b2
X=±a的外侧。
即
X2>a2，
X>a即双曲线在两条直线X=±a的外侧。
22
②对称性：
双曲线务-乂〒=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
ab
22
是双曲线X-y2=1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
a2b2
22
③顶点：
双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线
冷亠=1的方程里，对称轴是X,y轴，所
a2b2
22
以令y=0得X=±a，因此双曲线和X轴有两个交点A（-a,0）A2（a,0），他们是双曲线=1的顶点。
ab
令X=0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
，双曲线的顶点分别是实轴的两个
1）注意：
双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）
端点。
2）实轴：
线段AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：
线段BB?
叫做双
曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
4渐近线：
注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从
22
图上看，双曲线务-上牙=1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
ab
5
等轴双曲线:
2）等轴双曲线的性质：
（1）渐近线方程为：
y=±x；
（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
22
3）注意到等轴双曲线的特征
a=b，则等轴双曲线可以设为：
x-y=a@h0），当＞0时交点在x轴,
当几＜0时焦点在y轴上。
222
⑥注意x__i_=1与
1699
x2
-茴1的区别：
三个量a，b，c中a，b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标
轴也变了。
平面内与一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线I上）。
定点F叫做
抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线。
方程y=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程。
注意：
它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（—,0），它的准线方程是x=-卫
22
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：
y2=-2px,X2=2py,x2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如
说明：
（1）通径：
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径
;
（2）抛物线的几何性质的特点：
有一个顶
点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线;
（3）注意强调P的几何意义：
是焦点到准线
的距离。
4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
、方程的曲线:
在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x,y）=o的
实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上
的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：
若曲线
C上二f（xo,yo）丰o。
两条曲线的交点：
若曲线
C的方程是f（x,y）=O，则点Po（xo,yo）在曲线C上二f（xo,yo）=0;点Po（xo,yo）不在曲线
Ci,C2的方程分别为fi（x,y）=o,f2（x,y）=0,则点Po（xo,yo）是C,C2的交点二
{HoyoWO方程组有fzdo’yo）=o
n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交
点。
二、圆:
1、
2、
定义：
点集｛MIIOMI=r｝,其中定点0为圆心，定长r为半径.
方程：
（1）标准方程：
圆心在c（a,b），半径为r的圆方程是（x-a）12*+（y-b）2=r2
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2
一般方程：
①当D2+E2-4F>0时,
22DE
元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为（巧巧）半径
是JD2+e2_4F。
配方，将方程
2
IDE22
x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x+一）2+（y+—）2=D+E-4F
22
（-D,-E）;
22
③当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（x0,y0），则IMC②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点
MCI=ru点M在圆C上,IMCI>y点M在圆C内，其中IMC|=J（Xo-a）2+（yo-b）2。
（4）直线和圆的位置关系：
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：
直线与圆相交线与圆相切二有一个公共点；直线与圆相离二没有公共点。
二有两个公共点；直
Aa+Bb+C
②直线和圆的位置关系的判定：
（i）判别式法；（ii）利用圆心C（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离d=
Ja2+b2
与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e（e
>0）,贝恸点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F（c,0）称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。
当0
1时，轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a（0<2a<|F1F2I）
的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
轨迹条件
点集：
（{MIIMF+IMFI
=2a,IF1F2I<2a}.
点集：
{MIIMFI-IMFI.
=±2a,IF2F2I>2a}.
点集｛MIIMFI=点M到直
线I的距离｝.
图形
■
II*
J
1
i''J
H
方程
标准
方程
22
•+"y^=1（aAb>0）ab
22
冷—厶=1（a>0,b>0）
ab
y2=2px
参数
方程
fx=acosQ
[y=bsin9（参数日为离心角）
Tx=asec0*=btan0（参数。
为离心角）
1X—2pf（t为参数）[y=2pt
范围
—a空空，一b
|X|>a,y忘R
x>0
中心
原点0（0,0）
原点0（0,0）
顶点
（a,0）,（—a,0）,
（0,b）,（0,—b）
（a,0）,（—a,0）
（0,0）
对称轴
X轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
X轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.
X轴
隹占
八、、八、、
Fi（c,0）,F2（—c,0）
F1（c,0）,F2（—c,0）
F^O）
准线
2
x=±—
c
准线垂直于长轴，且在椭圆
外.
2
.ax=±
c
准线垂直于实轴，且在两顶点的
内侧.
x=-E
2
准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.
焦距
2c（c=Ja2-b2）
2c（c=Ja2中b2）
离心率
c
e=—（0cec1）
a
c
e=—（eA1）
a
e=1
【备注1】双曲线:
22
Xy-
—-7?
fab
⑶等轴双曲线：
双曲线X2-y2=^2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x，离心率e=丘.
⑷共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线
X2
a2
22
与务-与=-几互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:
ab
2222
⑸共渐近线的双曲线系方程:
的渐近线方程为rn-g-如果双曲线的渐近线为；±；=0时,
A=a（aH0）.b2
2
它的双曲线方程可设为冷
a2
【备注2】抛物线:
（1）抛物线
标是（-—,0）
2
口向上；
=2px（p>0）的焦点坐标是（"p,0），准线方程x=--P，开口向右；抛物线y2=-2px（p>0）的焦点坐准线方程x=-p，开口向左；抛物线X2=2py（p>0）的焦点坐标是（0,号），准线方程yn-^，开
抛物线X2=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-y）,准线方程y=，开口向下.
2p2
（2）抛物线y=2px（p>0）上的点M（x0,y0）与焦点F的距离|MF|=x0+—；抛物线y=-2px（p>0）上的点M（x0,y0）
方程
焦点
焦线I对称轴
椭圆
22
（x-h）,（y-k）
a2b2
（±c+h,k）
2
丄a」
x=±—+h
c
x=h
y=k
叫做平移（或移轴）公式.
（4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表:
叫做焦半径）.
五、坐标的变换:
（1）坐标变换：
在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施
坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程
（2）坐标轴的平移：
坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平
移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：
设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y），在新坐标系x‘O'y'
「x—x♦hLx'—xh
中的坐标是（x',y'）.设新坐标系的原点O'在原坐标系xOy中的坐标是（h,k），则J"或—
]y=y'+ky'=y-k
22
（x-h）+（y-k）=1
.22
ba
（h,±c+k）
2
丄a,
y=±+k
c
x=h
y=k
双曲线
（x-h）2（y-k）2=1
2.2
ab
（±c+h,k）
2
丄a,
x=±+k
c
x=h
y=k
（y-k）2（x-h）2=1
（h,±c+h）
2
丄a,
y=±+k
c
x=h
y=k
2.2
ab
抛物线
2
（y-k）=2p（x-h）
（-+h,k）
2
x=-卫+h
2
y=k
（y-k）'=-2p（x-h）
（--+h,k）
2
x=^+h
2
y=k
2
（x-h）=2p（y-k）
（h,-+k）
2
py=——+k
2
x=h
（x-h）2=-2p（y-k）
（h,--+k）
2
y」+k
2
x=h
六、椭圆的常用结论:
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF仆2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的
两个端点.
角形的面积为S毎PF2=b2tanf.
22
8.椭圆冷+爲=1（a>b>0）的焦半径公式IMRAa+eXj,IMF2|=a—ex）（吒（—c,0）,F2（c,0）ab
M（Xo,yo））.
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，a为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点
F的椭圆准线于MN两点，贝yMFLNF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点交于点N,贝yMFLNF.
P、Q,A1、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点MAP和AQ
222
11.AB是椭圆笃+笃=1的不平行于对称轴的弦，M（X0,y0）为AB的中点，贝ykoMkAB=--T，即Kab=
bX
~。
ay。
aba
【推论】：
222
a2
1、若P0（X0,y0）在椭圆务+^=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是笃+爲=竽
baba
（a>b>o）的两个顶点为
A（—a,0）,A,（a,0），与y轴平行的直线交椭圆于P、R时AP与Azr交点的轨迹方程
求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
22
Xy
6、P为椭圆—=1（a>b>0）上任一点,Fi,F2为二焦点，a为椭圆内一定点，则
ab
2a—|AF2凶PAI+IPFiI兰2a+|AFi|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
a2
7、椭圆皿+忖"与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是
A2a2+B2b2>（Axo+Byo+C）2.
x2v2
&已知椭圆p+p=1（a>b>0）,O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP丄OQ.
（1）
ab
2222
12;
（2）|0P|2+|OQ|2的最大值为4ab2;（3）S西PQ的最小值是ab2
ba+ba+b
则IPFUe
|MNI2
2.22.2
a-ba-b
贝yaa
22
12、设A、B是椭圆务+占=1（a>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，NPAB=a,NpBA=P,
ab
2
NBPA=V,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
（1）|Pa22ab|2COS2J.
（2）tanatanP=1-e2.（3）
a-ccosY
s»b5co"
e（离心率）.
.）
B两点，点C在右准线丨上，且BC丄X轴，则直线AC经过线段EF的中点.
则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数（注：
在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点
17、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
七、双曲线的常用结论:
1、点P处的切线PT平分△PFiF2在点P处的内角.
2、PT平分△PFiF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆
P1P2的直线方程是竽
a
2
7、双曲线X2
a
（a>0,b>0）的左右焦点分别为
Fi,F2，点P为双曲线上任意一点NFiPF2，则双曲
线的焦点角形的面积为
2先
S应1PF2=bcot?
.
22
&双曲线xy=1a2b2
（a>0,b>0）的焦半径公式：
（FJ-c,。
），F2（c,0））当在右支上时,
IMF1|=ex）中a，|MF2|=ex）—a；当M（X0,y0）在左支上时，IMR卜-eX）中a，|MF?
|=-ex^-a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点，贝UMF1NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点MA2P和AiQ交于点N,贝UMFXNF.
2
11、AB是双曲线宁
a
2
占=1（a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦，M（X0,y0）为AB的中点，则KomMab=
b
b2X0
2
ay。
b2X0
2。
ay。
12、若F0Xoyo）在双曲线
2
x
2
a
22
；27a>0，b>0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是管*弋
2
b2
X0Xy0y
2222
XyXy
13、若F0（x0,y0）在双曲线一—2^=1（a>0,b>0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是—
abab
【推论】：
22
1、双曲线x^__y2=1（a>0,b>0）的两个顶点为A（-a,0）,A2（a,0），与y轴平行的直线交双曲线于p、p时
ab
22
A1P1与AP2交点的轨迹方程是冷+笃=1.
a2b2
X2y2
2、过双曲线__务=1（a>0,b>0）上任一点A（x0,y0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,
ab
则直线BC有定向且kBc=-聖（常数）.
ay。
22
3、若P为双曲线冷-爲
a2b2
=1（a>0,b>0）
右（或左）支上除顶点外的任一点
F1,F2是焦点，^PF1F2
nc—a
NPF2F1=p,则
"an兰cotP
c+a22
（或
口ian^cot兰）.
c+a22
2
4、设双曲线—計1（a>O'b>0）
的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2
中，记^FiPF2
sina
=a,NPF1F2=P,NF1F2P=Y，则有弓=c=e.
±（sin了-sinP）a
2
5、若双曲线—r"（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1a2
曲线上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
22
6、P为双曲线务—占=1（a>0,b>0）上任一点,Fi,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
ab
|AF2|-2a兰IPAI+1PRI,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.
22
7、双曲线务―£=1（a>0,b>0）与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2兰C2.
ab
22
&已知双曲线X7—占=1（b>a
ab
>0）,O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP丄OQ.
1111
（d）—■—+—■—=—-丄.
|OPr|OQ|2a2b2
42人22人2
（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为¥—;（3）S^pQ的最小值是一a.
b-ab-a
X2v2
9、过双曲线—=1（a>0，b>0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M，N两点，弦MN勺垂直平分线交
ab
X轴于P,贝U1PF1=®
IMNI2
2
X
10、已知双曲线笃
a
2
—■V^=1（a>0,b>0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（X0，O），b
2丄J
则X0>——或
a
22
a+b
X0<
a
22
11、设P点是双曲线务一■Vr=1（a>0，b>0）上异于实轴端点的任一点F1、F2为其焦点记NRPF2=T，则
（1）
ab
IPF1IIS送吋2=b2cot#.
1—cos02
X2v2
12、设A、B是双曲线一一一=1（a>0，b>0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，NPAB=«，NPBA=P，
ab
2
2abIco^^INBPA=V,c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有
（1）|PA|=—2一
|a-ccos了I
⑵tanatanP=1-e2.（3）S^AB
-2,2
=b^con.
22
Xv
13、已知双曲线—
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