高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第8节函数与方程基丛点练理.docx

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高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第8节函数与方程基丛点练理

2019-2020年高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第8节函数与方程基丛点练理

【选题明细表】

知识点、方法

题号

函数零点（个数）

2,3,6,8,12

确定函数零点所在区间

1,4,14

利用函数零点个数确定参数的取值（范围）

7,9,10,13,15,16

函数零点的综合问题

5,11

1.（xx孝感模拟）函数f（x）=ex+x-2的零点所在的一个区间是（　A　）

（A）（0,1）（B）（1,2）

（C）（-2,-1）（D）（-1,0）

解析:

因为f′（x）=ex+1>0在R上恒成立,

所以函数f（x）在R上单调递增.

又函数图象连续不断,

且f（0）=e0+0-2=-1<0,f

（1）=e1+1-2=e-1>0,

所以f（0）·f

（1）<0,所以函数f（x）的零点所在的一个区间是（0,1）.故选A.

2.若函数f（x）=ax+b有一个零点是2,那么函数g（x）=bx2-ax的零点是（　C　）

（A）0,2（B）0,

（C）0,-（D）2,-

解析:

由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g（x）=bx2-ax=0得x=0或x==-.

3.已知函数y=f（x）的图象是连续不间断的曲线,且有如下的对应值:

x

1

2

3

4

5

6

y

124.4

35

-74

14.5

-56.7

-123.6

则函数y=f（x）在区间[1,6]上的零点至少有（　B　）

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

解析:

依题意,f

（2）·f（3）<0,f（3）·f（4）<0,f（4）·f（5）<0,

故函数y=f（x）在区间[1,6]上的零点至少有3个.

4.（xx重庆模拟）已知函数f（x）=ex-x2+8x,则在下列区间中f（x）必有零点的是（　B　）

（A）（-2,-1）（B）（-1,0）

（C）（0,1）（D）（1,2）

解析:

f（-2）=e-2-（-2）2+8×（-2）<0,f（-1）=e-1-（-1）2+8×（-1）<0,

f（0）=1,所以f（-1）f（0）<0,又f（x）连续,且在（-1,0）单调,所以函数在区间（-1,0）必有零点.

5.（xx桂林模拟）设方程log4x-（）x=0,lox-（）x=0的根分别为x1,x2,则（　A　）

（A）0

（C）1

解析:

在同一坐标系内画出函数y=（）x,y=log4x,y=lox的图象,如图所示,

则x1>1>x2>0,

由log4x1=（）,lox2=（）得log4x1-lox2=log4（x1x2）=（）-（）<0,所以0

6.（xx沈阳模拟）函数f（x）=lg（|x|+1）-sin2x的零点个数为（　D　）

（A）9（B）10（C）11（D）12

解析:

由题意知求y=lg（|x|+1）与y=sin2x的交点个数,因为x=±9时,y=lg10=1,所以当x∈[0,9]时,y=lg（|x|+1）与y=sin2x有6个交点;当x∈[-9,0）时,y=lg（|x|+1）与y=sin2x有6个交点;所以共有12个交点.

7.已知x>0,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f（x）=-a（x≠0）有且仅有3个零点,则a的取值范围是（　A　）

（A）（,]（B）[,]

（C）（,]（D）[,]

解析:

由题意知y=a与y=（x>0）的交点个数为3个,

由y==

画出y=的图象（图略）,通过数形结合可知

a∈（,].

8.函数f（x）=cosx-log8x的零点个数为　　　　. 

解析:

由f（x）=0得cosx=log8x,

设y=cosx,y=log8x,作出函数y=cosx,y=log8x的图象,由图象可知,函数f（x）的零点个数为3.

答案:

3

9.已知f（x）=且函数y=f（x）+ax恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:

当x<0时,f（x）=（x+1）2-,把函数f（x）在[-1,0）上的图象向右平移一个单位即得函数y=f（x）在[0,1）上的图象,继续右移可得函数f（x）在[0,+∞）上的图象.如果函数y=f（x）+ax恰有3个不同的零点,即函数y=f（x）,y=-ax的图象有三个不同的公共点,

实数a应满足-a<-或≤-a<,

即a>或-

答案:

（-,-]∪（,+∞）

10.

（1）m为何值时,函数f（x）=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大;

（2）若函数（x）=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.

解:

（1）法一　设f（x）的两个零点分别为x1,x2,

则x1+x2=-2m,x1x2=3m+4.

由题意,知

⇒

⇒

所以-5

法二　由题意,知

即

所以-5

所以m的取值范围为（-5,-1）.

（2）令（x）=0,

得|4x-x2|+a=0,

即|4x-x2|=-a.

令g（x）=|4x-x2|,

h（x）=-a.

作出g（x）,h（x）的图象如图.

由图象可知,当0<-a<4,

即-4

g（x）与h（x）的图象有4个交点,

即（x）有4个零点.

故a的取值范围为（-4,0）.

能力提升练（时间:

15分钟）

11.（xx凉山州模拟）设函数f（x）=|lnx|-的两个零点为x1,x2,则有（　A　）

（A）x1x2<1（B）x1x2=1

（C）1

解析:

由f（x）=|lnx|-=0,得|lnx|=,

作函数y=|lnx|与y=的图象如图,

不妨设x1

由图可知,x1<1

则lnx1<0,且|lnx1|>|lnx2|,

所以-lnx1>lnx2,

则lnx1+lnx2<0,

即ln（x1x2）<0,

所以x1x2<1.

12.（xx山西大学附中高三上模块诊断）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数.当x≥0时,f（x）=

若关于x的方程5[f（x）]2-（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R）有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是（　C　）

（A）（0,1）∪（]（B）[0,1]∪（]

（C）（0,1]∪（]（D）（0,]∪{0}

解析:

在坐标系内作出函数y=f（x）的图象（如图所示）,

由5[f（x）]2-（5a+6）f（x）+6a=0得,f（x）=或f（x）=a,又因为关于x的方程5[f（x）]2-（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R）有且仅有6个不同实数根,由图象可知,f（x）=与函数图象有四个公共点,所以f（x）=a应与函数y=f（x）有两个公共点,由图象得a的取值范围为0

选C.

13.（xx黑龙江省双鸭山市高三期中）定义在（1,+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件:

（1）对任意的x∈（1,+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立;

（2）当x∈（1,2]时,f（x）=2-x.记函数g（x）=f（x）-k（x-1）,若函数g（x）恰有两个零点,则实数k的取值范围是（　B　）

（A）[1,2）（B）[,2）

（C）（,2）（D）[,2]

解析:

由题意得当x∈（1,2]时,f（x）=2-x.当x∈（2,4]时f（x）=4-x;当x∈（4,8]时f（x）=8-x;函数g（x）恰有两个零点即函数y=f（x）的图象与直线y=k（x-1）有且仅有两个交点,而y=k（x-1）过点（2,2）时,有且仅有一个交点,k=2,y=k（x-1）过点（4,4）时,有且仅有两个交点,k=,因此实数k的取值范围是[,2）.

14.（xx扬州模拟）如果函数f（x）=lnx+x-3的零点所在的区间是（n,n+1）,则正整数n=　　　　. 

解析:

根据对数函数的单调性与函数单调性的运算性质,可知f（x）=

lnx+x-3在（0,+∞）上是增函数,再通过计算知f

（1）=-2<0,f

（2）=

ln2-1<0,f（3）=ln3>0,所以f

（2）f（3）<0,根据零点存在性定理,可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2,3）,故n=2.

答案:

2

15.若方程=k（x-2）+3有两个不等的实根,则k的取值范围是　　　　. 

解析:

作出函数y1=和y2=k（x-2）+3的图象如图所示,函数y1的图象是圆心在原点,半径为2的圆在x轴上方的部分（包括端点）,函数y2的图象是过定点P（2,3）的直线,点A（-2,0）,kPA==.

直线PB是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半径得,=2,

得kPB=.

由图可知当kPB

即原方程有两个不等实根.

所以

答案:

（,]

16.已知函数f（x）=-x2+2ex+t-1,g（x）=x+（x>0,其中e表示自然对数的底数）.

（1）若g（x）=m有零点,求m的取值范围;

（2）确定t的取值范围,使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根.

解:

（1）法一　g（x）=x+≥2=2e,等号成立的条件是x=e.

故g（x）的值域是[2e,+∞）,

因而只需m≥2e,

则g（x）=m就有零点.

即m的取值范围是[2e,+∞）.

法二　解方程g（x）=m,

得x2-mx+e2=0.

此方程有大于零的根,故

等价于

故m≥2e.

即m的取值范围为[2e,+∞）.

（2）若g（x）-f（x）=0有两个相异的实根,

即函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点,作出g（x）,f（x）的

图象.

因为f（x）=-x2+2ex+t-1

=-（x-e）2+t-1+e2.

所以其对称轴为x=e,开口向下,最大值为t-1+e2.

故当t-1+e2>2e,

即t>-e2+2e+1时,g（x）与f（x）有两个交点,

即g（x）-f（x）=0有两个相异实根.

所以t的取值范围是（-e2+2e+1,+∞）.

精彩5分钟

1.（xx太原模拟）已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f（x）=ax+x-b的零点所在的区间是（　B　）

（A）（-2,-1）（B）（-1,0）

（C）（0,1）（D）（1,2）

解题关键:

由函数零点存在性定理作出判断.

解析:

因为实数a,b满足2a=3,3b=2,

所以a=log23>1,0

因为函数f（x）=ax+x-b,

所以f（x）=（log23）x+x-log32单调递增,

因为f（0）=1-log32>0,

f（-1）=log32-1-log32=-1<0,

所以根据函数零点存在性定理得出函数f（x）=ax+x-b的零点所在的区间为（-1,0）.

2.已知函数f（x）=5x+x,g（x）=x-lox,h（x）=log2x-的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是（　D　）

（A）x1>x2>x3（B）x2>x1>x3

（C）x1>x3>x2（D）x3>x2>x1

解题关键:

将函数零点转化为函数交点的横坐标,数形结合求解.

解析:

由f（x）=5x+x=0,g（x）=x-lox=0,h（x）=log2x-=0分别得5x=-x,x=lox,log2x=.

在坐标系中分别作出y=5x与y=-x,y=x与y=lox,y=log2x与y=的图象,

由图象可知-11,

所以x3>x2>x1.故选D.

3.函数f（x）是定义在R上的偶函数,且满足f（x+2）=f（x）.当x∈[0,1]时,f（x）=2x.若在区间[-2,2]上方程ax+a-f（x）=0恰有三个不相等的实数根,则实数a的取值范围是　　　　. 

解题关键:

数形结合求参数的取值范围.

解析:

由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2.

由ax+a-f（x）=0得f（x）=ax+a,

设y=f（x）,y=ax+a,作出函数y=f（x）,y=ax+a的图象.

如图,要使方程ax+a-f（x）=0恰有三个不相等的实数根,

则直线y=ax+a=a（x+1）的斜率满足0≤a

由题意可知,A（-1,0）,B（1,2）,

所以kAB==1,

所以0≤a<1,即a∈[0,1）.

答案:

[0,1）

2019-2020年高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第9节函数模型及其应用基丛点练理

【选题明细表】

知识点、方法

题号

用函数（图象）刻画实际问题中两变量的变化过程

1,2

一次函数、二次函数模型

4,5

函数y=x+（a>0）模型

10

指数函数模型

3,8,9,11

分段函数模型

6,7,9,12,13,14

1.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有（　A　）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

解析:

将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①是匀速的,故下面的图象不正确,②中的变化率是越来越慢的,正确;③中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;④中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有①是错误的.

2.若一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（　B　）

解析:

根据题意得解析式为h=20-5t（0≤t≤4）,其图象为B.

3.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的,当剩余的物质为原来的时,需要经过（　C　）

（A）5年（B）4年（C）3年（D）2年

解析:

由指数函数模型知（）x=,

解得x=3.

4.（xx高考北京卷）加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t（单位:

分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a,b,c是常数）,如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为（　B　）

（A）3.50分钟（B）3.75分钟

（C）4.00分钟（D）4.25分钟

解析:

由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点（3,0.7）,（4,0.8）,（5,0.5）,分别代入解析式,

得

解得

所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2（t-3.75）2+0.8125,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大.

5.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分）,则其边长x（单位:

m）的取值范围是（　C　）

（A）[15,20]（B）[12,25]

（C）[10,30]（D）[20,30]

解析:

如图所示,过A作AG⊥BC于G,交DE于F,则=,==,又=,

所以=,AF=x,FG=40-x,

阴影部分的面积S=x（40-x）≥300,

解得10≤x≤30.故选C.

6.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am（0

解析:

设CD=x,则S=x（16-x）（4

u=Smax=f（a）=

7.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f（x）的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:

00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为（　C　）

（A）上午10:

00（B）中午12:

00

（C）下午4:

00（D）下午6:

00

解析:

当x∈[0,4]时,设y=k1x,把（4,320）代入,

得k1=80,

所以y=80x,

当x∈[4,20]时,

设y=k2x+b.

把（4,320）,（20,0）代入得

解得

所以y=400-20x.

所以y=f（x）=

由y≥240,得或

所以3≤x≤8.

故第二次服药最迟应在当日下午4:

00.

8.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是a,则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为　　　　　. 

解析:

不妨设第一年8月份的产值为b,则9月份的产值为b（1+a）,10月份的产值为b（1+a）2,依此类推,第二年8月份的产值是b（1+a）12.又由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为=（1+a）12-1.

答案:

（1+a）12-1

9.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt（cm3）,经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过　　　　min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 

解析:

依题意有a·e-b×8=a,

所以b=,

所以y=a·

若容器中的沙子只有开始时的八分之一,

则有a·=a.

解得t=24,

所以再经过的时间为24-8=16min.

答案:

16

10.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.

（1）求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低

成本;

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?

最大利润是多少?

解:

（1）每吨平均成本为（万元）.

则=+-48≥2-48=32,

当且仅当=,

即x=200时取等号.

所以年产量为200吨时,每吨产品的平均成本最低,为32万元.

（2）设年获得总利润为R（x）万元,

则R（x）=40x-y=40x-+48x-8000

=-+88x-8000

=-（x-220）2+1680（0≤x≤210）.

因为R（x）在[0,210]上是增函数,

所以x=210时,

R（x）有最大值,为-（210-220）2+1680=1660.

所以年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.

能力提升练（时间:

15分钟）

11.（xx高考四川卷）某食品的保鲜时间y（单位:

小时）与储藏温度x（单位:

℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是（　C　）

（A）16小时（B）20小时（C）24小时（D）28小时

解析:

依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,

所以e22k===,

所以e11k=或-（舍去）,

于是该食品在33℃的保鲜时间是

e33k+b=（e11k）3·eb

=（）3×192

=24（小时）.

故选C.

【教师备用】在翼装飞行世界锦标赛中,某翼人空中高速飞行,如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v（x）与时间x的关系,若定义“速度差函数”u（x）为时间段[0,x]内的最大速度与最小速度的差,则u（x）的图象是（　D　）

解析:

由题意可得,当x∈[0,6]时,翼人做匀加速运动,

v（x）=80+x,“速度差函数”u（x）=x.

当x∈[6,10]时,翼人做匀减速运动,速度v（x）从160开始下降,一直降到80,u（x）=160-80=80.

当x∈[10,12]时,翼人做匀减速运动,v（x）从80开始下降,v（x）=

180-10x,u（x）=160-（180-10x）=10x-20.当x∈[12,15]时,翼人做匀加速运动,“速度差函数”u（x）=160-60=100,结合所给的图象,故选D.

12.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x（x∈N*）件.当x≤20时,年销售总收入为（33x-x2）万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y（万元）与x（件）函数关系式为　　　　,该工厂的年产量为　　　　件时,所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）. 

解析:

当x≤20时,y=（33x-x2）-x-100=-x2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x,故y=x∈N*.

当020时,160-x<140,故x=16时取得最大年利润.

答案:

y=x∈N*　16

13.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈（0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=loga（t-5）+83（a>0且a≠1）图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.

（1）试求p=f（t）的函数关系式;

（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?

请说明理由.

解:

（1）t∈（0,14]时,设p=f（t）=c（t-12）2+82（c<0）,将（14,81）代入得c=-,

t∈（0,14]时,p=f（t）=-（t-12）2+82;t∈[14,40]时,将（14,81）代入y=loga（t-5）+83,得a=,

所以p=f（t）=

（2）t∈（0,14]时,由-（t-12）2+82≥80,

解得12-2≤t≤12+2,所以t∈[12-2,14],

t∈（14,40]时,由lo（t-5）+83≥80,解得5

所以t∈（14,32],综上t∈[12-2,32],

即老师在t∈[12-2,32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.

14.某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价”计费方法,具体方法:

每户每月用水量不超过4吨的每吨2元;超过4吨而不超过6吨的,超出4吨的部分每吨4元;超过6吨的,超出6吨的部分每吨6元.

（1）写出每户每月用水量x（吨）与支付费用y（元）的函数关系;

（2）该地一家庭记录了去年12个月的月用水量（x∈N*）如表:

月用水量x（吨）

3

4

5

6

7

频数

1

3

3

3

2

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用（精确到1元）;

（3）今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表:

月用水量x（吨）

1

2

3

4

5

6

7

频数

10

20

16

16

15

13

10

据此估计该地“节约用水家庭”的比例.

解:

（1）y关于x的函数关系式为

y=

（2）由

（1）知:

当x=3时,y=6;

当x=4时,y=8;

当x=5时,y=12;

当x=6时,y=16;当x=7时,y=22.

所以该家庭去年支