大学运筹学课程知识点总结.docx
《大学运筹学课程知识点总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《大学运筹学课程知识点总结.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
大学运筹学课程知识点总结
1•用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
maxzx1x2
6x110x2120
510
3x28
X2
2•将下述线性规划问题化成标准形式。
minz3x14x22x35x4
xx2x32x414
(1)
2x13x2
X3
X4
x1,x2,x30,x4无约束
解:
令z'
z,
x4x4
X4
maxz'
3x1
4x2
2x35x4
5x4
4x1
X2
2X3
x4x;2
x1x2
X3
2X4
2x;X5
14
2x1
3x2
X3
X4x;X6
2
II!
X「X2,X3,X4,X4,X5,X6
3•分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题,并对照指出单纯形表中的各基可行解对应
图解法中的可行域的哪个顶点。
maxz10x!
5x2
3%4x29
5x12x28
%,x20
解:
①图解法:
X2
A
z=10z:
+bKE5x1+Zjc2=SJx114x2=y
②单纯形法:
将原问题标准化:
maxz10%5x2
3x14x2x39
5\2x2x48
Xi,X2,X3,X4
Cj
10
5
0
0
对应图解法
Cb
B
b
X1
X2
X3
X4
中的点
0
X3
9
3
4
1
0
3
0
X4
8
[5]
2
0
1
8/5
0点
j
0
10
5
0
0
0
X3
21/5
0
[14/5]
1
-3/5
3/2
10
X1
8/5
1
2/5
0
1/5
4
C点
j
-16
0
1
0
-2
5
X2
3/2
0
1
5/14
-3/14
10
X1
1
1
0
-1/7
2/7
B点
j
35/2
0
0
-5/14
-25/14
最优解为(1,3/2,0,0),最优值Z=35/2。
单纯型法步骤:
转化为标准线性规划问题;找到一个初始可行解,列出初始单纯型表;最优性检验,求cj-zj,若所有的值都小于0,则表中的解便是最优解,否则,找出最大的值的那一列,求出bi/aij,选取
最小的相对应的刈,作为换入基进行初等行变换,重复此步骤。
mn
minz
n
CijXij
i1j1
X
j1
m
ijai
i1,,m
s.t.X
i1
ij6
j1,,n
Xij
0i
1,,m;j1,
m
n
maxw
aiyi
bjyjm
i1
i1
yiymjCij
S-t.
i1,,m;j
Xi,yj
无约束
n
maxz
CjXj
j
n
1
aijj1
n
Xjbi
i1,m1m
S.t.aij
Xjbi
im-j1m2,
4.写出下列线性规划问题的对偶问题。
(1)
(2)
j
1
j
1,
Xj0
xj无约束
n1n
n
1,,n
m
5.给出线性规划问题
maxz
2%
4x2
X3
X4
X1
3x2
X4
8
2x1
X2
6
st.
X2
X3
X4
6
X1
X2
X3
9
Xj
0j
1,
4
T
要求:
(1)写出其对偶问题;
(2)已知原问题最优解为X2,2,4,0,试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解。
解:
minw
8y1
6y2
6y3
9y4
y1
2y2
y4
2
(1)
3y1
y2
y3
讨4
4
s.t.
y3
y4
1
y1
y3
1
yj
0j
1,4
(2)
因为X1,
X2,X3
0,第四个约束取等号,根据互补松弛定理得:
y1
2y2
y4
2
3y1
y2
y3
y4
4
y3
y4
1
y4
0
*43
求得对偶冋题的最优解为:
Y,,1,0,最优值minw=16。
55
例已知原问题
Maxz=x1+2x2+3x3+4x4
x1+2x2+2x3+3x4w20
2x1+x2+3x3+2x4w20x2、x3、x4>0
和对偶问题
Minw=20y1+20y2
y1+2y2绍
2y1+y2>2
2y1+3y2>3
3y1+2y2>4y1、y2>0
已知对偶问题的最优解y1=1.2、y2=0.2,最优值minw=28
求原问题的最优解及最优值。
可用如下方法求解:
引入将原问题和对偶问题化为标准形式。
Maxz=x1+2x2+3x3+4x4
2xi+X2+3x3+2x4+X6=20
X〔、X?
、X3、X4、X5、
Minw=20y1+20y2
Yi+级-Y3=1
2yi+Y2-Y4=2
2yi+3Y2—Y5=3
3Yi+2Y2—Y6=4
yi、Y2、Y3、Y4、Y5、Y6>0
(1)
X5=00
y1=1.2>0,而丫〔与x5中至少有一个为零,故
(2)同理,y2=0.2>0,所以x6=0。
(3)对偶问题的第一个约束条件在取最优值时
y1+2y2=1.2+2X0.2=1.6>1
这就表示该约束条件的松弛变量:
y3=1.6—1=0.6>0
丫3与%1中至少有一个为零,故X1=0。
(4)同理,对于第2个约束条件在取得最优值时
2y1+y2=2X1.2+0.2=2.6>2
y4=2.6—2=0.6>0
y4与x2中至少有一个为零,故x2=0。
(5)同理,对于第3个约束条件在取得最优值时
2yi+3y2二2X1.2+3X0.2=3
y5=3—3=0
y5与X3中至少有一个为零,故X3>0或者X3=0。
(6)对于第4个约束条件的分析也可得到x4>0或者X4=0。
对于(5)和(6)的分析,对于确定原问题的最优解没有
任何帮助。
但从
(1)至U(4)的分析中得知,原问题取得最优解时:
x5=0,x6=0,x1=0,x2=0
代入原问题的约束方程组得:
2x3+3x4=20
3x3+2x4=20
解此方程组,可求得原问题的最优解为:
Xi=0,X2=0,X3=4,X4=4,X5=0,X6=0
弱对偶性的推论:
(1)原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界;反之对偶问
题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界
(2)如原问题有可行解且目标函数值无界(具有无界解),则其对偶问题无可行解;反之对偶问题有可行解且目标函数值无界,则其原问题无可行解。
注意:
本点性质的逆不成立,当对偶问题无可行解时,其原问题或具有无界解或无可行解,反之亦然。
(3)若原问题有可行解而其对偶问题无可行解,则原问题目标函数值无界;反之对偶问题有可行解而其原问题无可行解,则对偶问题的目标函数值无界。
强对偶性(或称对偶定理)
若原问题及其对偶问题均具有可行解,则两者均具有最优解,且它们最优解的目标函数值相等。
互补松弛性
在线性规划问题的最优解中,如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零,则该约束条件取严格等式;反之如果约束条件取严格不等式,则其对应的对偶变量一疋为零。
影子价格
资源的市场价格是其价值的客观体现,相对比较稳定,而它的影子价格则有赖于资源的利用情况,是未知数。
因企业生产任务、产品结构等情况发生变化,资源的影子价格也随之改变。
影子价格是一种边际价格。
资源的影子价格实际上又是一种机会成本。
随着资源的买进卖出,其影子价格也将随之发生变化,一直到影子价格与市场价格保持同等水平时,才处于平衡状态。
生产过程中如果某种资源未得到充分利用时,该种资源的影子价格为零;又当资源
的影子价格不为零时,表明该种资源在生产中已耗费完毕。
影子价格反映单纯形表中各个检验数的经济意义。
一般说对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案,而对于对偶问题的求解
则是确定对资源的恰当估价,这种估价直接涉及资源的最有效利用
对偶单纯型法:
转化成标准的线性规划问题;确定换入基变量,bi小于0中的最小的那一排,再求(cj-zj)/aij,且aij<0,找出最小值,这对应的xi便是换入基,若所有的bi都大于0,则找到了最优解
7下列表分别给出了各产地和各销地的产量和销量,以及各产地至各销地的单位运价,试用表上作业法求最优解。
注意要基可行解的个数一定是行列变量数减一
销地
产地
Bi
B2
B3
B4
产量
Ai
4
1
4
r6
8「
A2
1
2
5
0
8
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
3
20
解:
(1)确定初始方案西北角法:
销地
产地-
B1
B2
B3
B4
产量
A1
6
2
8
A2
3
5
8
A3
1
3
4
销量
6
5
6
3
20
最小元素法:
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
5
3
8
A2
5
3
8
A3
1
3
4
销量
6
5
6
3
20
沃格尔法:
、销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
行罚数
1
2
3
4
A1
4
1
4
6
8
◎
0
2
2
5
3
A2
1
2
5
0
8
1
1
◎
6
2
A3
3
7
5
1
4
1
2
4
4
3
1
销量
6
5
6
3
20
列罚数
1
2
1
1
1
2
②
1
1
3
1
1
4
1
⑤
8•下表给出一个运输问题及它的一个解,试问:
(1)表中给出的解是否为最优解?
请用位势法进行检验。
(2)若价值系数C24由1变为3,所给的解是否仍为最优解?
若不是,请求出最优解。
(3)若所有价值系数均增加1,最优解是否改变?
为什么?
(4)若所有价值系数均乘以2,最优解是否改变?
为什么?
、'销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
5
3
A2
1
2
6
1
10
8
2
A3
3
7
5
1
4
3
1
销量
8
5
6
3
22
解:
(1)
入销地产地〜
B1
B2
B3
B4
产量
Ui
A1
4
1
4
6
8
0
5
3
A2
1
2
6
1
10
1
8
2
A3
3
7
51
1
1
4
1
3
销量
8
5
6
3
22
Vi
0
1
4
0
空格检验数为:
4
6
0
1
2
5
所有检验数均大于等于零,该方案为最优方案。
(2)若价值系数C24由1变为3,
6
6
-2
-1
4
5
由于有检验数小于零,所以此方案不是最优方案。
5(-2)
3(+2)
8
(+2)
2(-2)
3(-2)
1(+2)
调整为:
3
5
8
2
1
3
空格检验数为:
所有检验数均小于等于零,该方案为最优方案。
minz31548122153143。
(3)不改变,不影响检验数的大小。
(4)不改变,不影响检验数的符号
解的最优性检验:
1•闭回路法:
找各个非基变量的闭合回路,依次加减求检验数,是先减再加,若所有的检验数的值都全非负,那么此可行解是最优解。
2.位势法(对偶变量法):
增加位势列ui和位势行vj;计算位势,ui+vj二基可行解的对应的运费,指定其中某一值为0,算出其他几位的值,填入表中;计算检验数,某非基变量对应的运费减对应的位势行和位势列,若检验数全为非负,则为最优解。
(检验数都是非基变量经过处理后的值,处理过程中应用的是基变量)解的改进:
1.以检验数小于0的xi为换入基(取最小的那个)
2.找此xi的闭合回路,以xi为始沿顺逆时针方向把定点依次编号
3.在所有偶数顶点中,找出运输量最少的顶点作为xi的换出变量
4•将基数顶点的运输量增加xj,偶数顶点的运输量减少xj,重新得到一组新的方案
5.进行解的最优性检验
9•公司决定使用1000万元新产品开发基金开发A,B,C三种新产品。
经预测估计,开发A,B,C三种新产品的投资利润分别为5%、7%、10%。
由于新产品开发有一定风险,公司研究后确
定了下列优先顺序目标:
第一,A产品至少投资300万元;
第二,为分散投资风险,任何一种新产品的开发投资不超过开发基金总额的35%;
第三,应至少留有10%的开发基金,以备急用;
第四,使总的投资利润最大。
试建立投资分配方案的目标规划模型。
解,设A,B,C三种新产品的开发投资额分别为X1,X2,X3万元,目标规划模型为:
minRdi,P2d2d3d4,P3d5,F4d6
X1
d1
d1
300
X1
d2
d2
1000
35%
X2
d3
d3
1000
35%
st.X3
d4
d4
1000
35%
1000XiX2X3d5d5100010%
5%Xi7%X210%X3d6d6100010%
Xi,X2,X3,di,di0i1,,6
Pl是优先因子,关系为I越小,则有绝对的优先性,还有一种是相对的优先性,用权系数来表示
目标规划的一般格式;min{pld+或d-}(要明白为什么是写d+或d-,min里的d是要取值为零的,即若不等式要大于零时,则写d-);必须要满足的绝对约束,还有目标约束;xj>0,d+,d->0
目标规划的图解法:
先画绝对约束的可行域,然后按照优先性优先考虑某个目标约束,随着min系数中d+或者d-的增大移动曲线,画出最合适的那条,直到最后
10•用割平面法解下列整数规划:
maxzx1x2
2x1x26
(1)12
s.t.4x15x220
x1,x20,且为整数
解:
引进松弛变量X3,X4,将问题化为标准形式,用单纯形法解其松弛问题。
Cj
1
1
0
0
Cb
Xb
b
X1
X2
X3
X4
0
X3
6
【2】
1
1
0
3
0
X4
20
4
5
0
1
5
j
1
1
0
0
1
X1
3
1
1/2
1/2
0
6
0
X4
8
0
【3】
-2
1
8/3
j
0
1/2
-1/2
0
1
X1
5/3
1
0
5/6
-1/6
1
X2
8/3
0
1
-2/3
1/3
i
0
0
-1/6
-1/6
找出非整数解变量中分数部分最大的一个基变量(X2),并写下这一行的约束:
21o2
X2X3X42
333
将上式中的所有常数分写成整数与一个正的分数值之和得:
112
x21x30x42-
333
将上式中的分数项移到等式右端,整数项移到等式左端得:
2
1
1
X2
X32
—
—x3
一X4
3
3
3
得到割平面约束为:
1
1
2
一x3
一x4
—
3
3
3
引入松弛变量X5,得割平面方程为:
11
2
-x3_
X4
X5
—
33
3
Cj
1
1
0
0
0
Cb
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
1
X1
5/3
1
0
5/6
-1/6
0
1
X2
8/3
0
1
-2/3
1/3
0
0
X5
-2/3
0
0
[-1/3】
-1/3
1
j
0
0
-1/6
-1/6
0
j/arj
1/2
1/2
1
X1
0
1
0
0
-1
5/2
1
X2
4
0
1
0
1
-2
0
X3
2
0
0
1
1
-3
j
0
0
0
0
-1/2
*t
最优解为X0,4,2,0,0,最优值为maxz4
4=0,最优解不唯一?
11.用分支定界法解下列整数规划
maxz2x-ix2
x1x2
(1)x1x20
6x-i2x221
x1,x20,且为整数
解:
LP21h玉也三1,日无可行解|
最优解(3,1),最优值z=7。
12.匈牙利解法:
见课本145页
13•如图,v0是一仓库,v9是商店,求一条从v0到v9的最短路。
解:
Vo
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
V9
P=T=O
T=
T=
T=
T=
T=
T=
T=
T=
T=
P=T=2
T=
T=11
T=
T=7
T=
T=4
T=
T=
T=13
T=11「
T=
T=7
T=
P=T=4
T=
rT=
T=13
T=11
T=
P=T=7
T=11
T=13
T=
T=13
P=T=11
T=
T=11
T=13
T=
T=13
T=16
P=T=11
T=13
T=
P=T=13
T=16
T=13
1T=20
T=16
P=T=13
T=19
P=T=16
T=19
P=19
最短路长为19。
最短路为:
0129,0329,0349,01249,0789。
14•如图,发点$,s2分别可供应10和15个单位,收点,t2可以接收10和25个单位,求最大流,边上数为5。
最大流为21
15.如图所示网络中,有向边旁数字为Cjj,dj,Cj表示容量,dj表示单位流量费用,试求vs到vt流值为六的最小费用流。
V165)
(3,2)丿
<
叫(33)
飞1
解:
d(f)=37
16.图的生成树:
(一)避圈法
在图中任取一条边
e1,找一条与
e1不构成圈的边
e2,再找一条与{e1,e2}不构成圈的边e3。
一般设已有{e1,
e2,…,ek},
找一条与{e1,e2,
…,ek}中任何一些边不构成圈的边ek+1,
重复这个过程,直到不能进行为止。
vy
K
)破圈法