小学奥数知识点梳理.docx
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小学奥数知识点梳理
学而思小学奥数知识点梳理
学而思教材编写组侍春雷
前言
小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。
概述
1．
2．
计算
四则混合运算繁分数
⑴运算顺序
⑵分数、小数混合运算技巧
一般而言：
①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；
②乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化
⑷繁分数的化简
简便计算
⑴凑整思想
⑵基准数思想
⑶裂项与拆分
⑷提取公因数
⑸商不变性质
⑹改变运算顺序
运算定律的综合运用
连减的性质
连除的性质同级运算移项的性质增减括号的性质变式提取公因数
①
②
③
④
⑤
⑥
形如：
a1ba2b
anb（a1a2
an）b
估算
求某式的整数部分：
扩缩法比较大小
1通分
a.通分母
b.通分子
2跟“中介”比
3
利用倒数性质
5.定义新运算
6.特殊数列求和
运用相关公式:
nn12n1
23
n2
⑦1+2+3+4…
（n-1）
+n+（n-1）
2
+…4+3+2+1=n
⑥a2b2
数论
1.奇偶性问题
奇
奇=偶
奇X奇=奇
奇
偶=奇
奇X偶=偶
偶
偶=偶
偶X偶=偶
2.位值原则
形如：
abc=100a+10b+c
整除数
特征
2
末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4（或25）的倍数
8和125
末三位数是8（或125）的倍数
7、11、13
末一位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
数的整除特征:
3.
a1a2ak
n=p1xp2x...xpk
设自然数n的质因子分解式如n=p1a1xp2a2x...xpkak那么:
n的约数个数：
d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）n的所有约数和：
（1+P1+P12+…p1a1）（1+P2+P22+…p2a2）•••（1+Pk+Pk2+…pkak）8.同余定理
1
同余定义：
若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数，那么称a,b对于模m同余，用式子表示为a=b（modm）b除以同一个数c得到的余数相同，则
m的余数等于这两个数分别除以
m的余数等于这两个数分别除以
m的余数等于这两个数分别除以
2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+BA-B同奇偶性。
2约数：
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
3质因数分解：
把数字分解，使他满足积是平方数。
4平方和。
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相除法12．数论解题的常用方法：
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
几何图形
平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=（N-2）X180
⑵等积变形（位移、割补）
1三角形内等底等高的三角形
2平行线内等底等高的三角形
3公共部分的传递性
4极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系
S1:
S=a:
b;
⑷相似三角形性质
S
（份数、比例）
:
S2=S:
S或者SXS3=S2XS4
1:
Sa=a2:
A2
②Si:
⑸燕尾定理
S3:
S2:
S4=a2:
b2:
ab:
SAABG
SABGA
SAAGC=SABGE
SABGC=SAAGF
SAGEC=BE
SAGFC=AF:
SAAGC
⑹差不变原理
SABCG=SAADG
DGB=AD
EC;
FC;
DB;
■■■■■■■*«*■■
知5-2=3，则圆点比方点多3。
⑺隐含条件的等价代换
化整为零先补后去正反结合
例如弦图中长短边长的关系。
⑻组合图形的思考方法
①
②
③
2．立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式⑵不规则立体图形的表面积整体观照法
⑶体积的等积变形
1水中浸放物体：
V升水='7物
2测啤酒瓶容积：
V=V空气+V水
⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
四、
1．
典型应用题
植树问题
1开放型与封闭型
2
2．
间隔与株数的关系方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
（外层边长数-1）x4=外周长数
3．
外层边长数2-中空边长数2=实面积数列车过桥问题
1车长+桥长=速度X时间
2车长甲+车长乙=速度和X相遇时间
3车长甲+车长乙=速度差X追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和X相遇时间
车长=速度差X追及时间
年龄问题
差不变原理鸡兔同笼
假设法的解题思想牛吃草问题
原有草量=（牛吃速度-草长速度）X时间
7．
平均数问题
8．
9．
10．
11．
12．
13．
盈亏问题
分析差量关系
和差问题
和倍问题
差倍问题
逆推问题还原法，从结果入手
代换问题列表消元法等价条件代换
五、
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
行程问题
相遇问题
路程和=速度和X相遇时间
追及问题
路程差=速度差X追及时间
流水行船
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）十2
水速=（顺水速度-逆水速度）十2多次相遇
线型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数X2-1
环型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程X共行全程数环形跑道
行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。
速度一定，路程和时间成正比。
时间一定，路程和速度成正比。
钟面上的追及问题。
1时针和分针成直线；
2时针和分针成直角。
结合分数、工程、和差问题的一些类型。
行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
六、
1．
2．
3．
计数问题
加法原理：
分类枚举乘法原理：
排列组合容斥原理：
1总数量=A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC
2常用：
总数量=A+B-AB
角、线段、三角形，
长方形、梯形、平行四边形
正方形
4.抽屉原理：
至多至少问题
5.握手问题
在图形计数中应用广泛
①
②
③
七、
1.
2.
3.
4.
分数问题量率对应以不变量为“利润问题浓度问题倒三角原理
1”
95%
IE%
60%
丿
80%
5.
例：
工程问题
①
②
ifi
3
合作问题
水池进出水问题
6.
按比例分配
八、
1.
2.
3.
4.
方程解题
等量关系
1相关联量的表示法
例：
甲+乙=100
x100-X3xx
2解方程技巧
恒等变形
二元一次方程组的求解
代入法、消元法
不定方程的分析求解
以系数大者为试值角度
不等方程的分析求解
甲十乙=3
九、找规律
⑴周期性问题
①年月日、星期几问题
②余数的应用
⑵数列问题
①
求项数:
n=
求和:
S=
ana11
d
（aan）n
2
等比数列
求和:
S=
ai（qn1）
等差数列
通项公式
an=ai+（n-1）d
裴波那契数列
③
⑶策略问题
1抢报30
2放硬币
⑷最值问题
最短线路
a.一个字符阵组的分线读法
b.在格子路线上的最短走法数最优化问题
a.统筹方法
b.烙饼问题
十、
算式谜
1.
填充型
2.
替代型
3.
填运算符号
4.
横式变竖式
5.
结合数论知识点
」、数阵问题
1.
2.
相等和值问题
数列分组
⑴知行列数，求某数
⑵知某数，求行列数幻方
⑴奇阶幻方问题：
杨辉法罗伯法
⑵偶阶幻方问题：
双偶阶：
对称交换法
单偶阶：
同心方阵法
十二、二进制
1.二进制计数法
1二进制位值原则
2二进制数与十进制数的互相转化
3二进制的运算
2.其它进制（十六进制）
十三、一笔画
一笔画定理：
⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；
⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出;哈密尔顿圈与哈密尔顿链多笔画定理
1.
2.
3.
笔画数=奇点数
2
十四、逻辑推理
等价条件的转换
列表法
对阵图
竞赛问题，涉及体育比赛常识
1.
2.
3.
十五、火柴棒问题
1.移动火柴棒改变图形个数
2.移动火柴棒改变算式，使之成立
十六、智力问题
1.突破思维定势
2.某些特殊情境问题
十七、解题方法
（结合杂题的处理）
1.
代换法
2.
消元法
3.
倒推法
4.
假设法
5．
反证法
6．
极值法
7．
设数法
8．
整体法
9．
画图法
10．
列表法
11．
排除法
12．
染色法
13．
构造法
14．
配对法
15．
列方程
⑴方程
⑵不定方程⑶不等方程
另外补充说明：
在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲，其实是找规律类型，知识点涉及棋盘格，几何，数论等，属于综合性问题。
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