小学奥数知识点梳理.docx

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小学奥数知识点梳理

小学奥数（知识点梳理）

.、八、一

前言

小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。

概述

一、计算

1．四则混合运算繁分数

⑴运算顺序

⑵分数、小数混合运算技巧

一般而言：

1加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；

2乘除运算中，统一以分数形式。

⑶带分数与假分数的互化

⑷繁分数的化简

2．简便计算

⑴凑整思想

⑵基准数思想

⑶裂项与拆分

⑷提取公因数

⑸商不变性质

⑹改变运算顺序

①

运算定律的综合运用

②

连减的性质

③

连除的性质

④

同级运算移项的性质

⑤

增减括号的性质

⑥

变式提取公因数

形如：

a1ba2banb（a1a2an）b

3．估算求某式的整数部分：

扩缩法

4．比较大小

1通分

a.通分母

b.通分子

2跟“中介”比

3利用倒数性质

4

5.

6.

定义新运算特殊数列求和

运用相关公式:

③an

n2

⑦1+2+3+4…

（n-1）

+n+（n-1）

2

+…4+3+2+1=n

⑥a2b2

数论

1.奇偶性问题

奇奇=偶

奇X奇=奇

奇偶=奇

奇X偶=偶

偶偶=偶

偶X偶=偶

2.位值原则

形如：

abc=100a+10b+c

3.数的整除特征:

整除数

特征

2

末尾是0、2、4、6、8

3

各数位上数字的和是3的倍数

5

末尾是0或5

9

:

各数位上数字的和是9的倍数

11

奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数

4和25

末两位数是4（或25）的倍数

8和125

末三位数是8（或125）的倍数

7、11、13

末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数

4.整除性质

1如果c|a、c|b,那么c|（ab）。

2如果bc|a,那么b|a,c|a。

3如果b|a,c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。

4女口果c|b,b|a,那么c|a.

5a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

5．带余除法

一般地，如果a是整数,b是整数（bz0）,那么一定有另外两个整数q和r,0

使得a=bxq+r

当r=0时,我们称a能被b整除。

当rz0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全

商（亦简称为商）。

用带余数除式又可以表示为a十b=qr,0

6.唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

n=p1a1xp2a2x...xpkak

7.约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n=pla1xp2a2x...xpkak那么：

n的约数个数：

d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）

2a12a22ak

n的所有约数^口：

（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）•••（1+Pk+Pk+…pk）

8.同余定理

1同余定义：

若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数，那么称a,b对于模m

同余，用式子表示为a=b（modm）

2若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同，则a,b的差一定能被c整除。

3两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

4两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

5两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

9．完全平方数性质

①平方差：

22

A-B=（A+B（A-B），其中我们还得注意A+BA-B同奇偶性。

2约数：

约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

3质因数分解：

把数字分解，使他满足积是平方数。

4平方和。

10．孙子定理（中国剩余定理）

11．辗转相除法12．数论解题的常用方法：

枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

三、几何图形

1．平面图形⑴多边形的内角和

N边形的内角和=（N-2）X180°

⑵等积变形（位移、割补）

1三角形内等底等高的三角形

2平行线内等底等高的三角形

3公共部分的传递性

4极值原理（变与不变）

⑶三角形面积与底的正比关系

Si:

S2=a:

b;Si:

S2=S4:

S3或者SixS3=S2XS4

⑷相似三角形性质（份数、比例）

①？

bC匕；si：

S2=a2：

A2

ABCH

2

SAABG

SAAGG=SABGE

SAGEC=BE:

SABGASABGC=SAAGF

SAGFC=AF:

EC;

②Si:

S3:

S2:

S4=a:

b2:

ab:

ab;S=（a+b）2⑸燕尾定理

SAAGCSABCG=SAADGSADGB=ADDB

⑹差不变原理

知5-2=3，则圆点比方点多3。

⑺隐含条件的等价代换

例如弦图中长短边长的关系。

⑻组合图形的思考方法

1化整为零

2先补后去

3正反结合

2．立体图形

⑴规则立体图形的表面积和体积公式

⑵不规则立体图形的表面积

整体观照法

⑶体积的等积变形

1水中浸放物体：

V升水=V物

2测啤酒瓶容积：

V=V空气+V水

⑷三视图与展开图

最短线路与展开图形状问题

⑸染色问题

几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

四、典型应用题

1．植树问题

1开放型与封闭型

2间隔与株数的关系

2．方阵问题

外层边长数-2=内层边长数

（外层边长数-1）x4=外周长数

外层边长数2-中空边长数2=实面积数

3．列车过桥问题

1车长+桥长=速度X时间

2车长甲+车长乙=速度和X相遇时间

3车长甲+车长乙=速度差X追及时间

列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长=速度和X相遇时间

车长=速度差X追及时间

4．年龄问题

差不变原理

5．鸡兔同笼

假设法的解题思想

6．牛吃草问题

原有草量=（牛吃速度-草长速度）X时间

7．平均数问题

8．盈亏问题

分析差量关系

9．

10．

11．

12．

13．

五、

1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

六、

1．

2．

3．

4．

和差问题

和倍问题

差倍问题

逆推问题还原法，从结果入手

代换问题列表消元法等价条件代换

行程问题

相遇问题

路程和=速度和X相遇时间

追及问题

路程差=速度差X追及时间

流水行船

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（顺水速度+逆水速度）十2

水速=（顺水速度-逆水速度）十2多次相遇

线型路程：

甲乙共行全程数=相遇次数X2-1环型路程：

甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程X共行全程数环形跑道

行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。

速度一定，路程和时间成正比。

时间一定，路程和速度成正比。

钟面上的追及问题。

1时针和分针成直线；

2时针和分针成直角。

结合分数、工程、和差问题的一些类型。

行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。

计数问题

加法原理

乘法原理

容斥原理

：

分类枚举

：

排列组合

①

②

总数量=A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC常用：

总数量=A+B-AB

抽屉原理：

至多至少问题

5.握手问题

在图形计数中应用广泛

1角、线段、三角形，

2长方形、梯形、平行四边形

3正方形

七、

1.

2.

3.

4.

分数问题

量率对应

以不变量为“1”

利润问题

浓度问题倒三角原理

95%

8（1X

60%

lb

3

例:

5.

工程问题

①

②

合作问题

水池进出水问题

6.

按比例分配

八、方程解题

1.等量关系

1相关联量的表示法

甲十乙=3

3xx

例：

甲+乙=100

x100-x

2解方程技巧

恒等变形

2.二元一次方程组的求解

代入法、消元法

3.不定方程的分析求解

以系数大者为试值角度

4.不等方程的分析求解

九、找规律

⑴周期性问题

1年月日、星期几问题

2余数的应用

⑵数列问题

1等差数列

通项公式an=ai+（n-1）d

求项数：

n=?

n一al1

d

求和：

s=■（ai一型

2

2等比数列

求和：

S=4（q1）

q1

3裴波那契数列

⑶策略问题

1抢报30

2放硬币

⑷最值问题

1最短线路

a.一个字符阵组的分线读法

b.在格子路线上的最短走法数

2最优化问题

a.统筹方法

b•烙饼问题

十、

算式谜

1

填充型

2.

替代型

3.

填运算符号

4.

横式变竖式

5.

结合数论知识点

十一、数阵问题

1.

相等和值问题

2.

数列分组

⑴知行列数，求某数⑵知某数，求行列数

3.

幻方

⑴奇阶幻方问题:

杨辉法

罗伯法

⑵偶阶幻方问题:

双偶阶：

对称交换法

单偶阶：

同心方阵法

十二、二进制

1.二进制计数法

1二进制位值原则

2二进制数与十进制数的互相转化

3二进制的运算

2.其它进制（十六进制）

十三、一笔画

1.一笔画定理：

⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；

⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出;

2.哈密尔顿圈与哈密尔顿链

3.多笔画定理

笔画数

奇点数

2

十四、逻辑推理

1.等价条件的转换

2.列表法

3.对阵图

竞赛问题，涉及体育比赛常识

十五、火柴棒问题

1.移动火柴棒改变图形个数

2.移动火柴棒改变算式，使之成立

十六、智力问题

1.突破思维定势

2.某些特殊情境问题

十七、解题方法

（结合杂题的处理）

1.代换法

2.消元法

3.倒推法

4.假设法

5.反证法

6.极值法

7．设数法

8．整体法

9．画图法

10．列表法

11．排除法

12．染色法

13．构造法

14．配对法

15．列方程

⑴方程

⑵不定方程

⑶不等方程

另外补充说明：

知识点涉及棋盘格，

在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲，其实是找规律类型，几何，数论等，属于综合性问题。