高中毕业班综合测试一数学文试题 含答案.docx
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高中毕业班综合测试一数学文试题含答案
试卷类型:
A
2021年高中毕业班综合测试
(一)数学(文)试题含答案
xx.3
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:
锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,,则集合可以表示为
A.B.C.D.
2.已知向量,若,则实数的值为
A.B.C.D.
3.若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图),其中茎为十位数,
叶为个位数,则这组数据的中位数是
A.B.
C.D.
4.已知为虚数单位,复数的虚部记作,则
A.B.C.D.
5.设抛物线上一点到轴的距离为,则点到抛物线的焦点的距离是
A.B.C.D.
6.已知△的三边所对的角分别为,且,则的值为
A.B.C.D.
7.已知数列为等比数列,若,则的值为
A.B.C.D.
8.若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围是
A.B.
C.D.
9.已知某锥体的正视图和侧视图如图2,
其体积为,则该锥体的俯视图可以是
图2
A.B.C.D.
10.已知圆的圆心为坐标原点,半径为,直线为常数,与圆
相交于两点,记△的面积为,则函数的奇偶性为
A.偶函数B.奇函数
C.既不是偶函数,也不是奇函数D.奇偶性与的取值有关
二、填空题:
本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11.函数的定义域为.
12.已知e为自然对数的底数,则曲线e在点处的切线斜率为.
13.已知函数,点为坐标原点,点N,向量,
是向量与的夹角,则的值为.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)
在直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为为参数
和为参数.以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲
线与的交点的极坐标为.
15.(几何证明选讲选做题)
如图3,是圆的一条弦,延长至点,
使得,过作圆的切线,为切点,
的平分线交于点,则的长为.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)若是第一象限角,且,求的值.
分组
频数
频率
合计
17.(本小题满分12分)
从广州某高校男生中随机抽取名学生,
测得他们的身高(单位:
cm)情况如表1:
(1)求的值;
(2)按表1的身高组别进行分层抽样,从这名学生中抽取名担任广州国际马拉松志愿者,再从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作,求这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的概率.
表1
18.(本小题满分14分)
如图4,在边长为的菱形
中,,点,分别是
边,的中点,.
沿将△翻折到△,连
接,得到如图5的五棱
锥,且.
(1)求证:
平面;
(2)求四棱锥的体积.
19.(本小题满分14分)
已知数列的前项和为,且满足,,N.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在正整数,使,,成等比数列?
若存在,求的值;若不存
在,请说明理由.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线的顶点,直线与椭圆交于,两点,且点的坐标为,点是椭圆上异于点,的任意一点,点满足,,且,,三点不共线.
(1)求椭圆的方程;
(2)求点的轨迹方程;
(3)求面积的最大值及此时点的坐标.
21.(本小题满分14分)
已知为常数,且,函数的最小值和函数
的最小值都是函数R的零点.
(1)用含的式子表示,并求出的取值范围;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
数学(文科)参考答案
说明:
1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:
本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
B
C
C
A
C
A
二、填空题:
本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
11.12.13.14.15.
说明:
第14题答案可以是Z.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)
(1)解:
…………………………1分
…………………………2分
…………………………3分
.…………………………4分
∴函数的最小正周期为.…………………………5分
(2)解:
∵,∴.…………………………6分
∴.
∴.…………………………7分
∵是第一象限角,
∴.…………………………8分
∴.…………………………9分
∴…………………………10分
…………………………11分
.…………………………12分
17.(本小题满分12分)
(本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及数据处理能力与应用意识)
(1)解:
由,得.…………………………1分
由,得,…………………………2分
由,得.…………………………3分
(2)解:
依据分层抽样的方法,抽取的名志愿者中身高在区间上的有
名,记为;…………………………………………5分
而身高在区间上的有名,记为.……………………7分
记“这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm”为事件,
从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作,共有种不同取法:
,,
,,.…………………………9分
事件包含的基本事件有种:
,,
,.…………………………11分
∴为所求.…………………………12分
18.(本小题满分14分)
(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明:
∵点,分别是边,的中点,
∴∥.…………………………1分
∵菱形的对角线互相垂直,
∴.…………………………2分
∴.…………………………3分
∴,.…………………………4分
∵平面,平面,,
∴平面.…………………………5分
∴平面.…………………………6分
(2)解:
设,连接,
∵,
∴△为等边三角形.…………………………7分
∴,,,.……………………8分
在Rt△中,,…………………………9分
在△中,,…………………………10分
∴.…………………………11分
∵,,平面,平面,
∴平面.…………………………12分
梯形的面积为,………………………13分
∴四棱锥的体积.………………14分
19.(本小题满分14分)
(本小题主要考查等差数列、等比数列等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力和创新意识)
(1)解:
∵,,
∴.…………………………1分
∴.…………………………2分
∴.…………………………3分
(2)解法1:
由,得.……………………4分
∴数列是首项为,公差为的等差数列.
∴.…………………………5分
∴.…………………………6分
当时,…………………………7分
.…………………………8分
而适合上式,
∴.…………………………9分
解法2:
由,得,
∴. ① …………………………4分
当时,,②
①②得
,
∴.…………………………5分
∴. …………………………6分
∴数列从第2项开始是以为首项,公差为的等差数列.………7分
∴. …………………………8分
而适合上式,
∴.…………………………9分
(3)解:
由
(2)知,.
假设存在正整数,使,,成等比数列,
则.…………………………10分
即.…………………………11分
∵为正整数,
∴.
得或,…………………………12分
解得或,与为正整数矛盾.…………………………13分
∴不存在正整数,使,,成等比数列.…………………………14分
20.(本小题满分14分)
(本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)
(1)解法1:
∵双曲线的顶点为,,…………1分
∴椭圆两焦点分别为,.
设椭圆方程为,
∵椭圆过点,
∴,得.………………………2分
∴.………………………3分
∴椭圆的方程为.………………………4分
解法2:
∵双曲线的顶点为,,…………………1分
∴椭圆两焦点分别为,.
设椭圆方程为,
∵椭圆过点,
∴.①………………………2分
.∵,②………………………3分
由①②解得,.
∴椭圆的方程为.………………………4分
(2)解法1:
设点,点,
由及椭圆关于原点对称可得,
∴,,
,.
由,得,……………………5分
即.①
同理,由,得.②……………6分
①②得.③………………………7分
由于点在椭圆上,则,得,
代入③式得.
当时,有,
当,则点或,此时点对应的坐标分别为或
,其坐标也满足方程.………………………8分
当点与点重合时,即点,由②得,
解方程组得点的坐标为或.
同理,当点与点重合时,可得点的坐标为或.
∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,
.………………………9分
解法2:
设点,点,
由及椭圆关于原点对称可得,
∵,,
∴,.
∴,①……………………5分
.②……………………6分
①②得.(*)………………………7分
∵点在椭圆上,∴,得,
代入(*)式得,即,
化简得.
若点或,此时点对应的坐标分别为或
,其坐标也满足方程.………………………8分
当点与点重合时,即点,由②得,
解方程组得点的坐标为或.
同理,当点与点重合时,可得点的坐标为或.
∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,
.………………………9分
(3)解法1:
点到直线的距离为.
△的面积为
………………………10分
.………………………11分
而(当且仅当时等号成立)
∴
.……12分
当且仅当时,等号成立.
由解得或………………………13分
∴△的面积最大值为,此时,点的坐标为或.…14分
解法2:
由于,
故当点到直线的距离最大时,△的面积最大.………………………10分
设与直线平行的直线为,
由消去,得,
由,解得. ………………………11分
若,则,;若,则,.…12分
故当点的坐标为或时,△的面积最大,其值为
. ………………………14分
21.(本小题满分14分)
(本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识)
(1)解:
由于,,则
,
当且仅当,即时,.…………………1分
,当时,.
………………………2分
∵,
∴,.
由于,结合题意,可知,
方程的两根是,,………………………3分
故,.………………………4分
∴.
∴.………………………5分
而方程的一个根在区间上,另一个根在区间上.
令,
则………………………6分
即
解得………………………7分
∴.………………………8分
∴,.
求的取值范围的其它解法:
另法1:
由,得,………………………6分
∵,
∴. ………………………7分
∵,
∴. ………………………8分
另法2:
设,,
则
, ………………………6分
故函数在区间上单调递减.
∴. ………………………7分
∴. ………………………8分
(2)解:
由
(1)得,
则.………………………9分
∵,
∴二次函数的开口向下,对称轴.
故函数在区间上单调递减.………………………10分
又
,………………………11分
∴当时,.
∴函数在区间上单调递减.………………………12分
∴函数的最大值为,最小值为.
………………………14分200284E3C丼351258935褵400369C64鱤fR'=2530262D6拖241315E43幃315537B41筁<235165BDC寜28958711E焞203904FA6侦