概率论章节总结.docx

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概率论章节总结

　第一章考核内容小结

排列数

的计算公式为：

　　例如：

　　（四）组合（数）：

从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作

或

。

例如：

=45

　　组合数有性质　　

（1）

，

（2）

，（3）

例如：

（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生-------

（2）A，B，C三事件都发生-------ABC

（3）A，B，C三事件都不发生--------

（4）A，B，C三事件不全发生---------

（5）A，B，C三事件只有一个发生--------

（6）A，B，C三事件中至少有一个发生-------A+B+C

（1）A，B都发生且C不发生

（2）A与B至少有一个发生而且C不发生

（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生）

（4）A，B，C中最多有一个发生

（5）A，B，C中恰有两个发生

（6）A，B，C中至少有两个发生）

简记AB+AC+BC

（7）A，B，C中最多有两个发生

简记

（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式

　　计算简单的古典概型的概率

（二）知道事件的四种关系

（1）包含：

表示事件A发生则事件B必发生

（2）相等：

　　（3）互斥：

与B互斥

　　（4）对立：

A与B对立

AB=Φ，且A+B=Ω

　　（三）知道事件的四种运算

（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生

　　性质：

（1）若

，则A+B=A

（2）

且

（2）事件积（交）AB表示A与B都发生

　　性质：

（1）若

，则AB=B∴ΩB=B且

（2）

　　（3）事件的差：

A-B表示A发生且B不发生

　　∴

，且A-B=A-AB

　　（4）

表示A不发生

　　性质

　　（四）运算关系的规律

（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律

（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律

　　（AB）C=A（BC）

　　（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律

　　（A+B）（A+C）=A+BC

　　（4）

叫对偶律

　　（五）掌握概率的计算公式

（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

　　特别情形①A与B互斥时：

P（A+B）=P（A）+P（B）

　　②A与B独立时：

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

　　③

　　推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

（2）

　　推广：

因为

，而

，而BA与

明显不相容。

特别地，若

，则有AB=A

所以当

　　当事件独立时，

　　P（AB）=P（A）P（B）

　　P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

　　P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）

　　性质若A与B独立

与B，A与

，

与

均独立

　　（六）熟记全概率公式的条件和结论

　　若A1，A2，A3是Ω的划分，则有

　　简单情形

　　熟记贝叶斯公式

　　若

已知，则

　　（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式

　第二章考核内容小结

（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率

（1）若X是离散型随机变量，则

P（a

（2）若X是连续型随机变量，则

P（a

P（a≤x≤b）=F（b）-F（a）

P（a≤x＜b）=F（b）-F（a）°P{X≤b}=F（b）.

P（ab}=1-P{X≤b}=1-F（b）

（二）知道离散型随机变量的分布律

　　会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若

则

　　（三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律

（1）X～（0,1）

（2）X～B（n,p）

P（x=k）=

　　（3）X～P（λ）

P（x=k）=

　　并且知道泊松分布是二项分布当n很大，p很小的近似值，且λ=np

　　（四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。

（1）概率密度f（x）的性质

　　①f（x）≥0　　　②

（2）分布函数和概率密度的关系

　　（3）分布函数的性质

　　①F（x）连续，可导

　　②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1

　　③F（x）是不减函数。

　　（4）概率计算公式：

　　①P（a

　　②P（a

　　（五）掌握连续型随机变量的三种分布

（1）X～U（a,b）

X～f（x）=

X～F（x）=

（2）X～E（λ）

①X～f（x）=

②X～F（x）=

（3）X～N（0,1）

①X～

②X～

性质：

Φ（-x）=1-Φ（x）

P（a

（4）X～N（μ,σ2）

①X～

②P（a

　　（六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数

（1）离散型

　　若

　　且g（x1）,g（x2）,…g（xn）不相同时，有

（2）连续型

　　若X～fX（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变量X的函数Y=g（x）的概率密度为

当α=－∞β=+∞时，则有

简单情形，若Y＝ax+b则有

Y～fY（y）=

　　在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。

　　（3）重要结论

（i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时

Y～N（aμ+b,a2σ2）

（ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝

叫X的标准化随机变量。

　第三章内容小结

（一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。

（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）

　　=P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）

（2）F（X,Y）的性质

　　（ⅰ）F（+∞，+∞）=1

　　（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0

　　F（-∞，-∞）=0

　　（3）X～FX（X）=F（X,+∞）

　　Y～FY（Y）=F（+∞,Y）

（二）离散型二维随机变量

（1）（X，Y）的分布律

　　性质

（2）X的边缘分布

　　证明　P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，…pm·=pm1+pm2+…pmn

　　（3）Y的分布律

　　证　P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，…P·N=P1N+P2N+…+pmn

（4）X，Y独立的充要条件是：

X，Y独立

P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）

　　　　　　　（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）

　　判断离散性随机变量X，Y是否独立。

（5）会求Z=X+Y的分布律

　　（三）二维连续型随机变量

（1）若

已知f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y）

性质

（2）

已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y）

（3）会用公式

求（X，Y）在区域D上取值的概率。

（4）会用公式

分别求X，Y的概率密度（边缘密度）

（5）会根据X，Y独立

判断连续型随机变量X，Y的独立性。

（6）知道两个重要的二维连续随机变量

①（X，Y）在D上服从均匀分布

S是D的面积

则

X，Y独立

（7）若X，Y独立，且

　　第四章小结

　　本章的考核内容是

（一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。

（1）离散型：

（2）连续型：

　　（3）

　　（4）

　　期望的性质：

（1）EC=C

（2）E（kX）=kEX

　　（3）E（X±Y）=EX±EY

　　（4）X,Y独立时，E（XY）＝（EX）（EY）

（二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质

　　∴X是离散型随机变量时

　　X是连续型随机变量时

（2）计算公式

　　（3）性质

　　①DC＝0

　　②

　　③D（X±Y）=DX+DY±2E[（X-EX）（Y-EY）]

　　　　　　　=DX+DY±2Cov（X,Y）

　　∴X,Y独立

X,Y不相关时

D（X±Y）=DX+DY

　　Cov（X,Y）=E[（X-EX）（Y-EY）]

　　计算公式Cov（X,Y）=E（XY）－（EX）（EY）

　　相关系数

　　定理X，Y独立

X，Y不相关（

）

　　特别情形X，Y正态，则有

　　X，Y独立

X，Y不相关

第五章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

　　或

　　并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道贝努利大数定律

　　其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。

　　（三）知道切比雪夫不等式大数定律

　　它说明在大量试验中，随机变量

取值稳定在期望附近。

　　（四）知道独立同分布中心极限定理

　　若

　　记Yn～Fn（x），则有

　　它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和

近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.

　　（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

　　若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即

　　Zn～B（n,p）,则有

　　即Zn近似正态N（np,np（1-p）2）。

并会用中心极限定理计算简单应用问题。

　　第六章章小结

　　本章的基本要求是

（一）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念

（二）知道统计量

和s2的下列性质。

　　E（s2）=σ2

　　（三）若x的分布函数为F（x），分布函数为f（x），则样本（x1,x2,…xn）的联合分布函数为F（x1）F（x2）…F（xn）样本（x1,x2,…xn）的联合分布密度为f（x1）f（x2）…f（xn），样本（x1,x2,…xn）的概率函数，p（x1,x2,…xn）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=xn）因而顺序统计量x

（1），…x（n）中

　　X

（1）的分布函数为1-（1-F（x））n

　　X（n）的分布函数为[F（x）]n

　　（四）掌握正态总体的抽样分布

　　若X～N（μ，σ2）则有

（1）

（2）

　　（3）

　　（4）若

　　=>

　　当

时，

。

　　（五）知道样本原点矩与样本中心矩的概念

　　第七章章小结

　　本章考核要求为

（一）点估计

（1）知道点估计的概念

（2）会用矩法求总体参数的矩估计值，主要依据是

　　（3）会用最大似然估计法求总体参数的估计值。

　　基本方法是由样本x1，x2，x3，…，xn构造一个似然函数或似然函数的对数

　　L（x1，x2，x3，…，xn，

）=P（X=x1）P（X=x2）…P（X=xn）

　　L（x1，x2，x3，…，xn，

）=f（x1）f（x2）…f（xn）

　　然后由lnL（x1，x2，x3，…，xn，

）取最大的值时的

值

为

的值，即

。

是L的最大值点。

（二）点估计量的评价标准

（1）若

，则

是

的无偏估计。

（2）若

都是

的无偏估计，且

就说

有效。

　　（3）若

。

　　就说是

的相合估计

　　以上三条标准中主要掌握无偏估计和有效估计

　　（三）区间估计

（1）知道区间估计的概念

（2）会求一个正态总体

的参数

的置信区间。

公式见表7-1